基于PSO-AGA的水文频率参数优化算法

唐　颖，张永祥，王　昊，刘　宇

基于PSO-AGA的水文频率参数优化算法

唐颖1，2，张永祥1，2，王昊1，2，刘宇1，2

（1.北京工业大学建筑工程学院，北京100124；2.北京工业大学水质科学与水环境恢复工程北京市重点实验室，北京100124）

为了寻求水文频率参数最优值，进而得到精度更高的水文特征值，提出一种基于粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）算法与自适应遗传算法（adaptive genetic algorithm，AGA）的水文频率参数优化算法.该算法基于离差平方和最小准则、离差绝对值和最小准则及相对离（残）差平方和最小准则，构建水文频率参数优化模型，在粒子群算法中引入自适应遗传算子，将遗传算法的全局搜索能力强与粒子群算法的收敛速度快有效结合，并对交叉、变异概率进行自适应改进，形成一种自适应混合算法，用于对模型求解，得到最佳水文频率统计参数.以北京市气象中心降雨资料为例，将本文算法与其他常规方法比较，结果表明:本文算法获得的参数值在拟合精度和适线效果上要优于常规方法，为水文频率分析领域决策提供了参考依据.

水文频率参数；粒子群算法；遗传算法；适线

水文设计值是雨水设计流量、城市排水系统设计与规划的基本依据之一，可以通过现有水文资料进行水文频率分析推求，其精度的大小直接影响到城市排水工程的投资和安全.水文频率分析主要包括理论频率分布模型的选择和曲线统计参数的估计［1-2］.

按照中国相关规范规定:目前中国广泛应用的理论频率分布模型是皮尔逊芋型分布模型，参数估计方法常用的有:矩法、概率权重矩法、权函数法和适线法等.矩法估计所得的频率曲线总是系统偏小，其中Cs偏小尤为明显；概率权重矩法统计的参数也往往偏小，在高重现期更为明显；权函数仅适用于连序系列，限制了使用范围；适线法是中国用于水文频率参数统计的主要方法，分为目估适线法和优化适线法.目估适线法是通过目测来选配一条与点据拟合较佳的曲线，这种方法具有一定的盲目性，参数的精度受个人经验影响较大；优化适线法是在一定的适线准则下，通过优化算法使参数最优，这种方法可以避免适线的任意性，具有较好的适线效果［3-4］.

近年来，遗传算法和粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）算法因其在群体演化优化方面上的优良表现，经常应用于水文频率分析中，对于解决水文频率分析问题有不错的效果.但这一类算法又存在着各自的局限性，遗传算法具有较强的全局搜索能力，但搜索速度慢，粒子群优化算法虽然收敛速度快，但容易陷入局部最优，可以看出2种算法具有很强的互补性，2种算法相结合得到的混合算法要优于单一的算法，在文献［5］中已得到证明.本文综合2种算法的优点，提出一种粒子群算法与自适应遗传算法（adaptive genetic algorithm，AGA）的混合算法，并应用于水文频率参数的优化中，按照不同适线准则，进行优化适线研究，得到最佳水文频率统计参数.

1　水文频率参数模型的构建

1.1目标函数的建立

1.1.1水文频率适线准则

依据《水利水电工程设计洪水计算手册》，目前中国设计水文频率适线准则有:离差平方和最小准则、离差绝对值和最小准则以及相对离（残）差平方和最小准则.

1）离差平方和最小准则

式中:Cv为离差系数；Cs为偏差系数；x为均值；xi为样本系列值；Pi为频率；n为系列长度；φ为离均系数，是Pi与Cs的函数.

2）离差绝对值和最小准则

3）相对离（残）差平方和最小准则

1.1.2离均系数φ的计算

1）皮尔逊芋（P-芋）型分布模型

P-芋型分布的概率分布方程为

因此，P-芋型概率分布的确定取决于参数Cv、Cs以及的取值.

φ标准化的形式为

将式（5）～（8）代入式（4）得

则

由式（11）可得

将式（12）代入式（10）得

即

求解式（14）得

式中:gaminv为不完全伽马函数的逆函数；norminv为正态累积分布的逆函数.

综上所述，模型的目标函数分别为fL、fA和fW，函数的变量为、Cv和Cs.

1.2模型的约束范围

在适线时，对于变量x、Cv和Cs一般先采用矩法估计出变量的初始近似值、Cv0和Cs0，然后在计算过程中对其进行调整.通常情况下，x的调整幅度一般在5%以下，不宜超过10%，Cv的调整幅度为15% ～30%，Cv/Cs的范围一般为［2，6］［3］.

