万有引力定律应用教学需要注意的四个细节

周邦国

[摘 要]

在物理教学中，细节的处理对学生的物理学习有重要的影响。只有处理好细节，才能更好地凸显物理的本质，学生才能以不变应万变，才不会错误迁移解题经验，才不会陷入思维定势。

[关键词]

教学；迁移；细节

在物理教学中，应该处理好细节，这样，才能把物理本质凸显出来，学生才能够抓住住物理的本质因素，学生也才能够在解题中以不变应万变。如果对细节的处理不到位，学生在解决问题时不能分清楚不同物理问题之间的区别，那就容易陷入思维定势的误区，对学生的物理学习造成障碍。本文以万有引力定律运用为例，谈谈物理本质的细节与学生思维定势之间的关系。

一、物理量的矢量性

在学习圆周运动时学生已经知道向心力、向心加速度、线速度是矢量，有大小有方向，且在匀速圆周运动中这些物理量大小相等、方向不断变化。研究天体运动时，卫星绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动。在分析天体运动的问题时，有不少学生由于没有注意上述物理量是矢量，或者没有受到一些教辅资料口诀的影响，而出现低级错误。例如，在学习地球同步卫星时，很多教辅资料和老师归纳为：五同——同轨、同高、同速、同周期、同加速度。这里面的同仅指物理量大小相同，而学生受这些口诀的影响进一步忽略了物理量的方向，导致低级错误。

例题1：某一时刻，所有的地球同步卫星（ ）

A.向心力相同 B.线速度相同

C.向心加速度相同 D.离地心的距离相同

要解决这一问题，就要在教学中，强调所有圆周运动的规律对天体运动中的卫星都适用，描述卫星的运动时适用描述圆周运动所有物理量，这些物理量中线速度、向心力、向心加速度等是矢量。强调了这些物理量是矢量这一细节，学生自然能解决例题1。

二、物体的“随”与卫星的“绕”

在天体运动中，我们遇到很多问题都是简化成卫星绕中心天体做匀速圆周这一模型。此时，由万有引力提供向心力得[GMmr2=mv2r=mrω2=mr（2πT）2]，根据题目的已知条件一般可以解决问题，再稍微复杂一些的问题中再结合黄金代换式[GM=gR2]即可。也许是过多遇到这一类题目，学生在遇到地球上的物体随地球一起运动时，也采用万有引力提供向心力列式分析。

例题2：地球赤道上的物体随地球自转而做圆周运动的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；地球同步卫星的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为V2，角速度为ω2；设物体与卫星的质量相等，则（ ）

A.F1>F2 B.a1>a2 C.V1

本题中有不少学生根据万有引力提供向心力及牛顿第二定律得到[v=GMr]，[ω=GMr3]，[a=GMr2]，分析后得到：v1>v2，ω1>ω2，a1>a2等错误结论。“地球赤道上的物体随地球自转而做圆周运动”叫做“随地球一起运动”，“地球同步卫星的圆周运动”叫“绕地球一起运动”，只有学生清楚“随”与“绕”之间的区别与联系，才能解决问题。“随”与“绕”所做的都是匀速圆周运动，都是合外力提供向心力。但是“随”与“绕”物体的受力情况是不一样的。“随”的受力如图1所示，赤道上的物体受到万有和地面对物体的支持力，这两个力的合力提供向心力，万有引力从效果上来看可以分解为重力和向心力，重力和支持力是一对平衡力，如图2所示。“绕”受力分析如图3所示，地球同步卫星只受到地球对它万有引力的作用，此时万有引力提供向心力。所以，“随”与“绕”动力学方程不一样，“随”时为[GMmR2-mg=mv2R=mRω2]，“绕”时为[GMmr2=mv2r=mRω2]。此时如果两种情况都依据万有引力提供向心力来分析向心加速度、线速度、角速度，必然导致错误。

知道“随”与“绕”的区别，只能知道不能怎样解决问题，要找到正确的解决问题的方法，还需要知道“随”与“绕”二者之间的相同之处。赤道上随地球自转物体的角速度与同步卫星的角速度相同，即ω1=ω2.由于地球同步卫星做圆周运动的半径大于地球赤道的半径，由[a=rω2]得到同步卫星的向心加速度要大于随地球自转的向心加速度，即a1>a2；由v=ωr可知，同步卫星的线速度要大于随地球自转的线速度，即V1

