基于时域有限差分法的光子晶体波导微腔耦合研究

郝玉良

（闽南理工学院 光电与机电工程学院，福建 泉州 362700）

光子晶体（photonic crystal）是指介电常数（折射率）在空间呈周期性排列构成的晶体结构［1］. 光子晶体的主要特征在于具有带隙结构，在带隙中的光波是无法传播的，主要是结构中没有任何态存在［2］. 然而，光子晶体中的光波可以在波导与谐振腔中传播，尤其是在波导弯曲处能够实现零损耗传播［3］，基于此在制作光子器件方面得到了广泛的应用，如光开关［4］、滤波器［5］、波分复用器［6］等方面. 因此，当下深入研究光子晶体中波导与微腔的耦合是十分必要的. 钱琛江等人通过调整几何参数控制微腔与波导之间的耦合，构建了二维平板光电子晶体的开关［7］. 吴立恒等人通过改变微谐振器中心缺陷柱半径大小，增加了谐振器与波导之间耦合工作特性［8］. 高永锋等人通过改变输出波导和耦合区结构，设计了高透射率的分束器［9］.

笔者基于时域有限差分法分析光子晶体中线缺陷和点缺陷的性质，在改变耦合腔中点缺陷介质柱参数的条件下，通过光子晶体耦合的透过谱，基于二维光子晶体结构的多端滤波器，分析了微腔壁厚、微腔大小、微腔位置、微腔形状和微腔折射率对耦合效率的影响，并进行了光子晶体滤波器的设计与模拟.

1 时域有限差分法概述

时域有限差分法是由有限差分法发展出来的直接由麦克斯韦旋度方程组对电磁场进行计算机模拟的数值分析方法［10］. 麦克斯韦旋度方程为：

其中，E为电场强度，V/m；D为电通量密度，C/m2；H为磁场强度，A/m；B为磁通量密度，Wb/m2；J为电流密度，A/m2；Jm为磁流密度，V/m2. 各向同性线性介质中本构关系为［11］：

其中，∈表示介质介电系数，F/m；μ表示磁导系数，H/m；σ为电导率，S/m；σm为磁导率，Ω/m.σ和σm分别表示介质的电损耗和磁损耗. 真空中σ=0，σm=0，以及∈=∈0=8.85×1012F/m，μ=μ0=4π×10-7H/m. 在直角坐标系中，式（1）和式（2）分别写为式（3）和式（4）.

令f（x，y，z，t）代表E或H在直角坐标系中的某一分量，在时间和空间域中的离散表示为：

2 结果分析

2.1 光子晶体介质柱半径与晶格常数的确定

笔者研究的是TM波［12］，光子晶体介质为Si（相对介电常数为11.56），方形格，柱子在空气中，半径为0.2a，格子的周期是13×16，晶格常数为a=516.02 nm. 通过计算光子晶体介质柱的半径分别为1.3a、1.7a、2.0a、2.3a、2.5a、2.7a、3.0a时光子晶体相对带宽. 利用每个透过谱的带隙宽度除以中心频率得到相对带宽，比较这7组数据的相对带宽，最终得到最大的相对带宽，此时的半径r即光子晶体的最佳半径，结果如图1所示. 由图1可知，当r=2.3a，其带隙最宽，故r=2.3a是最佳半径.

图1 相对带宽与介质柱半径r关系图

2.2 二维光子晶体波导与微腔耦合的关系

2.2.1 微腔最佳壁厚对耦合效率的影响

为了分析微腔与波导之间的距离（即改变微腔的壁厚）对耦合效率的影响，比较了微腔壁厚为2层和3层时的探测器在x方向和y方向的响应透过谱及其耦合效率（格子的周期是21×27，晶格常数仍为a=516.02 nm）. 其中实线表示x方向探测器，虚线表示y方向探测器. 耦合效率是指将y方向探测器的最大透过率除以x方向探测器在该点的透过率. 由图2可知，波导与微腔在波长为1 362 nm处发生耦合，且耦合效率为9.1%. 当壁厚增加至3层是耦合效率非常低. 所以，微腔壁厚为2层时耦合效率最大，故微腔最佳壁厚为2层.

图2 微腔壁厚对透过谱图的影响

2.2.2 微腔大小对耦合效率的影响

改变微腔大小，分别算出微腔两边宽度和高度增加0.10a、0.18a、0.30a、0.4a、0.5a时的耦合效率，见图3.

