浅析数学思想在小学数学教学中的渗透

杨承军

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中后，经过思维活动而产生的结果。而数学发展所依赖的三个基本思想——抽象、推理、建模的意义，以及在小学数学教学中的重要作用的确是巨大的。在此，从三个方面来说明，数学基本思想在小学数学教学中是如何渗透的，并提出渗透数学思想要行之有路，导之有法，做中感悟。

一、关于题解、数学基本思想和数学方法的问题

史宁中教授在《数学思想概论》中提出：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、建模，学习者通过在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”并由此而生发出其他的，如分类、归纳、简化等许多分类思想。可见，数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。

由于“数学思想”概念比较抽象，故小学教师在数学教学中去渗透它时是有难度的，而要让小学生在数学学习中理解个中含义，更是难上加难。但是，在实际教学中，却处处隐含着数学思想，即通过对事物的推理、演绎、归纳或分类、集合、量化和统计等方法，使之转化为数学方法，从而获得解决问题的办法。一旦学生理解了，掌握了，就会对它产生巨大的兴趣，进而去进一步地发现它，研究它，不断地提高自己的数学素养。

《义务教育数学课标（2011年版）》较之《课标实验稿》，由原来的“双基”发展为“四基”，新增了“两基”——基本思想和基本数学活动经验，其内涵和外延也更加丰富，更加深刻。《义务教育数学课标（2011年版）》中所说的“数学基本思想”主要指“数学抽象思想”“数学推理思想”“数学建模思想”。人们通过“数学抽象”从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过“数学推理”，进一步获得更多的结论，使数学科学得以发展；通过“数学建模”，把数学应用到客观世界中，在产生了巨大效益的同时，又反过来促进数学科学的发展。

笔者认为，以上三个基本思想是数学的“上位”思想，由此又派生、发展、演变出很多“分支”思想，即数学的“下位”思想。数学抽象思想的“下位”思想有“分类思想”“集合思想”“符号思想”，等等；数学推理思想的“下位”思想有“归纳思想”“演绎思想”，等等；数学建模思想的“下位”思想有“简化思想”“量化思想”“函数思想”，等等。

纵观《义务教育数学课标（2011年版）》中所谈到的“数学思想”并不是指数学方法，数学思想与数学方法是既有区别又有联系的。数学思想是宏观的，属于上位的思维范畴，它常常通过数学方法去实现；而数学方法却是微观的，属于下位的实践层面，是解决数学问题的最直接具体的手段。数学方法是在数学思想的指导下进行具体操作的，它是对数学思想的具体反映，属于实施层面，两者密不可分。

二、在小学数学教学中渗透数学思想的重要意义

从以上陈述可以看出，在小学数学教学中渗透数学思想有着重要意义。下面，与大家分享几个生活中的“镜头”，以此说明其重要性。

【镜头1】《福尔摩斯探案——蓝宝石案》片段：福尔摩斯根据一顶旧帽子来推断帽子主人的特征.即“从帽子的外观来看，很明显这个人是个学识渊博的人，而且在过去三年里，生活相当富裕，尽管他目前已处于窘境；他过去很有远见.可是已今非昔比，再加上家道中落，因此精神日趋颓废。这仿佛说明了他受到某种‘坏’的影响.也许染上了酗酒的恶习。他这个人一向深居简出，根本不锻炼身体，是个中年人，头发灰白，而且是最近几天刚刚理过的。头发上涂着柠檬膏。这些就是根据这项帽子所推断出来的比较明显的事实。还有，顺便再提一下。他家里是绝对不可能安有煤气灯的”。

【镜头2】我们会根据手机套餐内容，选择适合自己使用的套餐，如动感地带上网套餐（校园版）。

【镜头3】在第30届英国伦敦奥运会上，我国以38枚金牌位居世界第二，“38”个数字深深地烙入人们的脑海中。

上述三个镜头，在渗透数学思想中，虽各具功能，但殊途同归。“镜头1”中的福尔摩斯应用数学推理思想推断出帽子主人的身份以及特征；“镜头2”是运用数学建模思想根据每个人的实际情况选择合适的手机套餐；“镜头3”中的奥运金牌数38，就是一个数学抽象思想。三个镜头诠释了同一个道理：数学思想。