三、中心天体是否相同

在分析天体运动时候，经常遇到比较同一个中心天体的不同轨道上的卫星或者同一卫星前后不同时刻在不同轨道上运动时的线速度、角速度、向心加速度、周期等物理量的大小。在分析这些问题时，根据万有引力提供向心力[GMmr2=mv2r=mrω2=mr（2πT）2]得：[v=GMr]，[ω=GMr3]，[a=GMr2]，[T=4π2r3GM]，于是有了“轨道半径越大，周期越大，线速度、角速度、向心加速度都越小”的思维定势。这样的思维定势在解决如下面例题3这一类试题时，很有利，学生很快可以选出正确答案。

例题3：如图4所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的卫星a、b、c某时刻在同一直线上，则（ ）

A.经过一段时间，它们将同时第一次回到原位置

B.卫星c受到的向心力最小

C.卫星b的周期比c小

D.卫星a的角速度最大

在上述问题的解决中，分析问题时，由于是同一个中心天体，所以在比较时式子中的“M”是不变的，才有了“轨道半径越大，周期越大，线速度、角速度、向心加速度都越小”。教学中，如果不强调“中心天体不变”这一个细节，学生在遇到例题4这一类试题时就会束手无策，或者得出错误的结论。

例题4：如图5，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的运行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的线速度比乙的大

本题中甲和乙两颗卫星，半径相同，如果学生由于思维定势，套用上面“轨道半径越大，周期越大，别的物理量都越小”的结论，学生会得到“甲乙周期、线速度、角速度、向心加速度大小相同”的错误结论。本题中甲和乙两颗卫星的所环绕的中心天体不同，且中心天体的质量是不同的，不能再套用上述结论。只能根据万有引力提供向心力，分析后得到正确结论。以线速度的比较为例，[v甲=GMr]，[v乙=2GMr]，所以乙的线速度比甲大。

四、公式中不同含义的“R”

在天体运动部分，R有时表示天体之间的距离，有时表示天体半径，有时表示卫星轨道半径，如果不把公式中的字母含义弄清楚，学生会出现如下两种典型错误，错误1：把表示不同物理量的R错误约分；错误2：双星问题中把两星体之间的距离R与轨道半径混为一谈。

例题5：月球绕地球的运动近似看成，月地距离为r，地球半径为R，如果月球绕地球的周期为T，求地球的平均密度？

解：设地球质量为M，月球质量为m。

根据万有引力提供向心力有：[GMmr2=mr（2πT）2]，

可得：[M=4π2r3GT2]

地球体积[v=43πR3]，地球的平均密度[ρ=Mv=3πr3GT2R3].

算到这里之后，有不少同学把r3与R3约去，这些同学在计算中没有区分[v=43πR3]中的R与[F=GMmr2]、[F向=mr（2πT）2]中的r。要解决这一问题，我们就要做好如下两个细节：第一，在教学之初强调，公式中个字母表示的物理量；第二，为了帮助学生理解理解各公式中不同的R，画出图6所示的天体运动的模型图，明确R是中心天体半径，r是卫星到中心天体球心的距离，在这里同时也是卫星的轨道半径。提出问题，[F=GMmr2]中的r（两天体的距离）与向心力公式中的（卫星轨道半径）是不是一定相同呢？让学生思考例题6。

例题6：两个星球组成双星，银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1、S1到S2间的距离为r，已知引力常量为G。求出S2的质量。

学生常见错误分析：设两星质量分别为M1和M2，它们都O点做周期为T的圆周运动。由万有引力提供向心力[GM2M1r2=M1r（2πT）2]得[M2=4π2r2GT2]，或者[GM2M1r12=M1r1（2πT）2]得[M2=4π2r13GT2]。这些错误的根本原因是学生混淆了万有引力定律公式中的“R”和向心力公式中的“R”，在学生遇到的很多试题中这二者是相等的，没有分清这两个“R”的不同对学生解题影响不大，但是在本题中星体S1和S2互相给对方的万有引力提供向心力，[F=GM2M1r2]中的r的含义是两个星体之间的距离，S1星所需要的向心力[F向=mr14π2T2]，r1表示S1星的轨道半径，S1星所需要的向心力[F向=mr24π2T2]，r2表示S2星的轨道半径。物理情景如图7所示，r=r1+r2。在进行教学时，处理好“强调不同公式中R表示的意义，并通过画图帮助学生构建物理情景”等细节，能防止学生因思维定势而产生错误认识。

[参 考 文 献]

[1]陈恒.中学物理习题变式教学探究[J].物理教学，2011（10）.

[2]李永.物理习题教学的“反思”教学[J].物理教学探讨，2011（7）.

（责任编辑：张华伟）