数学应用题教学中解决问题的变式教学初探

韩旦

解决问题的变式，就是改变解决问题的呈现形式——变一般式为特殊式、变标准式为相似式、变定型式为活动式。这种变式教学，旨在突出解决问题中数量关系的本质，训练学生在多变繁杂的情形中准确审题和灵活解答的能力。即：将解决问题看作一个整体，一般包括事理、情节、关系、结构、条件、问题、数量等因素，现着重介绍其中的几种。

一、应用解决问题过程中的条件变式

解决问题的条件，就是解决问题所反映的有关事情的存在和状况。解决问题中的条件一般有直接条件和间接条件、外显条件和潜在条件、具体条件和抽象条件、必要条件和多余条件，教学中宜依据具体情况对上述四对条件进行相互变式。

（1）直接条件和间接条件。直接条件是可直接参加列式计算的已知条件。如：“正方体的棱长是3厘米，那么这个正方体的体积是多少？”题中条件为直接条件，而间接条件则需变式后方可列式计算。如：“用一根长36cm的铁丝焊接成一个正方体，那么这个正方体的体积是多少？”题中“一根长36cm的铁丝”是间接条件。

（2）外显条件和潜在条件。明显外化的已知条件是外显条件。一般地，直接条件和间接条件均是外显条件。隐蔽内化的已知条件则是潜在条件。如：“一只手表分针长2cm，分针11：00走到12：00，问：分针的尖端走过的路程是多少厘米？”这里的条件中“分针从11：00走到12：00”指的就是“分针走了1小时，也就是走了一圈”。

（3）具体条件和抽象条件。具体条件是含有数量或倍率的已知条件。如：“长青桥小学有一块面积是490平方米的长方形苗圃，苗圃长35米，宽是多少米？”而抽象条件就是不含有数量或倍率而仅用句子陈述的已知条件。如归一问题：“李师傅5天加工50个零件，照这样计算，加工200个零件要用多少天？”

（4）必要条件和多余条件。解题时必不可少的已知条件是必要条件。如“把一根长36厘米的铁丝围成一个最大的正方形，求这个正方形的面积”中的“最大”就是不可缺少的。对解题过程没有作用的已知条件称之为多余条件。如：“小明家有14只鸡和5只鸭。公鸡有6只，母鸡有几只？”本题的问题是求母鸡的只数，只要知道总的鸡数和公鸡的只数就可以求出，算法是14-6=8（只）。题目中的一个条件“5只鸭”没有用到，是一个多余条件。

二、应用解决问题过程中的问题变式

解决问题中的问题，就是解决问题中所反映的有关事情的矛盾和任务。

（1）级变。即把一级（个）问题“折”为二级（个），或将二级（个）问题“合”为一级（个）问题。如：

〔原题〕四（4）班男女学生之比是5：4，男生比女生多5人。男生与女生分别有多少人？

〔变题〕四（4）班男女学生之比是5：4，男生比女生多5人。男生与女生一共有多少人？

（2）恒变。即进行非本质属性的变式。如：

〔原题〕小明有一本120页的故事书，看了5天，每天看8页，小明已经看了多少页？

〔变题〕小明有一本120页的故事书，看了5天，每天看8页，还剩下多少页没有看？

（3）异变。即进行本质属性的变式。如：

〔原题〕一个长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高30厘米。这个鱼缸能够放入多少水？

〔变题〕一个长方体玻璃鱼缸，长50厘米，宽40厘米，高30厘米。做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？

原题中求的是“长方体的体积”，而变题中求的是“长方体五个面的面积”。

三、应用解决问题过程中的事理变式

解决问题的事理，就是解决问题所反映的有关事情的含义和性质。小学的解决问题，大多反映日常生活和生产方面的事情，有的是学生亲身经历过的，有的是学生从未看到或听到过的。因此，事情的熟悉和生疏对解决问题思路的形成有一定影响。如分数工程问题的事理，它不只局限于工程问题方面的题材，其他如修路、烧煤、行程、买卖、看书等题材，只要符合工程问题的特征，并具有“工程量÷合效率=合时间”性质，都可以进行事理变式。如：

〔原题〕甲、乙二人同时从相距38千米的两地相向行走，甲每时行3千米，乙每时行5千米，经过几时后两人才能相遇？

〔变题〕

1.甲地到乙地的公路长436千米。两辆汽车从两地对开，甲车每小时行42千米，乙车每小时行46千米。经过几小时两车相遇？

2.电视机厂要装配2500台电视机，两个组同时装配，一个组每天装配132台，另一个组每天装配118台，需要几天完成？

3.甲、乙两个工程队同时从两端开挖一条1000米长的水渠，甲队每天挖48米，乙队每天挖52米，这条水渠多少天能够完成？

……

四、应用解决问题过程中的结构变式

解决问题中的结构，就是解决问题中所反映的有关事情的关联和排列，即解决问题的条件之间、条件与问题之间的搭配及序列安排。基本的解决问题中的结构特征是“两条件加一问题”构成三量关系，因此一步计算的解决问题中的结构不外乎两种：顺向结构——客观表述与主观思维的方向一致，逆向结构——客观表述与主观思维的方向相反。学生解答逆向结构的解决问题往往比解答顺向结构的解决问题要难些。如：

〔原题〕小华在书店买了8本笔记本，5元一本，一共用去多少元？

〔变题〕小华在书店买了8本笔记本，用去40元，每本多少元？

原题的表述顺序与学生的思维方向相同，1本笔记本的价钱→8本笔记本的价钱。变式题改变了陈述的顺序，思考难度就变大了。

复合问题的结构主要有并列结构和偏正结构两种，而逆向结构和顺向结构包含其中。如归一问题就是典型的并列结构，而平均问题有偏正结构，也有并列结构。如：

〔原题〕小军看一本故事书，5天分别看10页、12页、11页、14页、13页。平均每天看多少页？

〔变题〕

1.小军看一本故事书，前2天看了22页，后3天看了38页。平均每天看多少页？

2.小军看一本故事书，前2天看了22页，比后3天少看16页，平均每天看多少页？

上面三题中，原题属偏正结构，变题1属并列结构，这两题内部都包含了顺向结构;变题2属并列结构，其内部又有顺向结构和逆向结构两种。

结构变式主要有三种形式：

（1）顺逆互变。即把顺向结构改变成逆向结构，或者是将逆向结构改变成顺向结构。

（2）前后互置。即打乱解决问题中已知条件的排列顺序或方法。

（3）因果互调。即把求得的问题当作条件，要求的其中一个问题设在“条件部分”。如：

〔原题〕甲车间15人，乙车间19人。每人加工8个零件。两个车间一共加工多少个零件？

〔变题〕甲车间15人，（  ）。每人加工8个零件。两个车间一共加工272个零件？

……

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生把所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会数学学习的乐趣。总之，教师要不断更新观念，因材施教，继续完善“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，为学生学好数学、用好数学打下坚实的基础。