“观察物体（三）”教学研究报告

长沙市麓谷中心小学数学组　潇湘数学教育工作室

“观察物体（三）”教学研究报告

长沙市麓谷中心小学数学组潇湘数学教育工作室

一、问题

几何学作为一门学科，历史悠久。欧氏几何曾经统治几何2000多年，近代以来，人们对欧氏几何作为中小学几何课程内容的地位和价值的争论从未中断。但无论如何，空间想象能力的培养一直是认同一致的几何教学目标。曹才翰先生认为，空间想象能力是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造出新的形象的能力。他同时认为，空间想象能力提法的要求较高（对初中生而言都太高），建议提空间观念。

课标关于空间观念内容的表述，第一条即是“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”。教材中“观察物体”的相关教学内容是为了让学生在空间观念上获得发展。三维图形与二维图形之间的相互转换是培养学生空间观念的主要途径，“观察物体（三）”就是借助小正方体的组合图形来实现这种转换。这个内容在初中阶段的教学目标为“学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型，经历探索简单的几何体的三视图的还原”，在高中阶段的教学目标则为“学会绘制简单的三视图”。

在新编的人教版小学教材中，关于观察物体这一内容的具体编排分为三个层次：第一层次，从不同角度观察实物和单个的立体图形；第二层次，从三个不同的位置观察同一个几何组合体，辨别看到的形状；第三个层次，根据从一个方向看到的形状图拼摆几何组合体，之后根据从三个方向看到的形状图拼摆几何组合体。其中，前两个层次都是三维空间到二维平面的转换，第三个层次是从二维平面到三维空间的转换。

第三个层次的内容“观察物体（三）”是新人教版教材增加的内容。这一内容的教和学都缺少经验可循，对教师而言是一种新的尝试。首先，它是第二个层次的逆向思维过程，是以第二个层次的知识和能力发展达到应有的水平为学习前提的。其次，在第三个层次的教学中，我们要让学生理解，一个视图只能反映物体的一个方位的结构形状，不能完整地反映物体的结构形状，如果运用从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果（即三视图），学生基本能完整地表示出物体的结构形状。

1.教之困

（1）学生习惯了从空间实物到平面图形的想象方式，现在需要进行逆向思维，将用平面图形的方式呈现的立体图形还原为立体的实物图形，跨越比较大，教学的时候有难度。

（2）教学中是否要从中寻找规律，寻求解答题目的最佳途径。这样做，从数学方法论的角度来说，能够锻炼学生的最优化的思想，提高做题效率，但却与三视图本身的应用没有关系。

2.学之难

（1）从三维空间到二维平面的转换要以较强的空间想象能力作为基础，还需要突破错觉，对基础薄弱的孩子来说，可能要经历多次失败的操作才能获得正确的答案。

（2）在课堂中，存在着三视图（主视图、俯视图、左视图）、在平面上画出的立体图形、实物立体图形等几何形式，学生在学习之前就应具备相应的转换能力，能将用平面图形的方式呈现的立体图形和实际摆放的立体组合图形进行转换。

（3）三视图是工程界一种对物体几何形状约定俗成的抽象表达方式，我们的教学仅仅是一个启蒙，因此，使用的图形也是规则的立体组合图形。对学有余力的孩子，教学时可否将知识进一步渗透？

3.对问题的分析

（1）例1和例2之间需要架设桥梁，使它们的教学目标一致。作为新编入的教材内容，对教材的再加工是值得探讨的问题。对于例1，可以探讨的方向有两个，第一个方向是，已知主视图，用固定数量的小正方体摆相应的立体图形，可以有多种摆法；第二个方向是，在已知主视图和左视图的情况下，研究需要的小正方体的个数。这两个方向都有助于培养学生的空间想象能力。在充分研究例2以后，我们决定还是从第一个方向着手，使例1与例2的教学目标相对一致。由此学生也能理解到，只有一种或者两种视图都无法确定所能摆出的立体图形的唯一性。只有给出三种视图才可以确定所摆的立体图形的唯一性。

（2）学生学习遇到困难的客观原因来自于操作的缺失。要发展学生在平面图形和立体图形之间的转换能力，必须通过画图及操作等手段实现。在这个内容的教学中，操作的作用举足轻重。可是，有些教师由于主观上认识不够，加上学具缺乏，操作往往成了教师的演示，学生没有机会动手。因此，准备足够的标准学具，留出充分的时间让学生动手操作，是解决这个课时学习困难的有效策略。

（3）生生互动不够也是造成学生理解和想象不透彻的原因之一。学生与学生之间的协作、辩论、质疑和评价能够激发学生更大的学习热情，促使对学习内容进行更加深入的探讨。因此，课堂应该给学生充分的时间思考、质疑、辩论、评价，教师适时引导，帮助学生拓展知识的深度和广度。