虽然大多数人已经忘记了很多高深的数学知识，但是人们却能够用学到的数学思想方法去解决生活与工作中或其他领域遇到的问题，让人们终身受益，正如一个学者对数学思想的描述——将具体的数学知识都忘掉后剩下的东西。卢梭说过：“我们的目的不是用知识充塞他的头脑，而是教授爱弥尔获得知识的方法，当他需要获得知识时能获得它。”这里卢梭所说的“方法”，笔者把它理解为“数学思想方法”。这就是《2012年数学课程标准》中为什么“使学生获得数学的基本思想”应该作为数学课程的一个重要目标的意义之一。

同时，从数学学科的发展来说，数学思想和人的思想是一样的，数学倘若没有数学思想，它将是非常机械而枯燥的，根本谈不上进步。数学思想就像科学技术一样，能够很好地推动数学学科的发展，是数学发展的内在动力。如解析几何的产生正是由于有了数形结合思想的推动才发展的；公理化思想催促着欧式几何的诞生等。数学思想能够丰富数学内容，并且使得数学知识越来越完善，越来越深刻，不断从基础发展到高端，从而促进数学学科的发展。数学思想能使整个数学体系的各部分理论之间紧密联系，如数形结合思想能让代数和几何这两个理论紧密联系，能够充分发挥两个理论的优势，从而获得最好的解决问题的办法。

正因为数学思想具备以上重要意义，所以数学教师更应该在小学数学教学中就开始渗透它，让学生终身受益。

三、如何在小学数学教学中渗透数学思想

既然数学思想有着以上重要意义，那么，教师在数学教学中应如何渗透数学思想呢？笔者将从以下几个方面展开讨论。

1.数学抽象思想的渗透

所谓数学抽象思想，是指在数学研究中，通过研究对象的现象，深入里层，抽取事物本质特征的一种思想。笔者在执教北师大版四年级下期“四边形的分类”一课时，在教学中对数学抽象思想做了如下渗透。

首先.笔者出示8个四边形（见图1），请学生分类。怎么分由学生自己说了算，但要说明理由，对分类标准笔者不做任何限制。

学生通过自己动手操作.展示出如下几种分法：第一种是把①②③④⑥⑦与⑤⑧分成两类，学生这样分的理由是把有平行线的分一类.没有平行线的分一类；第二种是把①⑥与②④⑦以及⑤⑧分成三类，③单独分一类，学生这样分的理由是平行四边形和梯形各分一类，一般四边形分一类，菱形分一类；第三种是把①③⑥分成一类，把②④⑦分成一类，把⑤⑧分成一类，学生这样分的理由是平行四边形和梯形各分一类，一般四边形分一类。学生从不同的角度思考问题.而且理由都充分。

这节课分类的目的是帮助学生更好地抽象出平行四边形和梯形的概念。形成系统的知识体系。在学生思维充分展开的基础上，笔者及时进行思维优化.并提出：“如果以对边是否平行为标准要分成哪几类？”引导学生从关注问题的“表层结构”——外在的图形形态.过渡到关注问题的“深层结构”——图形边的形态。通过笔者提示，学生又做了如下分类：有把①③⑥分成一类的，有把②④⑦分成一类的，也有把⑤⑧分成一类的。笔者追问：“①③⑥为什么归为一类？”在追问中学生抽象出“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。”当问到“②④⑦为什么归为一类时”，学生的回答是“这三个四边形都有一组对边平行；有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形”。教师针对学生这样的回答可用如下方式进行提升。

教师：“你们能用‘只有’造句吗？”学生：“我只有一本数学书。”教师：“那这里什么叫梯形，你能像刚才那样用‘只有’造句吗？”这时.学生就会很自然地类比出：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

从以上案例可以看出数学抽象思想在实施过程中离不开三个环节，即“分离一提纯一简化”。从几个四边形中通过“分类”产生“分离”，接着通过“类比”等“提升”出初步概念，最后“简化”出本质特征。

2.数学推理思想的渗透

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。”笔者曾指导一位教师执教北师大版二年级下期“长方形与正方形”一课时，在教学中对数学推理思想做了如下渗透。