图3 微腔大小与耦合效率的关系图

图3 中增加宽度表示微腔左右两侧向外扩张的距离. 随着微腔宽度的增加，耦合效率先是增加，当微腔左右宽度增加0.4a时，此时的耦合效率最高，当增加宽度超过0.4a时，耦合效率又开始减小. 故可得：微腔宽度增加0.4a时，此时耦合效率最大为50.8%. 随着微腔高度的增加，耦合效率出现两处峰值，高度从0到0.1a时，耦合效率逐渐增大，在0.1a处耦合效率达到最大，当超过0.1a时，耦合效率又开始减小. 从0.2a到0.3a之间，耦合效率又开始增大，在0.3a处耦合效率达到最大值，当超过0.3a后耦合效率开始逐渐减小. 但0.3a处的耦合效率比0.1处耦合效率更大. 故可得：当微腔高度增加0.3a时耦合效率最高为48.8%.

2.2.3 微腔位置对耦合效率的影响

将微腔分别左移1a、2a，再分别右移1a、2a，比较微腔不同位置处的耦合效率. 由图4可知，当改变微腔位置，使其偏离x方向波导，则耦合效率逐渐降低. 故改变微腔位置不利于提高耦合效率.

图4 微腔位置与耦合效率关系图

2.2.4 微腔形状对耦合效率的影响

改变微腔形状，将微腔形状改为正方形，分别计算边长为0.05a、0.06a、0.08a 的耦合效率；将微腔形状改为椭圆形，改变椭圆微腔的半长轴与半短轴长度（长轴是短轴的2倍），长轴分别为0.05a、0.08a、0.1a、0.12a、0.14a、0.16a、0.18a；将微腔形状改为圆形，分别计算微腔半径为0.05a、0.08a、0.1a、0.12a、0.15a时的耦合效率，结果见图5.

图5 微腔形状与耦合效率的关系图

由图5可看出，当微腔改为正方形时耦合效率很低，并随着正方形微腔边长的增加耦合效率逐渐减小. 故当微腔为正方形时不利于提高耦合效率. 随着椭圆微腔半长轴的增加，耦合效率趋势成锯齿形变化，但随着半长轴的增加，每个峰值也在相应的减小. 在椭圆微腔半长轴为0.05a时耦合效率最大为28.5%. 随着圆形微腔半径的增加，耦合效率逐渐增加，在0.08a处出现最大值，当半径超过0.08a时耦合效率逐渐减小. 故在圆形微腔半径为0.08a时耦合效率最大为46.7%.

2.2.5 微腔折射率对耦合效率的影响

分别计算半径为2.3a的微腔折射率为1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7时的耦合效率，结果见图6. 由图6可看出，随着折射率的增加，耦合效率成锯齿形变化，出现多个峰值，但随着折射率的增加，耦合效率的峰值逐渐减小. 在折射率为1.2时耦合效率峰值最大. 故可得，微腔折射率为1.2时的耦合效率最大，为30.7%.

图6 微腔折射率与耦合效率的关系图

2.3 光子晶体滤波器的设计与模拟

可见光子晶体点缺陷形成的微腔存在共振频率，在共振频率处，微腔和附近的波导耦合最强，波导中频率在微腔共振频率附近的光波能量将被加载到微腔里面. 由于微腔可以实现单波长的选择能力，不同微腔可以通过耦合从而加载不同波长的信号. 故以此为基础，设计了4个端口的光子晶体滤波器，相应的共振频率为2.015×1014、2.166×1014、2.045×1014、2.180×1014Hz. 其结构图与透过谱图见图7.

图7 四端口光子晶体滤波器结构图与透过谱图

图7 （a）中0、1、2、3、4分别对应直波导、圆形微腔、椭圆微腔、增加微腔高度、1.2折射率微腔处的端口. 由图7（b）可看出波导与微腔分别在频率为2.015×1014、2.166×1014、2.045×1014、2.180×1014Hz处发生耦合，实现了单波长的选择，不同微腔通过耦合从而加载不同波长的信号. 当光波频率满足上述共振频率中任意一个时，光波将从相应端口通过，当光波频率不在上述共振频率之列，则将从端口0通过. 当然，光源不同，射出的光的强度也不相同，这与光源的强度及其频率有关，但无论其通过的光是强是弱，都实现了滤波的功能.

3 结语

本文主要使用时域有限差分方法分析了介质柱半径与带隙的关系，r=2.3a是光子晶体最佳半径，此时晶格常数a=516.02 nm. 微腔最佳壁厚为2层，当壁厚增加至3层是耦合效率非常低；当微腔左右宽度增加0.4a时，此时的耦合效率最高，为50.8%，且可得透射光波长随微腔宽度的增加而增加. 当微腔高度增加0.3a时耦合效率最高，为48.8%，透射光波长随微腔高度的增加而增加. 当改变微腔位置，使其错开x方向波导，则耦合效率逐渐降低. 当微腔改为正方形时耦合效率很低，透射光波长随正方形边长增加而增加. 当微腔折射率为1.2时的耦合效率最大，耦合效率为30.7%，透射光的波长随着微腔折射率的增加而增加.