浅谈情景教学法在概率论与数理统计中的应用

秦玉芳　　丁艳凤　　郑小琪（、上海海洋大学 信息学院，上海 006　、郑州升达经贸管理学院 基础部，河南 郑州 459　、上海师范大学数理学院，上海 004）

浅谈情景教学法在概率论与数理统计中的应用

秦玉芳1丁艳凤2郑小琪3
（1、上海海洋大学 信息学院，上海 2013062、郑州升达经贸管理学院 基础部，河南 郑州 4511913、上海师范大学数理学院，上海 200234）

为了提高学生的学习兴趣，加深概念和定理的理解，在概率论与数理统计的教学中引入情景教学法。以身边例子切入，详细地介绍了情景教学法在全概率公式，贝叶斯公式，伯努利概型和数学期望中的应用。

情景教学法；全概率公式；贝叶斯公式；数学期望

概率论与数理统计是继高等数学之后的一门数学公共课，学生普遍反映概念和定理难理解，如何消除对这些概念的神秘感，减少学生的恐惧心理就变得十分必要。

情景教学法是教师有目的地引入或创设生动具体的场景，以引起学生一定的态度体验，从而帮助学生理解概念的教学方法［1］。情境教学法的核心在于激发学生的兴趣，根据学生的偏好和常接触的事物构建情景，使学生有身临其境之感，进而掌握知识点的本质。

文章讨论了情景教学法在全概率公式，贝叶斯公式，伯努利概型和数学期望等概念和定理中的应用。

一、全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的一个基本公式，也是教学中的一个重难点［2，3］。在公式讲解完之后，从日常生活中提出学生容易理解、感兴趣的例子来讲解公式的具体应用。季节交替之际是流感高发时期，所以我们拿流感说事，引出下面一个例子。

例1.经调查，全校学生患流感的学生占10%，在患流感的情况下，发烧的概率为20%，在不患流感的情况下，感冒的概率是5%。若随机抽取一名学生，发烧的概率是多少？若这名学生发烧了，患流感的概率是多少？

解法一：先抛开全概率公式和贝叶斯公式，根据已有的知识分析一下。

假设全校有a名学生。设A为事件“发烧”，则

设B为事件“这名学生发烧的情况下患流感”，则

解法二：根据全概率公式和贝叶斯公式求解。

假设A为事件“发烧”，B为事件“患流感”，那么B为事件“不患流感”。则根据全概率公式知，

根据贝叶斯公式知，

从题目的两种不同做法可以看出，理论是从实践中提取出来的。学生在学习新理论的时候，不要看的很神秘，当理解了背景之后就很清楚了。另外，当讲到这节内容时，一般刚开始上课两周时间，学生非常关注本门课的及格问题。从而引出第二个例子——关于及格的问题。

例2.经调查，某一班级同学中非常努力的占30%，中等努力的占50%，不努力的占20%。根据经验，非常努力的学生期末考试及格的概率为95%，中等努力的学生及格的概率为80%，不努力的学生及格的概率为10%。现任意抽取一名学生，及格的概率是多少？若这名学生成绩及格了，他非常努力的概率是多少？

解：根据全概率公式和贝叶斯公式求解。

假设A为事件“及格”，B1为事件“非常努力”，B2为事件“中等努力”，B3为事件“不努力”。则根据全概率公式知，

根据贝叶斯公式知，

作者简介：秦玉芳（1981-），女，讲师，博士，从事数学教学研究。丁艳风（1979-），女，讲师，硕士，从事数学教学研究。郑小琪（1981-），男，讲师，博士，从事数学教学研究。

在给出题目的过程中，题目中已知的概率让学生自己给出，学生参与的主动性一下子就很高，在积极的参与和思考中对全概率公式和贝叶斯公式的理解就更加深刻了。在本节课结束的时候，还可以给学生布置一个这样的题目，以学习小组为单位，通过上网或到图书馆查阅资料，或者自己编一个题目。当然提倡自己编题目，可以在平时成绩中适当地加以体现。

二、伯努利概型

伯努利概型是一个非常重要的数学模型，在实际问题中有着广泛的应用，例如产品质量检查，群体遗传学等方面。在日常生活中，道路上的红绿灯是学生很熟悉的情景。假设遇到红灯或黄灯是事件A发生，则遇到绿灯就是事件A不发生，从而有下面这样一个例子。

例3.假设学生从校园步行到校外常去的一个地方（记为甲地），途径三个路口。假设在每个路口遇到红绿灯是相互独立的，并且每个路口遇到红灯的概率是0.6。现一学生从校园到甲地，试问遇到两个红灯的概率是多少？

解：设事件A为遇到两个红灯，根据伯努利概型得，

在学生练习了一些题目之后，接下来可以应用伯努利概型来解释一些日常现象。从而引出下面的一个实例。

例4.在日常生活中，人们常用“滴水穿石”“只要功夫深，铁杵磨成针”来形容有志者事竟成。但是有人认为这是不可能的。试从概率论的角度分析是否合理。

解：设一次实验中事件A发生（这里指的是“穿石”和“磨成针”）的概率为P。本题目考虑的是在n次独立重复实验中，事件A至少发生一次的概率。

设B=“n次独立重复实验中事件A至少发生一次”

所以这两句谚语是合理的。

从学生身边的例子着手，学生感觉很亲切，很容易进去思考，从而激发学生的学习兴趣，进而深刻理解概念。

三、数学期望

数学期望作为随机变量的数字特征之一，它对评判事物做出决策具有非常重要的作用。数学期望描述随机变量的平均值，下面通过学生的体育课成绩来理解数学期望。

例5.某班级60名同学在体育课上进行体能测试，满分是10分。得分如下表所示：

得分 10 9 8 　7 　6 5人数 3 6 18 18 12 3

求体能测试得分的数学期望。

解法一：根据数学期望本质上是平均值。设体能测试得分为随机变量X，

则

解法二：随机变量X的分布律为

根据数学期望的定义得，

比较这两种解法，（1）式可变形为

所以两种解法本质上是一致的，学生一下子就觉得数学期望不是多么高深的概念了。

总体而言，课堂情境教学不是要数学化、抽象化，而是要具体化、简易化。情景教学法要根据授课内容和学生的具体情况，合理设置情景，加深对概念和定理的理解，从而调动学生学习的积极性，提高学生的学习兴趣。

［1］冯卫东.情境教学操作全手册［M］.江苏教育出版社，2010.

［2］魏宗舒.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［3］吴赣昌.概率论与数理统计［M］.中国人民大学出版社，2012.

In order to improve students'learning interest and deepen their understanding of concepts and theorem，situational teaching method is introduced to the teaching of probability and mathematical statistics.With practical examples，this paper explains the application of situational teaching method in the totalprobability formula，the Bayesian formula，Bernoulli scheme and the mathematical expectation.

situational teaching method；whole probability formula；Bayesian formula；mathematical expectation

2096-000X（2016）15-0113-02

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