基于以上认识和对问题的分析，我们在教学这一内容时对培养学生的空间想象力和思维能力作了一些尝试。

二、实践

1.基于已知正视图摆出立体图形的教学尝试。

片段实录

生1摆出图形。

师：大家觉得他摆得对吗？

生2：他的摆法可以，我认为还可以把第一排的第一个小正方体摆在第二个小正方体的前面，也可以摆在第三个小正方体的前面，所以一共有3种摆法（如图：）。

生3：我来补充，先用3个小正方体摆一排，再将剩余的这个小正方体摆在第一个小正方体的后面，也可以摆在第二个小正方体的后面，还可以摆在第三个小正方体的后面，也是3种摆法。加上之前的3种摆法，一共有6种。

师：说得真好，这样有序思考，能够做到既不重复也不遗漏。刚才你们把4个小正方体分成了两排来摆，一排有3个，一排有1个，那我们就将它们分别称为“一三型”摆法和“三一型”摆法。那只有这6种摆法吗？

生4：有无数种。

师：真的有无数种吗？请你上台摆摆看。

生4将第四个小正方体摆在第一个和第二个小正方体后面的中间。

生5：只要是在第一个和第三个之间的后面来回移动都可以，有无数种摆法。

生6：我觉得不一定要紧挨着第一个小正方体的后面，一直垂直往后面摆都可以。也有无数种摆法。

师：是啊，如果按照你们说的这样摆，会有无数种摆法。但我们现在只研究棱和棱重合的拼摆情况，不涉及错开的情况。

生7：那就只有6种摆法。

师：其他同学还有什么问题吗？

生8：刚才老师讲了可以是棱和棱的重合。那我把最左边的两个往后挪，挪成这个样子：，这应该是一种新的摆法了吧？

师：谁来评价一下这种摆法？

生9：我认为是对的，从正面看是。

师：大家都请认真看一看。刚才我们有“一三型”“三一型”，他这个摆法可以称为什么型呢？

生10：“二一一型”。

生11：还可以摆出“一二一型”“一一二型”。

师：请大家动手摆摆看。（学生操作）还有别的摆法吗？

生12：还有“二二型”。

师：这样要怎么摆？

生12摆出和等形状。

师：4个小正方体可不可以摆成“一一一一型”呢？

生13操作，摆出。

生14：不对，从正面看是4个正方形了。但是可以调整成“一一二型”。

师：那摆法有多少种，可以统计吗？（可以）不过，我们今天不是研究有多少种摆法，而是要从中知道，光凭从正面看，我们无法确定一个立体图形的唯一性。那么光从侧面看，能不能确定一个立体图形的唯一性呢？

生15：也不可以，因为只是换了一个方向而已。

设计意图：从探索“一三型”的摆法开始，引导学生通过思考和实践迁移到其他如“二一一型”等的摆法，把最后的落脚点放在得出“只有一个视图无法确定立体图形的唯一性”上。

2.基于已知正视图和左视图摆出立体图形的教学尝试。

片段目标：学生通过想象和操作，用5个小正方体摆出正视图为，左视图为的图形，并且通过观察和想象，得出能摆出的其他图形的样子，利用动手操作进行验证，进一步培养空间想象能力。

片段实录

师：如果再增加一个同样大小的小正方体，要保证从正面看到的形状也是，你可以怎样研究它的摆法呢？

生1：我可以将5个小正方体分成几份进行尝试，和刚才研究4个小正方体的摆法差不多。

师：具体的操作我们现在就不进行了。有兴趣的同学下课以后可以研究，看看到底有多少种摆法。如果增加一个条件，规定摆出的图形从左面看必须是，可以怎样摆？会有多少种摆法呢？请大家先仔细想想该怎么做。

生2：我们可以从正面是的图形里面挑选出从左面看是的图形。

师：他这种方法，你们是怎么理解的？

生3：我觉得应该先摆好从正面看是的 3个小正方体，然后进行调整。

师：请大家动手摆一摆吧。

学生动手操作。教师请两位同学上台展示各自的摆法（如下图所示），并且说一说自己是怎么摆的。

师：他们的摆法不一样，都符合条件吗？

生（齐）：符合。

师：看样子，规定两个方向看到的平面图形，我们还是可以摆出不一样的立体图形来。那再增加一个条件：从右边看是的图形，会怎么样呢？

生4：从右边看和从左边看是一样的，所以摆法跟刚才的结果相同。

师：那么，有没有一种可能，我们给出足够的条件，就能摆出唯一的立体图形呢？

设计意图：本片段我们对教材进行了创新，使之能够在例1和例2之间起到承接的作用。这样一来，在教师的引导下，学生知道了已知两个视图也无法确定立体图形的唯一性，从而进一步思考已知三个视图是否就可以确定立体图形的唯一性。

