闭区间上连续函数性质的推广

曹小辉　钟驹超

摘 要：连续函数是数学分析教材中的重要内容，其重点研究的是闭区间上连续函数的基本性质，如：有界性、介值性及一致连续性等；然而在实际的应用中我们更为常见的是连续函数性质在一般区间上的相关应用，因此本文试想将闭区间改成一般区间（开区间，半开半闭区间，无限区间）后再增加一些条件来使得闭区间上连续函数的一些性质得以保留.

关键词：函数的连续性 一般区间 推广

一、引言

一元连续函数性质是数学分析中微分学理论的一大基础，运用可谓是相当的广泛灵活。其中，连续函数在闭区间上的基本性质有：有界性、最大最小值、介值性、一致连续性等。在进行大量的题海中，发现连续函数的性质应用更为广泛的是开区间和无限区间上的运用，因此我们可依据闭区间上连续函数性质推广到开区间和无穷区间上连续性质的应用，使得连续函数的性质趋向一般性，更为方便灵活巧妙应用.本文主要证明了闭区间上连续性质推广到开区间和无限区间上，并用独特的方法对推广的性质进行了严格的证明，紧接着列举了一些相关典型的例题来加深我们对其的理解与掌握.我们知道开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根本差别在于，其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在.在最值性、介值性和一致连续性定理的讨论中，我们特别强调闭区间条件所起的作用，而这些性质在开区间不成立的原因就在于端点处的极限不存在，所以我们可以通过加强开区间上连续函数的条件，使其相应的极限都存在，这样我们便可以像讨论闭区间上连续函数性质那样直接应用。

下面是本文将用到的一些基本概念和性质：

定义1 （函数在点x0连续性）：设函数f在某U（x0）上有定义，若，则称f在点x0处连续。定义2 （区间上的连续函数）若函数f在区间I上每一点都连续，则称函数f在区间I上连续函数。引理1 （有界性定理）若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，那么f（x）在闭区间[a，b]上有界.引理2 （最大、最小值定理）若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在[a，b]上有最大值与最小值.引理3 （介值性定理）设函数f在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b）.若m为介于f（a）与f（b）之间的任何实数（f（a）m>f（b）），则至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）=m.引理4 （一致连续性定理）若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在[a，b]上一致连续.

二、闭区间上连续函数性质推广到一般区间上

1.闭区间上连续函数性质推广到开区间上。

设f在开区间（a，b）上连续函数，本节中我们证明函数f在（a，b）上整体连续性质推广。

定理1 （有界性推广） 若函数f（x）在（a，b）上连续，与存在且为有限值，则f（x）在（a，b）上有界.

证明 因为函数f（x）在（a，b）上连续，并且与且A、B为有限值， 则我们可以得到g（x）在闭区间[a，b]上连续，则由闭区间上连续函数的有界性定理得，g（x）在闭区间[a，b]上有界，故g（x）在开区间（a，b）上有界，并且在（a，b）上有g（x）=f（x），所以f（x）在（a，b）上有界.

类似证明方法可得如下推论：

推论1（最值性推广） 若函数f（x）在（a，b）上连续，与存在且为有限值，则f（x）在[a，b）上有最大、最小值.

定理2 （介值性推广）设f（x）在开区间（a，b）上连续，，

，其中A、B为有限数且A≠B，若μ为介于A，B之间的任意实数，则至少存在一点ζ∈（a，b），使得f（ζ）=μ.

证明 因为函数f（x）在开区间（a，b）上连续并且， 所以δ1>0，δ2>0，对任意的x∈（a，a+δ1）有f（x）

又x∈（b-δ2，b）有f（x）>B

即存在X1∈（a，a+δ1），X2∈（b-δ，b）使得f（x1）

定理3（一致连续性推广）函数f（x）在（a，b）上连续，则f（a+0）与f（b-0）存在且为有限数，则f（x）在（a，b）上一致连续.

证明

又f（x）在（a，b）上连续，则f（x）在[a+δ1，b-δ2]上一致连续；

取，使得，故f（x）在（a，b）上一致连续.

2.闭区间上连续函数性质推广到开无穷区间上。

设f在无穷区间（a，+∞）或（-∞，+∞）上连续函数，本节中我们证明函数f在无穷区间上连续的整体性质推广。

定理4 （有界性2） 若函数在（a，+∞）上连续，与存在并且为有限值，则f（x）在（a，+∞）上有界.

证明：因为存在并且为有限值，所以不妨设，则有对ζ1>0，使得当x>x1时恒有ζ1，即有ζ1.由存在并且为有限值，所以不妨设，则有对ζ2>0，使得当x>x2时恒有ζ2，即有ζ2.因为f（x）在（a，+∞）上连续，所以f（x）在闭区间[x1，x2]上连续，则由闭区间上连续函数的有界性可以得到对有.再取，则对x∈（a，+∞），无论x∈（a，x1]还是x∈（x1，x2]或是x∈[x2，+∞]都有，即f（x）在（a，+∞）上有界.

定理5（介值性2） 设f（x）在区间[a，+∞]上连续，，其中K为有限数且，则对介于f（a）与K之间的任何实数μ，在[a，+∞）上至少存在一点ζ，使得f（ζ）=μ.

证明：因为f（x）在区间（a，+∞）上连续，则由连续函数最值性定理的推广可知f（x）在区间（a，+∞）上有最小值m和最大值M，即存在使得f（x1）=m，f（x2）=M对有，不妨设f（a）K同理可证）对任何满足f（a）<μ

定理6（一致连续推广） 函数f（x）在[a，+∞）上连续，且存在且为有限数，则f（x）在[a，+∞）上一致连续.

证明 下面将[a，+∞）分成[a，M+1]和（M，+∞）两段：由f（x）在[a，+∞）上连续知，f（x）在[a，M+1]上连续，从而f（x）在[a，M+1]上一致连续.即任意ε>0，存在δ1>0，当且δ1时，有ε成立.即对[a，M+1]内任意两个x1，x2，只要δ1就有ε成立.取，对任意的，当δ时.x1，x2或者同时在第一段[a，M+1]内，或同时在第二段（M，+∞）内.则由前面的证明知，总有ε成立.故f（x）在[a，+∞）上一致连续.

例3 设f（x）在[0，+∞）上一致连续，有，其中，证明

证明 已知f（x）在[0，+∞）上一致连续，即，

现在取使得δ，令，由，可得当

再令，对有ε，当以及n>N使得x=x0+n，此时也有使得，

即δ. 故ε，即有.

三、 结语

通过本文的论证我们可以知道其实连续函数在闭区间上的一些基本性质是可以推广到一般区间上的，只要我们适当的加上一些条件即可.文中推广的定理都有严谨的逻辑推理证明过程，进而使得连续函数的基本性质的推广得到了充分的展现.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 上册. 第四版. 北京： 高等教育出版社.2010.7.

[2]刘三阳. 李广民. 数学分析十讲. 北京： 科学出版社.2007.6.

※基金項目：项目名称：广西重点培育学科—应用数学，项目编号：SXZD2014004.