基于约束粒子群优化的导弹H∞-PID控制器设计*

张　民，应巧萍（南京航空航天大学自动化学院，南京　210016）

基于约束粒子群优化的导弹H∞-PID控制器设计*

张民，应巧萍
（南京航空航天大学自动化学院，南京210016）

传统导弹的PID控制律设计仅考虑了幅值裕度、相位裕度等指标，无法满足多变量鲁棒性指标要求。文中提出了一种基于约束粒子群优化的导弹控制器设计方法，该方法以H∞鲁棒性指标作为目标函数，自动优化得到控制参数。同时，对现有的粒子群算法进行了改进，采用映射函数法将约束优化问题转化为非约束优化问题。以样例导弹为对象设计了H∞-PID控制器并与罚函数法进行了比较，结果表明文中算法各项性能优于经典罚函数法。

导弹；PID；控制；粒子群；优化

0　引言

随着对新一代导弹性能要求的提高，如何提高导弹在极限状态下的稳定性成为突出的问题，因此控制器的鲁棒性能正日益受到重视［1］。传统导弹控制律设计仍然采用幅值裕度、相位裕度等鲁棒性指标，而这些经典指标在导弹进入到某些极限状态时对高度耦合系统鲁棒性的反映是不足的［2］。目前迫切需要建立一种形式化的设计方法，采用基于现代鲁棒控制理论的多变量指标对控制器的鲁棒性进行评价。导弹PID控制律总的设计流程是在一定的控制结构上设计控制参数使得闭环系统满足给定的指标。这一设计流程可以看作一个优化过程，通过该方法来设计导弹控制律是一条可行的思路。在各种优化算法中，由James Kennedy和Russell Eberhart在1995年共同提出的粒子群优化算法（PSO）［4］具有算法结构简单、全局优化能力强等优点，近年来得到越来越多的重视。粒子群优化算法最初是作为一种非约束优化算法被提出的，在工程实践中有相当多的应用属于要求满足一定约束条件的优化问题，为了使其能够处理带约束的优化问题，相继提出了各种改进算法［5-6］。文中采用了一种简便的映射函数方法，将约束优化问题转化为非约束优化问题，并将其应用到样例导弹的H∞-PID控制器的设计中。

1　问题描述

标准PID反馈控制系统结构见图1所示。

图中：r（t）为参考输入；u（t）为控制输入信号；y（t）为模型输出信号；d（t）为外部干扰信号；w（t）为传感器噪声。P（s）=N（s）/D（s）为线性时不变系统模型，N（s）、D（s）为满足互质的多项式，定义为：

且满足n＜m。

图1　标准PID控制结构

K（s）为带一阶低通滤波的标准PID控制器，定义为：

式中：kp为比例系数；ti为积分时间；td/N为低通滤波器时间常数，且kp、ti、td与N均为正实数。对由图1定义的系统，其开环传递函数为L（s）=P（s）K（s）。依据混合灵敏度H∞控制的定义［1］，灵敏度函数和补灵敏度函数分别定义为：

鲁棒性指标可以表示为：

式中：WS（s）和WT（s）分别为灵敏度权函数和补灵敏度权函数，这两个函数由设计者依据对闭环系统鲁棒稳定性和鲁棒性能的要求来分别确定。

1）闭环控制系统内稳定；

2）满足式（3）、式（4）所示的鲁棒性指标。

2　导弹模型与控制结构

由样例导弹纵向短周期扰动运动方程组出发，得到样例导弹在5 km高度、50°攻角下的纵向线性状态空间模型，其中状态方程为：

输出方程为：

式中：u、w分别为纵向和法向速度；α为攻角；q为俯仰角速率；az为法向加速度；δe为等效升降舵偏角。

以导弹纵向状态模型为控制对象，导弹的PID控制器可以有各种形式，如姿态控制器、迎角控制器和过载控制器等，每种控制器依据控制对象本身的特性和控制需求还可以细分为更多的回路控制结构。不失一般性，文中以经典三回路驾驶仪纵向控制结构为例，如图2所示。

图2　俯仰通道控制结构

在图2中，Az、Azm分别为法向过载输出信号和法向过载给定信号。在俯仰通道中，3个回路分别为角速率阻尼回路、攻角增稳回路和过载控制回路，并在过载回路中采用积分校正以消除静差。控制律的表达式为：

在导弹纵向H∞-PID控制器的设计过程中，就是要获得控制参数ke1、ke2、ke3和ke4，使得导弹在实现控制稳定的同时满足式（3）和式（4）所示的鲁棒性指标。

3　粒子群优化算法

3.1标准PSO算法

PSO算法是一种基于群体进化的非线性优化算法，它依据鸟群在一定区域内搜索食物的原理，把每一个粒子作为一只鸟，使用多个粒子在搜索空间内依据粒子的个体行为和群体行为自动寻找目标函数f（x）：ℝn→ℝ的最优解。粒子变量x∈ℝn，则搜索目标可以表示为［4］：

式中：c1为粒子个体认知加速常数，c2为群体认知加速常数，参数c1和c2分别代表了个体自身行为和群体行为对个体影响的大小为［0，1］之间的随机数，代表了粒子的随机行为代表了第i个粒子个体在当前进化代数下的最优值代表了整个粒子群体在当前进化代数下的最优值：i