因此，模型的约束条件为

2　粒子群与自适应遗传混合算法

粒子群算法是依据每个粒子独有的记忆功能，根据当前状态和搜索经验来控制种群进化速度和方向，快速收敛于最优解，但这种机制可能导致算法早熟陷入局部最优［6-7］.遗传算法由于应用了优胜劣汰的种群选择机制及其交叉变异的遗传操作，具有良好的全局搜索能力，但涉及大量计算，导致搜索速度较慢［8］.可以看出单一进化算法仅靠自身的开发操作不能得到有效的利用，通过算法间的互补可以提高求解的精度和效率.

本文将2种算法结合运用到水文频率分析中，得到一种新的统计参数混合优化算法.该算法采用十进制编码方式，将遗传算法中的选择、交叉、变异嵌入到粒子群算法中，在进化前期采用轮盘赌选择法与精英保留策略相结合，提高个体多样性，通过对交叉变异概率动态自适应调整，改善算法的收敛性，后期将遗传算法的变异算子运用到粒子群速度进化公式，通过个体离迄今最优解的远近来调整变异的幅度和方向，避免了传统遗传变异操作的盲目性［9-10］.

2.1选择算子与精英保留策略

本文采用轮盘赌选择法进行选择［11］.该方法根据个体被复制的概率与累积概率之间的关系来决定其后代遗传的可能性，选择操作为

式中:i为粒子编号；n为粒子总数；V为粒子的适应度；P为单个粒子被复制的概率；Q为单个粒子被复制的累积概率；U为单个粒子的十进制编码.由式（17）（18）可以看出个体适应度越大的越容易被选中，使种群其他粒子不断被较优粒子所更新.

在选择完成后，对当代种群中最优的一个粒子进行精英保留，使其不参与之后的交叉、变异过程，这样可以使种群的质量得到保证［12］.

2.2粒子的交叉与变异

遗传算法中，交叉操作是影响全局搜索能力的关键所在.交叉概率（Pc）越大，新个体产生的速度就越快，会导致遗传有效模式遭到破坏，Pc越小，算法收敛的速度越慢，会影响进化的进程，Pc应随计算过程而逐渐减小，最后趋于某一稳定值，这样可以避免算法难以收敛.变异操作主要是维持种群的多样性，防止出现早熟，变异概率（Pm）较小会引起群体的多样性减少，较大会导致变异的盲目性和随机性增大［12-13］.

本文采用动态调整交叉、变异概率的方法，使其随着个体的适应度变化进行自动调整［14］，调整公式为

式中:favg为种群平均适应度；fmax为种群最大适应度；f′为要交叉的2个个体中较大的适应度值；Pc1= 0.9，Pc2=0.6，Pm1=0.1，Pm2=0.01.

粒子交叉时，采用算术交叉方式，交叉公式为

粒子变异时，采用粒子群的速度位置更新公式与遗传变异相结合，重构粒子群变异算子，让粒子的局部最优解和种群的全局最优解以及粒子进化的速度来决定变异的幅度和方向［15］，变异公式为

式中:wstart=0.9；wend=0.4；T为总迭代次数；t为当前迭代次数.

2.3混合优化算法步骤

综上所述，混合优化算法具体步骤如下:

1）确定目标函数、约束范围以及初始化粒子群体.由于混合优化算法是求极大最优解，因此根据式（1）～（3）将目标函数变换为和，根据式（16）确定约束范围，设置群体规模n，根据约束范围初始化并随机生成初代群体，设置进化代数T，学习因子c1、c2.

2）适应度评价和轮盘选择.计算粒子的适应度、复制概率P和累积概率Q，按照轮盘选择法进行选择.

3）精英保留.计算单个粒子的历史最优解和群体的全局最优解，复制一个全局最优粒子个体并保留，不参与步骤4）和5）过程.

4）粒子交叉.将群体按每2个粒子随机分成一组，并为每组分配一个（0，1）之间的随机数r，按照式（20）计算每组的交叉概率Pc，如果r＜Pc，则该组按照式（22）进行交叉操作，并判断交叉后的粒子是否超出约束范围，若超出，则将粒子重置到范围边缘.

5）粒子变异.重新计算每个粒子的适应度，按照式（21）计算粒子变异概率Pm，然后为每个粒子分配（0，1）之间的随机数r，若r＜Pm，则该粒子按照式（23）（24）进行变异操作，并判断变异后的粒子是否超出约束范围，若超出，则将粒子重置到范围边缘.

6）重新计算粒子适应度.将步骤3）中精英保留的粒子替换掉当前适应度最差的粒子.

