赏析2015年高考客观题中的定义阅读题

浙江省金华市第六中学　(321000)

虞　懿



赏析2015年高考客观题中的定义阅读题

浙江省金华市第六中学(321000)

虞懿

定义阅读题是通过新定义一种函数、运算、集合、符号、性质等，要求学生在短时间内阅读并理解试题所给的新型定义，进而解决问题的一种重要题型．定义阅读题常以“新定义”为载体考查学生学习新知识的能力，特别是能将所学知识与方法迁移到不同情境中，进而考查学生的理性思维和数学素养．下面采撷几道典型试题并予以深度解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．

一、定义新函数

“定义新函数”试题是指在现有的函数的图像和性质的基础上定义一种新的函数性质等，即给出一定容量的新信息，并运用它解决一些问题．

A．|x|=x|sgnx|B．|x|=xsgn|x|

C．|x|=|x|sgnxD．|x|=xsgnx

解析：当x>0时，|x|=x,sgnx=1,则|x|=xsgnx;当x=0时，|x|=x=0,sgnx=0,则|x|=xsgnx;当x<0时，|x|=-x,sgnx=-1,则|x|=xsgnx,故选D．

评注：破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义函数的含义，学会语言的翻译，新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．

A．sgn[g(x)]=sgnx

B．sgn[g(x)]=-sgnx

C．sgn[g(x)]=sgn[f(x)]

D．sgn[g(x)]=-sgn[f(x)]

评注：本题主要考查符号函数、函数的单调性，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．

例3(2015年湖北卷理10)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是().

A．3B．4C．5D．6

评注：取整函数[x]是一个非常重要的数学概念，其定义和性质非常简单，正因为如此，在解决与之相关的问题时，可以依据的命题、法则不多，规律性不明显，但解法变化大，灵活性强．需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论(例如对区间进行划分)、命题转换(例如等式转化为不等式)、数形结合等．

二、定义新符号

“定义新符号”试题是指在现有的符号的基础上定义一种新符号，运用它解决一些新的问题．

例4(2015年广东卷文10)若集合Ε={(p,q,r,s)|0≤p

A．50B．100C．150D．200

解析：当s=4时，p,q,r都是取0,1,2,3中的一个，有4×4×4=64种；当s=3时，p，q,r都是取0,1,2中的一个，有3×3×3=27种；当s=2时，p,q,r都是取0,1中的一个，有2×2×2=8种；当s=1时，p,q,r都取0，有1种，所以card(Ε)=64+27+8+1=100.当t=0时，u取1,2,3,4中的一个，有4种；当t=1时，u取2,3,4中的一个，有3种；当t=2时，u取3,4中的一个，有2种；当t=3时，u取4，有1种，所以t,u的取值有1+2+3+4=10种，同理，v,w的取值也有10种，所以card(F)=10×10=100，所以card(Ε)+card(F)=100+100=200.故选D．

评注：求解此类以符号新定义包装的判断集合的元素个数题的关键是过好两关：第一关：理解关，即准确理解符号的数学意义，并能适时进行符号语言、文字语言、图象语言间的转译；第二关：分类讨论关，即对集合中的元素所具有的特点进行分类讨论．

例5(2015年浙江卷理6)设A,B是有限集，定义d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数.

命题①：对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).则().

A.命题①和命题②都成立

B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立

D.命题①不成立，命题②成立

解析：由题意，d(A,B)=card(A)+card(B)-2card(A∩B)≥0,对于命题①，A=B⟺card(A∪B)=card(A∩B)⟺d(A,B)=0,所以A≠B⟺d(A,B)>0,命题①成立．对于命题②，由韦恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)⟺card(A)+card(C)-2card(A∩C)≤card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C)-2card(B∩C)⟺card(A∩C)≥card(A∩B)+card(B∩C)-card(B)⟹card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B).因为card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]-card(A∩B∩C)-card(B)≤0,故命题②成立．故选A.

评注：本题主要考查集合的新定义问题，考生需要运用数形结合思想进行检验推证，特别是对于命题②的推理需要分类讨论．

三、定义新运算

“定义新运算”试题是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，运用它解决一些问题．该题型常以数学新的运算符号形式出现，如定义新的运算符号“⊗、⊕、⊙、*”等．

评注：本题是新定义阅读题，主要考查利用基本不等式求最值等有关知识，考查考生的阅读理解能力和运算求解能力．

例7(2015年福建卷理15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n) 称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_________．

解析:由题意得相同数字经过运算后为0,不同数字运算后为1.由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判断后4个数字出错，由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个数字，由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判断出错的是第5个数字.综上，第5位发生码元错误．

评注：本题考查新定义、推理等基础知识，意在考查考生处理新定义问题的能力、推理论证能力以及运算求解能力．求解此类问题的关键是读懂新定义，在领会新定义的基础上，明晰新定义的内涵和外延，将其转化并运用到新情境中，进而判断参数k的值．

四、定义新集合

“定义新集合”试题是指定义一个新集合，其元素满足某些条件，解此类问题旨在考查对集合中元素特征的研究以及数学解题思想的运用能力．

例8(2015年湖北卷理9、文10)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为().

A．77B．49C．45D．30

解析：由题意知，A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(1,0),(-1,0),(0,0),(0,1),(0,-1)},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},所以由新定义集合A⊕B可知，x1=±1,y1=0或x1=0,y1=±1.当x1=±1,y1=0时，x1+x2=-3,-2,-1,0,1,2,3,y1+y2=-2,-1,0,1,2,所以此时A⊕B中元素的个数有7×5=35个；当x1=0,y1=±1时，x1+x2=-2,-1,0,1,2,y1+y2=-3,-2,-1,0,1,2,3,这种情形下和第一种情况下除y1+y2的值取-3或3外均相同，即此时有5×2=10,由分类计数原理知，A⊕B中元素的个数为35+10=45个，故应选C.

评注：本题主要考查集合的新定义问题，意在考查考生的阅读理解能力与数据处理能力．

感悟：结合上述高考试题，可归纳出定义阅读题的求解通常分三大步骤进行：(1)对新定义进行信息提取，确定化归方向；(2)对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；(3)对新定义中提取的信息进行转换，有效地输出．其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点．