具有逆断面的正则半群上的同余

2016-08-25 09:41冯莹莹
关键词:三元组正则刻画

冯莹莹,商 宇

(1.佛山科学技术学院数学与大数据学院,广东佛山528000;2.普洱学院数学与统计学院,云南普洱665000)

具有逆断面的正则半群上的同余

冯莹莹1,商 宇2

(1.佛山科学技术学院数学与大数据学院,广东佛山528000;2.普洱学院数学与统计学院,云南普洱665000)

给出具有逆断面的正则半群上同余的3种刻画方式:IR,ΛL和LR。

逆断面;正则半群;同余;刻画

自从Blyth和McFadden在1982年提出具有逆断面的正则半群的概念后,这类半群因具有相对集中的逆子半群的结构而备受关注。不少作者先后研究了这种半群,并得到了丰硕的成果。Saito于1982年给出了这类半群的结构定理:具有逆断面的正则半群S由3个构件I、S°和Λ组成,其中S°是S的逆子半群,I、Λ分别为左正则带、右正则带。此外,左逆子半群L、右逆子半群R也是我们比较感兴趣的结构子半群。在这类半群的同余的研究问题上,汪立民[1]首创性地给出了具有Q-逆断面的正则半群上同余的刻画:具有Q-逆断面S°的正则半群S上的同余可由3个结构构件I、S°和Λ上的同余所作成的同余三元组确定。利用这种同余刻画方式,可以研究S上的同余格。随后,唐西林和汪立民[2]对这种方法进行推广,刻画了具有逆断面的正则半群上的同余,并在文献[3]中研究了此类半群的同余格上T、Tr、Tl、U、V这5个等价关系。本文则从另一个角度给出具有逆断面的正则半群上同余的另外3种刻画方式,它们分别由结构构件I和R,Λ和L,以及L和R上的同余所作成的同余对给出。

本文沿用文献[4-5]中的记号。设S是半群,记S的幂等元集为E(S),S上的同余格为C(S)。记为a的逆元集。设γ是S上的一个关系,由γ生成的同余记为γ*。

设S是正则半群,S°是S的逆子半群,如果S°含有且只含有S的每个元的一个逆元,即对任意x∈,则称S°为S的逆断面。x在S°中惟一的逆元记作x°,因此记(x°)-1= x°°,则对任意x∈S,x°°°=x°。在此作一个约定,下文中所指的半群S,如无特别声明,均表示具有逆断面S°的正则半群。下面列举这类半群的一些基本性质。

结论1设S是具有S°逆断面的正则半群,则

(1)(∀x,y∈S)(xy)°=y°(xyy°)°=(x°xy)°x°=y°(x°xyy°)°x°。

(2)(∀x,y∈S)(xy°)°=y°°x°。

(3)S是纯正的当且仅当(∀x,y∈S)(xy)°=y°x°[6]。

文献[2]中针对具有逆断面S°的正则半群的以I、S°、Λ为构件的结构,用同余三元组给出具有逆断面的正则半群上同余的刻画。我们首先把其中的符号和结论引述如下。设S是具有逆断面S°的正则半群,ρ是S上的同余,记

结论2设S是具有逆断面S°的正则半群。若xρy,则x°ρ°y°[2]。

如果I上的同余τ满足

则称τ是I上的正规同余。Λ上的正规同余可以对偶地定义。

设τI、τΛ分别为I、Λ上的同余,π为S°上的同余,如果三元组(τI,π,τΛ)满足

则称(τI,π,τΛ)为S上的同余三元组。定义S上的关系ρ(τI,π,τΛ)为

结论3设S是具有逆断面的正则半群,对S上的每一同余三元组(τI,π,τΛ),ρ(τI,π,τΛ)是使在I、S°、Λ上的限制分别为τI、π、τΛ的惟一同余。反之,S上的每一同余均可如此构造[2]。

1 同余的刻画和同余格

Saito在文献[8]中以I、R为构件得到具有逆断面S°的正则半群S的结构定理。在本节中,笔者基于这个结构定理,引入I、R上同余相容的条件,以及用I、R上的同余作成同余对,给出S上相应的同余的刻画。首先,考虑S上的同余在子半群R和L上的限制。对ρ∈C(S),分别规定R、L上的关系ρR、ρL为

