基于数学史视角的球体积教学设计思考

摘要：对牟合方盖法计算球体积教学中出现的三个难点——牟合方盖的由来、抽象牟合方盖的理解及牟合方盖体积的计算进行逐个突破，以期对教学设计有启发和借鉴作用。

关键词：球体积 牟合方盖 数学史

一、问题的提出

球体积公式是高中数学基本内容，不同的推导方法常常会达到不同的教育效果。有的教师通过切片求极限的方法得出球体积公式，培养了学生极限思想。有的教师利用球面小锥体结合球表面积公式推得球体积公式，培养了学生近似求和的思想。有的教师借此机会探寻古今中外的方法，向学生展示人类智慧的成果。比如，教师通过截面原理（祖暅原理）的引入，验证得出半球体积等于同底等高圆柱体挖去同底等高圆锥体的体积（公理法）。这种处理方式尽管介绍了中国古代的重要原理，却舍弃了知识生动的发生发展过程，未能充分展现其教学功能和文化功能。若能进一步引入中国古代计算球体积的重要立体——牟合方盖，利用牟合方盖计算球体积，不仅可以让学生经历古人“以方套圆，化圆为方”的求解历程，拓展学生的思维，还是一次增强民族自豪感的文化教育和爱国教育。有教师尝试向学生讲授上述各种推导方法，从课后学生的问卷调查[1]来看，牟合方盖法“太深奥，难以理解，自己根本不可能想到，即使勉强看懂了，也无法掌握”。何以古人一千多年前的推导方法不能为学生接受？学生在理解上遇到哪些困难？只有知道了这些，教师才能更好地进行针对性的教学设计。

二、牟合方盖法计算球体积的教学难点及其对策

有学者将数学史融入数学教学分为四种方式：附加式、复制式、顺应式和重构式。[2]对于“深奥，难以理解”的牟合方盖法，教师首先应该理解史料，并按照学生的数学实际找到教学中的难点，才能进行创造性的教学设计，将数学史料更好地融入教学，最大化地发挥其教育功能。

难点1：构造牟合方盖的缘由

球体积的计算是古代几何学中的一个难题。为了获得球体积的精确公式，东西方都竭尽了好几代人的智慧，利用当时所有的科学成果，创造出许多重要的数学方法和精巧的几何构造物。在西方有古希腊阿基米德的力学方法和17世纪意大利人卡瓦列利的不可分量方法，而在东方则有我国刘徽所构造的牟合方盖。牟合方盖不是自然无形体的摹写，而是为论证的需要构造出来的特殊形状的几何体。因而，它的发明是以深刻的数学思想与方法为指导的，此数学思想即截面原理，就是我们现在所说的“祖暅原理”。

古人对截面原理早有深刻理解。从《九章算术》“商功章”各求积术的编排顺序来看，作者有意将所有圆体安排在相应方体之后，即按方堢壔（方柱体）与圆堢壔（圆柱体）、方亭（方台）与圆亭（圆台）、方锥与圆锥的顺序叙述。古人先计算方体体积，进而利用截面原理，通过“方体体积∶圆体体积=截面方形面积∶截面圆面积”得出圆体体积（如图1）。

类似地，在计算球体积时，古人仍试图利用截面原理，只是还缺一个重要的辅助工具，即球的方体“外套”。这个外套的体积较易求得，进而利用截面积之比求得球体积。

我们不妨来重温刘徽创造牟合方盖的过程。图2中，圆柱与正方体的截面面积比始终为？仔∶4，按照这种思路给球套的外套也应有这种截面性质。刘徽发现以圆柱套球，圆与外方仍有两面不切合（图3（1）），如要达到四面都切合，则按垂直方向再套上一个圆柱即可，经过一番思考，刘徽终于发明了球的牟合方盖（图3（2）为半个牟合方盖）。

刘徽发明牟合方盖，正是古人“以方套圆，化圆为方”的解题思路，而最终能由方求圆则依赖截面原理这一重要公理。如果教师能在呈现牟合方盖前讲以上这些作为铺垫，学生就能对“为什么要引入牟合方盖”有所体会。

难点2：如何理解抽象的牟合方盖

一般的教学材料中呈现的牟合方盖有两种情形（如图4）：通过图4（1）正方体中两垂直圆柱的公共部分，或者图4（2）中两根垂直的相同圆柱的公共部分，来得出图4（3）中的牟合方盖。无论（1）图还是（2）图，要让学生想象出相交公共部分是（3）都不是一件容易的事情。这时学生就会感觉牟合方盖太抽象，不易理解。有些教师可能会求助于3D多媒体，有些教师可能会求助于实物制作。其实，教师不妨沿用刘徽创造出牟合方盖的思想，即截面以正方形外切圆形，让学生想象牟合方盖的外观。如图5所示，让学生想象一刀一刀平行地切球体，得到一个个大小不同的圆，以圆的外切正方形代替圆，保证这些正方形中心重合，对角线叠合，这样就形成了牟合方盖的外形（这里教师也可以让学生画出牟合方盖的三维图来加深理解）。

