巧用平面几何解决高中数学问题

孙　岚　王红芳（江苏省苏州沙溪镇高级中学）

巧用平面几何解决高中数学问题

孙岚王红芳
（江苏省苏州沙溪镇高级中学）

数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良好的个性品质和学习习惯。很多学生初中学习也是不错的，高中后却发现慢慢跟不上了，原因往往是学习太死，只会就事论事，脱离了知识与知识之间的联系，高中的很多内容与平面几何都是有密不可分的关系的。下面就平面几何在后继学习中的价值做一些例证，以飨读者。

一、平面几何的空间推广——立体几何

立体几何是在初中几何知识的基础上，进一步研究立体图性的基础知识。研究立体图形时，一方面要注意立体图性问题与平面图形问题的区别，另一方面也要注意立体图性与平面图形的联系，在立体几何中有很多基本概念，如异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面的距离等都是通过平面几何相关的概念来定义，这使得对于平面图形的研究成为讨论立体图形的基础，从而立体图形的问题常常转化为平面图形的问题来解决。

1.概念的延伸

平面几何是在二维的平面上研究图形，而立体几何是在三维的空间分析问题，所以，我们不妨将平面中的点往一个方向延伸则成了一条线，将直线延伸则成了一个面等，有了这样的思想我们就不难解决下面两个问题。

例1.我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形和圆中，圆的面积最大。将这些结论类比到空间，可以得到的结论是：

显然答案应为：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大。

2.思想方法的推广

正因为立体几何是建立在平面几何的基础上，所以，它们解决问题的方法也有相似之处，我们来看看下面这个例子。

例2.平面几何中有：边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为_____。

在△ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC

设P到AB的距离为d1，到BC的距离为d2，

到AC的距离为d3，三角形的高为d。

则有S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC

这里采用的是对平面面积的割补法，类似的对于下一个正四面体的问题，我们也可以用类似方法来解答。

在正四面体ABCD内任取一点P，连接PA、PB、PC、PD

设P到面ABC的距离为d1，到平面BCD的距离为d2，

到平面ABD的距离为d3，到平面ACD的距离为d4，

正四面体的高为d，各面面积均为S，

这里是对几何体的体积进行割补法，与上例如出一辙，可见，把握住平面几何和空间几何的联系，对解决空间问题是很有帮助的。

3.利用平面展开图解决立体几何问题

例3.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，且a＞b＞c，现有一小虫从A点出发沿长方体的表面爬行到C1点，请问小虫爬行的最短距离是多少？

这是一个求最小值的问题，对于平面几何我们有很多求最值的方法，但对于立体几何的相关问题却无从下手。于是我们考虑将问题转化为平面问题，将长方体的表面展开如图。

利用平面几何中两点间线段最短可知小虫爬行经过最短路程必为其中之一。

在高中阶段，立体几何承担着学生空间想象能力培养的主要任务，研究立体几何图形的结构成为学生主要的学习要点和难点，抓住平面几何和立体几何的关系进行教学，有助于帮助学生温故知新，通过类比的方法更深刻地理解立体几何。

二、用平面几何知识解决解析几何问题

解析几何是用代数方法解决几何问题的一门学科，因此与平面几何也是互相融合的，当用代数方法过于繁复时，我们不妨思考一下能否用几何方法解决。我们来看看下面的例子。

（1）当l1与l2夹角为60°，且a2+b2=4时，求椭圆C的方程；

分析：第一小题解答比较容易，只要抓住两条渐进线与x轴夹角为30°，得到联立即得，b=1。所以，椭圆C的方程为

初中数学是高中数学的基础，数学内部各类别的知识也是相容相通的，有了初中的平面几何，在此基础上发展起来的立体几何才有其生存成长的空间，所以，我们在解题过程中，不能就事论事，多做些思考，很多问题就会豁然开朗。

·编辑王团兰