在引理1的观点下,可以认为ρR、ρL是ρ分别在R、L上的限制。

引理2设τ∈C(R),a,b∈R且a τ b,则a°τ b°。

证明 因为R是具有逆断面S°的正则半群,τ∈C(R),a τ b,由引理1知,a°τ b°。

下面定义R和L上的正规同余。设S为半群,T为S的子半群,ξ∈C(T),如果存在ρ∈C(S)使得则称ξ可扩张到S上。

定义1设S是具有逆断面S°的正则半群,τ是R上的同余,若τ满足

则称τ为R上的正规同余。

设λ为L上的同余,若λ满足

则称λ为L上的正规同余。

下面的定理说明正规同余正是可扩张的同余。

定理1设S是具有逆断面S°的正则半群,τ为R上的同余,则τ是正规的当且仅当τ能扩张到S上。

证明 若τ能扩张到S上,则显然τ是正规的。反之,设τ为R上的正规同余,定义S上的关系ρ为

易见,ρ是S上的等价关系。设x ρ y,t∈S。对任意a∈R,注意到

于是,(atx)°°=(at)°°(at)°((at)°°(at)°atx)°°。而x ρ y,(at)°°(at)°(at)∈R,由ρ的定义,有

又,(at)°°(at)°∈E(S°)⊆R,τ是R上的同余,故

即(atx)°°(atx)°atx τ(aty)°°(aty)°aty。因此,tx ρ ty。另一方面,注意到

从而,(axt)°°=(ax)°°(ax)°((ax)°°(ax)°axtt°)°°t°°。由x ρ y,知

又,t°°∈I,由τ的正规性,有

及((ax)°°(ax)°(ax)·tt°)°τ((ay)°°(ay)°(ay)·tt°)°,从而

因为((ax)°°(ax)°(ax)τ(ay)°°(ay)°(ay),由引理2,有

所以

注意到t°°t°∈E(S°)⊆R,t°°t°t∈R,τ为R上的同余,故

即(axt)°°(axt)°(axt)τ(ayt)°°(ayt)°(ayt),从而xt ρ yt。因此,ρ是S上的同余。

对偶地,若λ为L上的同余,则λ是正规的当且仅当λ可扩张到S上。

证明 设a,b∈R,若aτb,则aτ*b,从而。反之,若即aτ*b,则存在s1,…,sn,t1,R,使得

其中(xi,yi)∈τ(i=1,2,…,n)。由假设,τ是R上的正规同余,故存在ρ∈C(S),使得(i=1,2,…,n),则(xi,yi)∈ρ(i=1,2,…,n),于是(sixiti,siyiti)∈ρ(i=1,2,…,n),从而

引理3设S为具有逆断面S°的正则半群,则对任意ρ,σ∈C(S),有

因此,

证明 设ρ1⊆σ1,ρR⊆σR,x,y∈S,且xρy,则x°ρ°y°,x°°ρ°y°°,从而xx°ρyy°,x°°x°x ρy°°y°y。而ρ1⊆σ1,ρR⊆σR,故,xx°σyy°,x°°x°x σy°°y°y,从而xx°·x°°x°x σyy°·y°°y°y,即xσy,从而ρ⊆σ。反之,若ρ⊆σ,易见ρ1⊆σ1,ρR⊆σR。

定义2设S为具有逆断面S°的正则半群,τI、τR分别为I、R上的正规同余且满足

则称(τI,τR)为S上的IR-同余对。定义S上的关系ρ(τI,τR)为

下面的引理是对上面的定义作进一步的解释。

引理4设(τI,τR)为S上的IR-同余对,则

证明 设e°,f°∈E(S°)。若e°τIf°,由定义2,(e°e°)°τR(e°f°)°,即e°τRe°f°。同理,(f°e°)°τR(f°f°)°,即f°e°τRf°。故。若e°τRf°,由定义2,(e°e°)(e°e°)°τI(f°e°)(f°e°)°,即于是