7）判断是否满足终止条件.如果是，则计算完毕；如果否，则返回步骤2）.

3　实例研究

以北京市气象中心提供的72年实测降雨资料为例，根据年最大值法采样要求，每年选取5、10、15、20、30、45、60、90、120、15、180、240、360、720、1 440 min，共15个降雨历时的最大降雨量，72年共有1 080个样本组成降雨序列，然后分别按照历时对降雨序列不分年次从大到小排列，计算每个历时的暴雨强度，以此作为频率分析的基础资料，从而构建水文频率参数优化模型.分别运用矩法、概率权重矩法、权函数法和目估适线法以及本文提出的混合优化算法在不同适线准则下对模型求解，其中混合优化算法中设置种群规模为200个，迭代100次后，从中选择优化效果最好的一组统计参数（，Cv，Cs）作为计算结果，不同方法的参数估计结果如表1所示.征值由大到小排列的序号），依据式（1）～（3）求出不同准则下的目标函数值，如表2～4所示.

表1　不同方法的参数估计结果对比Table 1　Comparison of estimated results on different methods

表2　离差平方和最小准则下不同方法目标函数值对比Table 2　Comparison of different objective function values under the rule of OLS method

表3　离差绝对值和最小准则下不同方法目标函数值对比Table 3　Comparison of different objective function values under the rule of ABS method

表4　相对离（残）差平方和最小准则下不同方法目标函数计算结果对比Table 4　Comparison of different objective function values under the rule of WLS method

由表2～4可以看出在离差平方和最小准则、离差绝对值和最小准则及相对离（残）差平方和最小准则下，本文提出的混合优化算法得到的目标函数值最小，优化结果均优于其他常规方法，同时《水利水电工程设计洪水计算规范》中规定:、Cv采用矩法进行估计，并且的调整幅度不超过10%，Cv的调整幅度为15%～30%，Cv/Cs的值为2～6，由混合算法优化得到的参数结果均满足上述规定，符合实际，能够得到更为合理的水文频率统计参数.

4　结论

1）提出一种融合粒子群与自适应遗传的混合算法，该算法将粒子群算法与遗传算法有效结合，同时引入自适应交叉、变异概率，使交叉、变异伴随迭代过程进行动态调整，避免了算法陷入早熟.

2）针对水文频率参数在约束条件下适线准则最小化的优化问题，将混合算法应用到统计参数的优化设计中，构建了水文频率参数优化模型，通过对模型求解得出3种适线准则下的最佳统计参数.

3）以北京市水文降雨资料为例，将本文算法与常规算法进行对比，结果表明本文算法比常规算法计算结果更优，能更有效地估计水文频率统计参数，为水文频率分析领域提供参考和依据.

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（责任编辑吕小红）

Optimization Algorithm of Hydrologic Frequency Parameters Based on PSO-AGA

TANG Ying1，2，ZHANG Yongxiang1，2，WANG Hao1，2，LIU Yu1，2
（1.College of Architecture and Civil Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China；2.Key Laboratory of Beijing for Water Quality Science and Water Environment Recovery Engineering，Beijing University of Technology Beijing 100124，China）

To seek the optimal value for hydrological frequency parameters，and then to obtain a higher precision of hydrological characteristics value，an optimization algorithm of hydrologic frequency parameter based on particle swarm optimization（PSO）and adaptive genetic algorithm（AGA）was proposed.Based on the rule of minimum sum of squared residuals，the rule of the least sum of deviation absolute value and the rule of relative deviation minimum sum of squared residuals，the algorithm was constructed which was applied to hydrological frequency parameter optimization model.Adaptive genetic operators in particle swarm optimization algorithm was introduced，by combining the global search ability of genetic algorithm with quicker convergence rate of particle swarm algorithm effectively，and adaptively，and the crossover and mutation probability was improved，thereby a set of adaptive hybrid algorithm was formed，the optimum parameters of the hydrologic frequency was obtained through the model.By using a municipal meteorological center of rainfall data as an example，the algorithm was compared with other conventional methods in this paper.Results show that the fitting precision and fitness effect of the parameter estimation using the algorithm are superior to conventional methods，and the algorithm providesreference for hydrologic frequency analysis field.

hydrological frequency parameter；particle swarm optimization algorithm；genetic algorithm；curve-fitting

TU 992.1

A

0254-0037（2016）06-0953-08

10.11936/bjutxb2015090011

2015-09-07

国家科技支撑计划资助项目（2011BAC12B00）

唐颖（1988—），女，博士研究生，主要从事水资源管理方面的研究，E-mail:sugar881201@163.com