氮化镓回音壁微腔激光模式方程推导

朱刚毅，王译畦南京邮电大学通信与信息工程学院；南京邮电大学教育与科学技术学院

氮化镓回音壁微腔激光模式方程推导

朱刚毅1，王译畦2
1南京邮电大学通信与信息工程学院；2南京邮电大学教育与科学技术学院

本文从菲涅尔公式推导出圆形，正六边形，正十二边形的微腔的激光模式数方程，并且在此基础上修正了更为普适的被不同介质包围的正六边形激光模式数方程。本研究对于氮化镓回音壁激光的光谱特性研究具有重要的指导意义。

氮化镓；回音壁激光；全反射；菲涅尔公式；激光模式数方程

GaN基宽禁带半导体激光器，在高密度光存储、激光显示、激光扫描和塑料光纤通信等领域有巨大的应用前景和市场需求。氮化镓回音壁激光是利用光路在环形微腔或者多边形微腔中内全反射形成的,具有极低的阈值和极高的激光品质。因此，GaN基回音壁模激光器一直是光电器件研究的热点。本文利用光程、全反射的概念和菲涅尔公式，结合不同形状的回音壁激光模型，推导出不同形状的回音壁微腔激光模式数方程，并对不同介质包围的不同形状的回音壁微腔的激光模式数公式进行修正，得到更具普适的激光模式方程。

氮化镓是一种纤锌矿结构的双折射率材料，在紫外光范围内，TM极化模式的激光强度比较弱，相对于TE极化模式的激光，探测比较困难，为了简化，在这里我们只讨论TE极化模式的激光。TE极化模式的光的色散关系可以用Sellmeier色散方程来表示[1]。

1.圆形微腔激光模式数方程

图1显示了不同微腔中，回音壁激光的光学共振机制。对于微腔的横截面为圆形的微腔，如图1（a）所示，光循环一周的路径为横截面圆周长，因此激光的光程

图1　不同形状微腔的横截面及光路循环图（a）圆形（b）正六边形（c）正十二边形

其中nGaN代表氮化镓在真空波长λ的折射率，R是圆的半径，λ是氮化镓的波长，单位是微米，N激光的模式数，为正整数，所以圆形微腔的激光的模数方程为[2]：

2.正六边形微腔激光模式数方程

被均匀介质环绕，且横截面为正六边形的微腔，激光的微腔中的环绕路径如图1（b）所示，光在六个面进行全反射，对于六边形微腔光程：

nGaN代表氮化镓在真空波长λ的折射率。公式右边分为两部分，第一部分为微腔内部的激光的循环路径，此时的折射率为氮化镓的折射率nGaN，，第二部分为微腔在界面全反射的时候,反射光线相对于入射光线相位差，根据菲涅尔公式，TE全反射是反射光线与入射光线的比值[3]：

TE光在全反射时的相位角差：

对于正六边形微腔，如图1（b）所示，θ=60°所以全反射光线与入射光线的相位角移动为：

公式中，R是微腔的半径，nr是微腔界面。

3.十二边形微腔激光模式数方程

被均匀介质环绕，且横截面为正十二边形的微腔，激光的微腔中的环绕路径如图1（c）所示，激光要在十二个面进行全反射，十二边形微腔循环光路的光程为：

nGaN代表氮化镓在真空波长λ的折射率。公式右边分为两部分，第一部分为微腔内部的激光的循环路径，此时的折射率为氮化镓的折射率nGaN，，第二部分为激光微腔界面全反射的时候造成的光程差，对于正十二边形来说，光在微腔界面的全反射的角度为θ=75°，如图1（c）所示，代入全反射的相位角变化公式（5）和公式（7），光在全反射时的相位角移动为

此时nr为界面的相对折射率对,参数β对于TM和TE极化模分别等于和 nr，所以共振波长λ和对应的激光模式数方程被表达为[6]：

4.六边形微腔激光模式数修正方程

方程(7)只适用于六边形微腔被同一种介质包围完全对称的情况。如果微腔是一种被不同的介质包围的非对称性结构，那么光在每个界面全反射时相位角的改变量将会不一样，在这种情况下，传统的方程(7)已不再适用。在这里，我们给出了一种更为普适的针对六边形微腔的激光模式数方程[7]：

5.小结

本文从最基本的微腔结构出发，结合光程，全反射的概念和菲涅尔公式推导出圆形，正六边形，正十二边形的微腔的激光模式数方程，并且在此基础上修正了更为普适的被不同介质包围的正六边形激光模式数方程。本研究有利于深刻理解菲涅尔公式和全反射的概念，对于氮化镓回音壁微腔激光的光谱特性研究有重要的指导意义。

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[7]Gangyi Zhu,Chunxiang Xu,Lisha Cai,Jitao Li,Zengliang Shi, Yi Lin,Guofeng Chen,Tao Ding,Zhengshan Tian,and Jun Dai，Las⁃ing Behavior Modulation for ZnO Whispering-Gallery Microcavities [J].ACS Applied Material and Interfaces,2012(4):6195−6201.

王译畦，女，南京邮电大学，教育科学学院。

朱刚毅，男，南京邮电大学通信与信息工程学院。