ω为惯性系数，代表了粒子的运动惯性，按照运动惯性随进化代数逐渐减小的原则，其表达式为：

式中：wmax和wmin分别为w的最大值与最小值；kmax为最大进化代数。

标准PSO算法包含如下执行步骤：

步骤1在搜索空间内随机初始化每个粒子的位置并计算目标函数，分别确定

步骤3依据式（6）和式（7）调整粒子的位置和速度，确定当前进化代数的，设置进化代数k=k+1。

在步骤2中，算法的停止条件可以是目标函数f（x）达到期望的极值，也可以是达到预先设定的最大终止进化代数kmax。

3.2约束PSO算法

标准PSO算法是一种非约束优化算法，为了使其能解决实际存在的大量带约束的优化问题，近年有很多改进算法相继被提出，常见的如罚函数法、增广拉格朗日法（ALPSO）等［6-7］。文中采取了一种更为简便的方法将标准PSO算法改进为约束PSO算法。

带多种约束条件的优化问题可以表示为［8］：

考虑H∞-PID控制器的设计，依据式（3）、式（4）在文中取目标函数为：

约束条件：

为了将上述约束优化问题简便的转化为非约束优化问题，在此建立目标函数f（x）的映射函数fv（x）：

由上式可见，fv（x）为负函数且满足当f（xi）＜f（xj）时，总有fv（xi）＜fv（xj）。

采用映射函数的非约束优化问题则可以表示为：

在上述定义中，将fm（x）作为新的目标函数。显然，若约束条件不满足，则fm（x）的值大于等于0；当约束条件满足时，fm（x）=fv（x）且为负；当fm（x）取得最优值时，原目标函数f（x）也取得最优值且满足约束条件h（x）。

此种方法区别于其它方法的最大优势在于它在把非约束优化问题转化为约束优化问题的过程中并未引入新的变量，简单实用，也不要求目标函数f（x）、约束条件函数h（x）满足连续、可微、凸集等要求，是一种非常简便易用的方法。

4　算例仿真与分析

在本算例中，以前述样例导弹数学模型、控制结构为对象，采用约束粒子群优化算法来自动获得控制器参数。

为保证控制器各项参数均为正值，缩小搜索空间的范围，式（5）所示的控制器可以改写为如下形式：

因此，待搜寻参数的范围Δf可以表示为：

在采用H∞混合灵敏度设计方法时，权函数的选择也是重要问题之一。灵敏度函数S（s）的幅值与闭环系统的指令跟踪和抗干扰能力直接相关，而补灵敏度函数T（s）决定了系统的鲁棒稳定性。相应的，权函数WS（s）和WT（s）应分别反映对这两个函数的形状要求。由于命令信号和干扰信号的频率较低，因此在低频段，在保证闭环系统鲁棒稳定的前提下，S（s）幅值必须尽量小，即WS（s）的幅值应尽量大，以使系统取得良好的命令跟踪能力和抗干扰能力；而系统的测量噪声一般随频率的增大而增大，因此要求在高频段T（s）幅值较小，即WT（s）的幅值应尽量大，以抑制测量噪声的不利影响。综合考虑上述因素，在本算例中灵敏度和补灵敏度权函数分别取为：

在样例导弹的H∞-PID控制器的设计中，依据多轮仿真的经验，PSO算法的参数可以取为：

粒子数量：80；

粒子维数：4；

粒子最大移动速度：Vmax，d=xmax，d/2；

学习因子：c1=2，c2=2；

惯性系数最大与最小值：Wmax=0.9，Wmin=0.4；

最大搜索代数：400；

终止条件：达到最大代数。

采用如式（8）和式（9）的性能指标函数和约束条件，最终获得的控制参数如表1所示。

表1　控制参数值

法向过载响应见图5所示。

图3　灵敏度函数

图4　补灵敏度函数

图5　法向过载响应仿真结果

由图5可见，样例导弹具有良好的法向过载时域响应特性。

为了对该约束粒子群算法的收敛特性进行进一步的分析，将该算法以随机初值设计H∞-PID控制器的过程重复100遍，全局最优值的收敛过程如图6所示。

由图6可见，该约束优化算法在设计导弹H∞-PID控制器中表现出良好的收敛特性，在100次试验中，绝大多数试验全局收敛代数在250代以内。与目前常见的罚函数法约束PSO算法［9］的比较结果如表2所示：

图6　性能指标函数收敛性曲线

表2　试验结果统计与比较

由表2可见，文中的约束PSO算法性能各项指标均优于参考文献［9］中的罚函数法约束PSO算法。

5　结论

文中提出了一种基于约束粒子群优化的导弹H∞-PID控制器设计方法，针对样例导弹的仿真表明：第一，所设计的导弹PID控制器在不违反约束的条件下能够满足H∞鲁棒性指标；第二，多次仿真的统计结果表明文中提出的设计方法优于经典的罚函数法约束PSO算法。文中仅针对样例导弹的俯仰通道设计了控制器。在建立了H∞-PID控制器设计方法的基础上，将其推广到导弹的三通道联合设计是下一步值得研究的工作。

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H∞-PID Controller Design for Missile Autopilot Based on Constrained Particle Swarm Optimization

ZHANG Min，YING Qiaopin
（College of Automatic on Engineering，NUAA，Nanjing 210016，China）

Traditional design of missile’s PID control law only considers robust performances such as amplitude margin，phase margin and so on，which is unable to guarantee multivariate robustness index.In this paper，an easy-to-use method for controller design was presented based on constrained particle swarm optimization（PSO）algorithm.This method takes H∞robustness index as objective function and automatically obtains various parameters.The existing PSO algorithm has been improved by a mapping function，so a constrained optimization problem can be converted into an unconstrained one.Taking the sample missile as the plant，the H∞-PID controller was designed.Compared with penalty function algorithm，simulation results show that this method has better performance.

missile；PID；control；particle swarm；optimization

V448.12

A

10.15892/j.cnki.djzdxb.2016.01.001

2015-04-14

国家自然科学基金（61174197）资助

张民（1973-），男，江苏南京人，副研究员，博士，研究方向：导航、制导与控制。