经历过这番想象与操作后，再向学生介绍图3和图4，学生更能接受牟合方盖的形象。这里教师需要对学生提出更进一步的要求，以便为计算牟合方盖体积做准备。球内切牟合方盖，相切于哪些部分？教师可通过平面的方圆相切图帮助学生理解，相切部分在牟合方盖的面上，正好是球的两个垂直大圆。

难点3：如何计算牟合方盖的体积

刘徽指出，在每一高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积之比都等于？仔∶4，因此球体积与牟合方盖体积之比也应该等于？仔∶4。牟合方盖的体积怎么求呢？最终刘徽没有能够解决，他说“敢不阙疑，以俟能言者”，他提出问题，等待后人来解题。尽管刘徽没有推证出球体积公式，但他为后人指出了解决球体积的正确方向。

两百年后，刘徽的问题终于被祖冲之和他的儿子祖暅解决了。我们来简单回顾他们的解决方法，考虑到牟合方盖的对称性，祖暅计算其1/8体积，将其放于小正方体中考虑（图6）。祖暅不直接求1/8牟合方盖体积，转而求小正方体中扣除1/8牟合方盖后的剩余体积。常规说来，剩余立体形状不规则，更不易求。但是祖暅利用截面原理，发现剩余部分体积应等于一个“阳马”（一棱垂直于底面，且底面为正方形的棱锥，图7（3）中椎体O-ABCD即为一个倒置的阳马）的体积，而阳马体积又等于小正方体体积的1/3，从而得出1/8牟合方盖的体积为小正方体体积的2/3。

在讲图6的水平截面之前，教师有必要与学生一起对图6作深入观察。学生应能理解弧AE，AG实则为大圆周长的1/4，AF为牟合方盖的棱的一部分。明确这些之后，教师可与学生一起讨论图6立体的水平截面（见图7）。

三、进一步地反思

教学中引入数学史料可以有多种教学功能，不仅可以拓展学生的视野，激发学习兴趣，而且可以让学生在“再发现”和“再创造”的过程中感悟其中的数学思想及精髓，为锻炼学生思维提供绝佳契机。在经历了古人的探索过程后，教师可进一步引导学生进行反思。

思考一：牟合方盖的体积计算还有其他方法吗

祖暅在计算牟合方盖体积时利用了对称性，首先计算1/8的体积。教师可以鼓励学生对此方法作进一步拓展。能不能首先计算1/4或者1/2的体积呢？如何借助截面原理构造新的立体呢？以1/2牟合方盖（图8（1））为例，设球半径为r，则高h处的截面面积为4（r2-h2）。教师可引导学生运用类比思想，得出形如图8（2）的新立体—与1/2牟合方盖同底等高的柱体挖去一个同底等高的倒方锥。显然，两副图中阴影部分面积相同。进而借助新立体求得1/2牟合方盖的体积。

思考二：球体积公式的推导能否简化

中国古人计算球体积利用了其外套“牟合方盖”间接求得。教师可引导学生简化推导过程，如果不利用牟合方盖，是否可以直接利用截面原理得出球体积公式？考虑半个球体，若球半径为r，截面高为h处的水平截面圆面积为？仔（r2-h2），这时构造的新立体截面积等于两圆之差（如图9），该新立体为与半球同底等高的圆柱内挖掉一个同底等高的圆锥。这就是我们通常在教科书上看到的推导方法。

经过这样一些步骤的改进，学生不仅可以知晓古人的计算方法，赞叹古人的聪明才智；更能通过自己的智慧改进古人的方法，拓展思维，求简求优。

通过上述推导过程得出球体积公式，相信学生对截面原理会有更深刻地理解，对于中国古代计算球体积过程中的重要创造——牟合方盖的产生及体积计算会有更深入的体会。这里我们只是对牟合方盖法教学中可能遇到的难点进行分析，以期对教师的教学设计有借鉴作用。而合适的教学融入方式，则有待教师作进一步的尝试与探究。

参考文献

[1] 任明骏.关于球体积公式教学各异的调查与分析[J].数学教学，2005（4）.

[2] 汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊，2012（2）.

[3] 李继闵.《九章算术》及其刘徽注研究[M].太原：山西人民教育出版社，1990.

[作者：王萍萍（1981-），女，江苏苏州人，苏州大学数学科学学院讲师，华东师范大学数学系在读博士研究生。]

【责任编辑 郭振玲】