从自然数说起

张新春

从自然数说起

张新春

湖南小学数学教师的知心朋友、长沙市小学数学教研员张新春老师一直致力于小学数学教师学科专业素养的研究。近期，张老师推出“数学与思维”公众号，其中有不少精彩的文章。这些文章讨论的是与小学数学相关的问题，通俗、生动又不失准确与深刻，是难得的提高小学数学教师数学专业素养的读物。本刊从本期开始，开设“张老师讲数学”栏目，连续刊登这类文章。或从微信公众号中选编，或邀请张老师专门撰文。欢迎大家关注，也欢迎您提出小学数学教学实践中有关学科专业知识理解的问题。

引子

上帝创造了自然数，其余的都是人的工作。

——克罗内克

整数是全部数学的基础。

——H.闵可夫斯基

数学教学通常从自然数开始。从自然数、整数到分数，实数，再到复数；从加减乘除到微分、积分，以至于更高级的数学，这是一个越来越复杂的过程。另外，按英国数学家、哲学家罗素的说法，数学这门学问当我们从它最熟悉的部分开始时，可以沿着两个相反的方向进行，一个是我们刚刚提到的从自然数开始渐趋复杂的方向，这个方向符合我们的数学教学经验。至于另一个方向，指的是“我们不问从我们开始所肯定的东西能定义或推演出什么，却追问我们的出发点能从什么更普遍的概念与原理定义或推演出来”。比如从微分、积分这样的数学开始，我们追问，它的基础是什么？答案是实数。那实数的基础是什么？答案是有理数。那有理数的基础呢？答案是自然数。所有数学命题最终归结为关于自然数的命题。自然数是数学教学的起点，某种意义上通常也是数学发展的逻辑起点。于是，我们的讨论就从自然数开始。

以下是人教版、苏教版小学数学教材中引入自然数1、2、3的方法。

显然，这两种方式是完全一样的，即分别构造出3个集合，3个集合中的元素的个数依次是1、2、3。正因为小学数学中的自然数都是从集合开始的，我们先来看集合意义上的自然数。

集合的概念

给一个概念下定义，通常要以已有的概念作为基础。而定义这个作为基础的概念，又要有新的基础。比如定义矩形，我们说是有一个角是直角的平行四边形，这就用到了直角和平行四边形这样的概念。我们又要追问，直角是什么？平行四边形是什么？这样一步步倒推，必然会碰到这样的情况：用来定义新概念的已知概念，再也无法用定义的办法来明确它的意义了（即再也找不到规定这个概念的概念了），这个概念就叫做原始概念1。原始概念通常靠描述的方法加以解释。集合通常被当作一个原始概念，被描述为“把具有某种属性的一些对象看作一个整体就构成一个集合”。比如上述引入自然数所对应的一只狗构成的集合，三只小鸟构成的集合，等等（事实上，这些动物都从教材的主题图中找出，因此，上述两个集合也可以说成是“主题图中出现的狗的集合”和“主题图中出现的小鸟的集合”）。

在数学中，对一些常用的数集，我们通常约定一些记号表示，它们是——

N：自然数集；

Z：整数集；

Q：有理数集；

R：实数集；

C：复数集。

由于我们讨论集合的主要目的在于揭示自然数的基数意义，故不详细讨论集合论的基本内容，但以下一点却是重要的，那就是一一对应与集合的等价。

一一对应与集合的等价

若我们有两个集合A，B，通过某种法则，对A中的每一个元素都能在B中确定一个对应的像，则称这个法则确定了一个从A到B的映射。如下图所示，即是一个从A到B的映射。

规范一点说，A和B是两个集合，如任给a∈A，存在唯一的b∈B，记此为b=f（a），就称f是A到B的一个映射。

值得注意的是，就A到B的映射而言，我们只关心A中的每一个对象在B中有没有唯一的像，而不关心如下两个问题：

1.A中有没有两个或多个这样的对象，它们在B中的像是相同的？

2.B中有没有这样的对象，它不是A中任何对象的像？

事实上，上述所示A到B的映射中，这两种情况都是存在的。

若没有情况1，我们说这样的映射是单射。规范地说，对于映射f，若有f（a1）=f（a2），则必有a1=a2，则称f是单射。

若没有情况2，我们说这样的映射是满射。规范地说，对于任意的b∈B，总存在唯一的a∈A，使得b=f（a），则称f是满射。

若没有情况1，也没有情况2，我们称这样的对应为一一对应。即如果f既是单射，又是满射，则f是一一对应的映射。下图所示的就是一一对应。

若两个集合A，B之间能够建立起一一对应的关系，我们就说A，B两个集合是等价的。A和B等价通常被记作A～B。同时，以下关于等价的性质被认为是基本的：

自反性：A～A；

对称性：若A～B，则B～A；

传递性：若A～B，B～C，则A～C；

自反性是指一个集合能与自己建立起一一对应的关系，这是显然的。而对称性指的是如果A能与B建立起一一对应的关系，那么B就能与A建立起一一对应的关系。事实上，只需把A与B建立一一对应的方式反过来即可。至于传递性，我们可以看以下一个例子：

由

1.逻辑史上最早由古罗马逻辑学家波爱修提出定义新概念的方式：概念=概念所归的属+种差。这种下定义的方式，后来被称为通过属和种差下定义。所谓种差，就是属下面一个种不同于其他种的特征。传统逻辑认为，属加上种差，构成事物的特有属性（本质属性或固有属性）。数学上经常用这种方式定义一个新概念。比如矩形被定义为有一个角是直角的平行四边形。其中，平行四边形是概念矩形所归的属，而有一个角是直角就是种差。这种定义方式如果我们不断上溯（比如什么是平行四边形，什么是四边形等），原则上总会存在原始概念，它不再由另外的概念来定义。集合就是这样的概念。