下面给出S上同余的第1种刻画。

定理2设S是具有逆断面S°的正则半群,对S上的任一IR-同余对(τI,τR),关系ρ(τI,τR)为使在I、R上的限制分别为τI、τR的惟一同余。反之,S上任一同余都可以如此构造。

证明 设(τI,τR)是S上一IR-同余对,记ρ(τI,τR)=ρ。易见ρ是S上的等价关系。设x,y∈S且xρy,则xx°τIyy°,x°°x°x τRy°°y°y。对任意z∈S,首先,由定义2知

又,xx°τIyy°,由引理2知,x°°x°=(xx°)°τI(yy°)°=y°°y°,而τI是I上的同余,故

即(xz)(xz)°τI(yz)(yz)°。另一方面,注意到

(x°°x°xzz°)°°τR(y°°y°yzz°)°°,而x°°x°τIy°°y°,由引理4,x°°x°τRy°°y°。又,x°°x°x τRy°°y°y,由τR是R上的正规同余,得(x°°x°xzz°)°(x°°x°xzz°)τR(y°°y°yzz°)°(y°°y°yzz°)。而z°°z°∈E(S°)⊆R,z°°z°z∈R,τR∈C(R),于是

即(xz)°°(xz)°(xz)τR(yz)°°(yz)°(yz)。故,xzρyz。

其次,因为xx°τIyy°,由τI的正规性得(z°zxx°)(z°zxx°)°τI(z°zyy°)(z°zyy°)°。再由τI的正规性,得z°°(z°zxx°)(z°zxx°)°z°τIz°°(z°zyy°)(z°zyy°)°z°。而zz°∈I,τI是I上的同余,故

即(zx)(zx)°τI(zy)(zy)°。另一方面,注意到

由xx°τIyy°及定义2得

从而(z°°z°zxx°)°°τR(z°°z°zyy°)°°。而x°°x°τIy°°y°,由引理4得,x°°x°τRy°°y°。又,z°°z°∈E(S°)⊆R,τR∈C(S),于是,有

即(zx)°°(zx)°(zx)τR(zy)°°(zy)°(zy)。所以,zxρzy,从而ρ是S上的同余。

设e,f∈I,若e ρIf,即e ρIf,则e ρ f,因此ee°τIff°,即e τIf。反之,若e τIf,由引理2,e°τIf°;由引理4,e°τRf°。从而ee°e°e=e°τRf°=f°°f°f,进而e ρ f,即e ρIf,所以ρI=τI。设a,b∈R,若a τRb,由引理1,a ρRb,从而a ρ b,因此a°°a°a τRb°°b°b,即a τRb。反之,若a τRb,即a°°a°a τRb°°b°b,由引理2,a°τRb°,从而a°°a°τRb°°b°。而a°°a°=a°°a°aa°=aa°,b°°b°=b°°b°bb°=bb°,所以aa°τRbb°。又,aa°=a°°a°,bb°=b°°b°∈E(S°)。由引理4,aa°τIbb°。于是,aρb,从而aρRb,ρR=τR。

反之,设σ∈C(S),易证(σI,σR)是IR-同余对,由前述的证明可知,ρ(σI,σR)是同余。易见σ⊆ρ(σI,σR)。设x ρ(σI,σR)y,则xx°σIyy°,x°°x°x σRy°°y°y,即x°°x°x σ y°°y°y,于是,x=xx°·x°°x°x σ yy°·y°°y°y,从而σ=ρ(σI,σR)。

