二层随机规划逼近ε-最优解集的Hausdorff收敛性

周婉娜，霍永亮，胡之英

(1.西安翻译学院基础课部大学数学教研室，中国 西安　710105；2.重庆文理学院数学与财经学院数学研究所，中国 重庆　402160)



二层随机规划逼近ε-最优解集的Hausdorff收敛性

周婉娜1，霍永亮2*，胡之英1

(1.西安翻译学院基础课部大学数学教研室，中国 西安710105；2.重庆文理学院数学与财经学院数学研究所，中国 重庆402160)

二层随机规划是由上、下层随机规划组成的，下层随机规划是以上层决策变量为参数的随机规划问题，而上层是以下层随机规划的最优值作为响应的随机规划问题，对于此类的二层随机规划问题，本文首先讨论了下层随机规划最优值的收敛性，然后将下层随机规划的最优值反馈到上层，得到了上层随机规划逼近ε-最优解集序列的Hausdorff收敛性.

二层随机规划;ε-最优解集; 最优值; Hausdorff收敛性

二层规划问题是一种具有递阶结构的系统化问题，它包含上层问题和下层问题，其中上下层问题都有各自的目标函数和约束函数，二层规划在工程设计、经济计划、金融均衡和多层决策等许多领域的应用起着重要的作用. 以往研究的随机规划[1-7]都是单层的随机规划问题，而且所研究的二层规划模型[8-9]其目标函数和约束函数都是确定性的，如果二层规划模型中目标函数和约束函数都含有不确定的随机因素，则整个系统将更加复杂，且更具有实际应用价值，这也正是本文所要研究的一类二层随机规划问题.

本文考虑如下的二层随机规划问题：

(1a)

s.t.∫Rpgj(x,y,u)μ0(du)≤0,j=1,2,…d.

(1b)

相应的逼近问题为

(2a)

s.t.∫Rpgj(x,y,u)μn(du)≤0,j=1,2,…d.

(2b)

其中x=(x1,x2,…xn)T∈Rn，y=(y1,y2,…ym)T∈Rm，gj:Rn×Rm×Rp→R，j∈I={1,2,…d}，X∈Rn与Y∈Rm是紧凸集，F,f是定义在Rn×Rm×Rp上的函数.

1　下层随机规划最优值的收敛性

为了讨论上层随机规划问题最优解集的收敛性，首先讨论下层随机规划问题最优值的收敛性.

当x0∈Rn固定时，下层规划问题的原问题(1b)变为

s.t.∫Rpgj(x0,y,u)μ0(du)≤0,j=1,2,…d.

(3)

当xn→x0时，相应的逼近问题变为

s.t.∫Rpgj(xn,y,u)μn(du)≤0,j=1,2,…d.

(4)

S0(x0)={y∈Y⊂Rm,∫Rpgj(x0,y,u)μ0(du)≤0,j=1,2…d},

Sn(xn)={y∈Y⊂Rm,∫Rpgj(xn,y,u)μn(du)≤0,j=1,2…d};

M0(x0)={y∈Y⊂Rm,∫Rpgj(x0,y,u)μ0(du)≤0,∫Rpf(x0,y,u)μ0(du)≤v0(x0)},

Mn(xn)={y∈Y⊂Rm,∫Rpgj(xn,y,u)μn(du)≤0,∫Rpf(xn,y,u)μn(du)≤vn(xn)}.

由文献[10]的转换可将问题(3)和问题(4)转换成确定性无约束规划问题(5)和问题(6)

(5)

(6)

2　上层随机规划ε-最优解集的Hausdorff收敛性

上层随机规划的原问题改写为

(7)

相应的逼近问题改写为

(8)

设Rn为n维欧式空间集合A⊂Rn到集合B⊂Rn的Hausdorff 距离定义为

dH(A,B)=max{e(A,B),e(B,A)},

综上有

[1]ROGER W. Stochastic Programming[M].Amsterdam: Elsevier Science Publisher, 1989.

[2]骆建文，鲁世杰.随机规划逼近解的收敛性 [J].浙江大学学报(理学版)， 2000，27(5)：493-497.

[3]LUO J. Stability analysis for stochastic optimization problems[J]. Shanghai Jiaotong University (Science), 2007，12(5)：684-687.

[4]ROMISH W, SCHULTZ R. Stability analysis for stochastic programs[J]. Ann Oper Res, 1991,30(1)：241-266.

[5]DUPATCOVA J, GROWE-KUSKA N, ROMISH W. Scenario reduction in stochastic programming: an approach using probability metric[J].Math Progr, 2003,95(3):493-511.

[6]霍永亮，刘三阳. 随机规划逼近最优解集的上半收敛性[J].西安电子科技大学学报， 2005，32(6)：953-957.

[7]霍永亮. 随机规划稳定性理论[M].成都：西南交通大学出版社， 2010.

[8]万仲平，吴国民，陈开周.一类二层规划的上图收敛性[J].运筹学学报， 1998，2(24)：48-53.

[9]万仲平.关于二层规划的逼近问题[J].系统科学与数学， 2000，20(3)：289-294.

[10]周婉娜，霍永亮. 二层随机规划逼近最优解集的稳定性分析[J]. 重庆工商大学学报(自然科学版)， 2013，30(7)：19-23.

(编辑HWJ)

The Hausdorff Convergence of the Optimal Solution Set of Approximation for Bi-Level Stochastic Programming

ZHOU Wan-na1, HUO Yong-liang2*, HU Zhi-ying1

(1.Department of Basic Courses, Xi’an Fanyi University, Xi’an 710105,China;2. College of Mathematics and Finance, Institute of Mathematics,Chongqing University of Arts and Sciences, Chongqing 402160, China)

Bi-level stochastic programming is through upper and lower levels of stochastic programming. The lower level stochastic programming uses the upper decision variables as the parameters of stochastic programming problems. The upper level stochastic programming is a stochastic programming problem including a parametric optimal value of the lower level stochastic programming. For the bi-level stochastic programming problem, this article first discusses the optimal value convergence of lower stochastic programming, and then feedback the optimal value of lower level stochastic programming to the upper level, obtaining the Hausdorff convergence of the upper level stochastic programming approximation optimal solution sequence.

Bi-level stochastic programming; optimal solution set; optimal value; Hausdorff convergence

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.03.014

2015-07-04基金项目：陕西省教育科学“十二五”规划2013年度课题(SGH13460)*通讯作者,E-mail：yongliang-huo@126.com

O221.5

A

1000-2537(2016)03-0080-04