先让学生共同合作，在一块钉有钉子的木板上围出长方形和正方形各一个。

①汇报展示（略）。

②质疑反思：为什么你认为你围出的图形就是长方形？为什么你认为你围出的图形就是正方形？

③总结概念（根据学生的回答进行板书）：长方形的上下两边与左右两边都相等，四个角都是直角，长方形有对边，也有邻边，长方形中相邻的两条边或者说组成长方形每一个直角的两条边就是长方形的一组邻边；正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

教师通过引导学生观察、操作，鼓励学生大胆猜想长方形的特征和正方形的边角特征，并鼓励学生对操作与猜想进行反思，激发学生探究的欲望。

之后，教师再通过提问，加以提升：“是不是所有的长方形和正方形都具备这些特征？”学生验证：用量一量、折一折的方法，验证自己的发现；并把经过验证的结论填写到书上，然后让学生扮演小老师展示汇报验证的过程。

以上片段说明，猜想验证是推理思想的重要的步骤。正如牛顿所说：“没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现。”猜想是学生在对事物有所感知后，做出初步的未经证实的判断。在这节课中，学生通过钉子板围图形猜想出图形的特征，是以一定的数学知识、经验知识和思维方法为基础的一种合理猜想，也就是合情推理，并不是“瞎猜”。在这一过程中，教师充分发挥学生的主体作用，为学生提供自主学习的时间和空间，让学生在自己动手操作中验证了长方形和正方形的特征，在小组汇报时又展示出学生探索策略的多样性；同时，让学生不但要说出发现了什么，还要说出是怎样发现的，关注学生的思考过程。通过让学生动手操作来验证自己的推理，让学生感悟“猜想—验证”的数学推理思想，在这样的猜想验证过程中又体现了合情推理和演绎推理是相辅相成的。

3.数学建模思想的渗透

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”如教学北师大版五年级下期“分数乘法”一课时，教师在教学中可用如下方法渗透数学建模思想。

出示例题：1张图片占一张彩纸的1/5.3张图片占这张彩纸的几分之几？

先让学生读懂题意，明确问题，把实际问题抽象成数学问题。3个1/5是多少？或1/5的3倍是多少？1/5×3=？（3x1/5=？）

然后，解决问题，探索算法。首先，创设情境，建立模型：学生动手把1张纸平均分成5份，用彩笔涂画出其中3份，涂色部分占这张纸的3/5，所以1/5×3=（）。其次，运用模型，解决问题：用已有的数学知识解释上述算式为什么成立？解释的过程即是寓理于算的推理过程。再次，互动质疑，深化概念：让学生想想，这两种算法是不是适合所有的分数乘整数.算一算2/7×3=（）。最后，教师激励，拓展提升：归纳出分数乘整数的计算方法，并通过学生充分讨论后归纳出分数与整数相乘的计算法则：axn/m=axn/m（a、m、n都是正整数）。

这一过程，通过提取关键步骤，简缩思维过程，形成了运算法则，抽象成了数学模型，从而根据法则，进行计算。

从以上案例中，我们可以看出建模的过程大约经历以下几个步骤。第一步，确定所研究的原型问题。第二步，建立数学模型思想和方法。任何的分数与整数相乘，都可以看作若干个整数与同分母的分数单位相乘。第三步，进行数学抽象。用数学符号、数学概念、数学表达方式来表达所确定的系统，如上例中学生不仅用语言归纳出分数乘整数的计算法则，还用字母这个数学符号表达出了分数乘整数的计算法则。第四步，应用数学模型解决实际问题，对模型进行优化。上例中用分数乘整数的计算法则不仅解决了实际问题，还将相关联的知识都纳入系统中，如在解题过程中，发现能约分要先约分。在这个案例中学生掌握了分数乘整数的计算方法，积累了丰富的数学活动经验，感悟了数学建模思想的本质，提高了发现问题、解决问题的能力。

总之，在小学数学教学中，只要把数学思想的渗透真正做到行之有路，导之有法，做中感悟，定能收到良好的教学效果。

（责任编辑 罗登廉）