若S是具有Q-逆断面S°的正则半群,则定义2的条件可用下列条件代替

由定理2,对任一同余ρ,可得IR-同余对Jρ=(ρI,ρR)。反之,对任一IR-同余对,存在同余ρJ与之相对应。由此可见是互逆的映射,且ρJρ=ρ,JρJ=J。

记S上的IR-同余对的集合为CPIR(S),定义CPIR(S)上的序≤为按分量的包含。易见,≤是CPIR(S)上的偏序。由引理3,有

由定理2知C(S)与CPIR(S)作为偏序集同构,从而作为(完全)格同构。下面确定CPIR(S)中元素的∨和∧。

引理5设S为具有逆断面S°的正则半群,Ψ为S上的一族同余,对ρ∈Ψ,记Jρ=(ρI,ρR),则

推论2设S是具有逆断面S°的正则半群,Γ为非空的一族S的IR-同余对,记J=(τI,τR)∈Γ,则

推论3设S是具有逆断面S°的正则半群,则CPIR(S)关于偏序≤是一个格,且CPIR(S)中的运算为

证明 由C(S)与CPIR(S)间为格同构及引理5、推论2可得。

针对具有逆断面S°的正则半群S的以子半群I、R为构件的结构,我们有其上同余的IR-刻画。对偶地,S的结构也可以Λ、L为构件。相应地,可以得到其上同余的第2种刻画——ΛL-刻画。

定义3设S是具有逆断面S°的正则半群,τΛ、τL分别是Λ、L上的正规同余且满足

则称(τL,τΛ)为S上的ΛL-同余对。定义S上的关系ρ(τΛ,τL)为

定理3设S是具有逆断面S°的正则半群,对S上的任一ΛL-同余对(τΛ、τL),关系ρ(τΛ,τL)是使在Λ、L上的限制分别为τΛ、τL的惟一同余。反之,S上的任一同余都可以如此构造。

我们还可以给出具有逆断面的正则半群上同余的第3种刻画——基于以L、R为构件结构的相应的同余的刻画。

定义4设S是具有逆断面S°的正则半群,τL、τR分别为L、R上的正规同余且满足

则称(τL、τR)为S上的LR-同余对。定义S上的关系ρ(τI,τR)为

下面的引理保证定义有意义。

引理6设(τL、τR)是S上的LR-同余对,则

证明 略。

定理4设S是具有逆断面S°的正则半群,(τL、τR)是S上一LR-同余对,则关系ρ(τI,τR)是使在L、R上的限制分别为τL、τR的惟一同余。反之,S上的任一同余均可如此构造。

证明 略。

若S是具有Q-逆断面S°的正则半群,则定义4的条件可用下列条件代替

[1]WANGLM.On Congruence Lattices ofRegular Semigroups with Q-inverse Transversals[J].Semigroup Forum,1995,50:141 -160.

[2]TANGXL,WANGLM.Congruences on Regular Semigroups with Inverse Transversals[J].Communications in Algebra,1995,23(11):4157-4171.

[3]WANGLM,TANGXL.Congruence Lattices ofRegular Semigroups with Inverse Transversals[J].Communications in Algebra,1998,26(4):1243-1255.

[4]HOWIE J M.Fundamentals ofSemigroup Theory[M].London:Clarendon Press,1995.

[5]PASTIJNF,PETRICH M.Congruences on Regular Semigroups[J].Tran Amer Math Soc,1986,295(2):607-633.

[6]SAITOT.Construction ofRegular Semigroups with Inverse Transversals[J].Proc Edinburgh Math Soc,1989,32:41-51.

[7]TANGXL.Regular Semigroups with Inverse Transversals[J].Semigroup Forum,1997,55:24-32.

[8]SAITOT.ANote on Regular Semigroups with Inverse Transversals[J].Semigroup Forum,1986,33:149-152.

[9]PASTIJN F,PETRICH M.The Congruence Lattice ofa Regular Semigroup[J].Journal ofPure and Applied Algebra,1988,53:93-123.

【责任编辑:王桂珍foshanwgzh@163.com】

Congruences on regular semigroups with inverse transversals

FENGYing-ying,SHANGYu

(1.School ofMathematics and Data,Foshan University,Foshan 528000,China;2.School ofMathematics and Statistics,Puer University,Puer 665000,China)

It is presented three ways of characterization of congruences on regular semigroups with inverse transversal:LR,ΛL and LR.

inverse transversal;regular semigroup;congruences;characterization

O152.7

A

1008-0171(2016)04-0001-07

2016-03-26

佛山科学技术学院优秀青年教师培养计划资助项目(fsyq201408)

冯莹莹(1980-),女,广东广州人,佛山科学技术学院讲师,博士。

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