3.基于已知正视图、左视图和俯视图三个视图摆出立体图形的教学尝试。

片段目标：学生通过思考和想象，探索怎样根据三视图确定立体图形，培养空间想象能力和动手操作能力，以及分析和解决问题的能力。

片段实录

师：你觉得给出从几个方向看到的平面图形，能大致确定一个立体图形？

生1：前后看是一样的，左右看是一样的，应该是增加一个上下看的图形，就差不多可以确定了。

师：那好，这里分别给出了从正面、左面、上面看到的图形，你能用小正方体摆出原来的形状吗？（出示教材例2，如下图）请大家先想象一下怎样摆，可能需要几个小正方体，再和同桌交流你的思路。

学生先想象，然后跟同桌交流，再进行动手操作。

师：摆好以后，请从三个方向观察，验证你摆出的立体图形是否正确。然后在纸上画一画，画完后和给出的条件对比一下，再展示你们的作品。

学生验证后展示作品。

师：我发现大家都摆得一模一样。说说你是怎样摆的？说之前，我们先看看在研究上是怎样给从这几个方向看到的平面图形命名的。从正面看到的，是主视图（板书：主视图）；从左面看到的，是左视图（板书：左视图）；从上面看到的，是俯视图（板书：俯视图）。

生2：我先根据正视图摆出从正面看到的2个小正方体；再看左视图，发现还要添1个小正方体，有可能是添在后面，也有可能是添在前面；最后看俯视图，发现要添1个小正方体在后面。

生3：我和他的思路不一样。我是先看俯视图，每个位置摆1个小正方体，然后观察，发现从正面看符合主视图，从左面看也正好符合左视图。这样容易一些。

师：你们分别用了几个小正方体？

生（齐）：3个。

师：这两个同学的思路不一样，可是摆出的结果却是一样的。由此我们可以猜测，根据给出的三视图，用小正方体摆出相应的几何组合体，摆法是唯一的。那到底是不是唯一的呢？我们还只研究了一个例子，远远不够，所以我们只能说，可能是唯一的。

师小结：这节课我们分别根据一个视图、两个视图、三个视图摆立体图形，发现根据一个视图、两个视图进行拼摆，摆法多种多样，也了解到根据三个视图摆立体图形可能是唯一的、确定的。你们摆出了经验，总结了方法，请你们记住这个经验，之后将它们应用到练习当中去。

三、讨论

本节内容旨在通过学生的动手操作和发挥空间想象能力，实现从二维平面到三维空间的转化，突破学习的难点。我们创造性地运用了教材，理出了一条主线，即引导学生从探索已知一个视图的立体图形的摆放，过渡到已知两个视图的立体图形的摆放，再落脚到已知三个视图的立体图形的摆放。在这个过程中，学生比较好地理解了已知三个视图的立体图形的摆放方法，也在想象与操作中获得了能力的提升和学习的快乐。在教学完成以后，我们也进行了认真的反思。

1.本节课中，我们只让学生感受了两点：一是已知一个视图时摆法的多样，且可以遵循一定的规律来摆，至于到底有多少种摆法，是怎样的规律，我们没有深入研究或者说总结；二是已知两个视图时，摆法变少了，少成什么样，我们也没有总结。我们的思考是，这些结论和规律偏离了预设的课堂教学目标，因此进行了舍弃。

2.从时间和容量上来说，我们无法在本堂课进行练习。再进行教学时，我们可能会将这一课时的内容拆分成两个课时或者三个课时，引导学生进行充分的挖掘和研究。其一，可以将已知一个视图摆图形的方法研究作为方向来深入探究；其二，可以充分拓展：已知两个视图，在已有的规则下，我们用小正方体摆与之符合的立体图形，需要多少个小正方体呢？其三，绝大多数的凹形立体图形即使有了三视图也无法确定其唯一性，那么在用小正方体摆立体图形的时候，增加什么条件能确定其唯一性呢？这个也是可以带领学生探讨的。

3.关于三视图的内容，在小学、初中、高中三个阶段的数学教学中都有安排，而三视图的概念是在高中阶段才学习的，用投影来定义。显然，我们无法在小学阶段让学生理解。但是，为了学习的方便，是否可以引入主视图、俯视图、侧视图这三个名词？是否可以像我们的课堂这样，先让学生形象地认为从上面看，看到的图形就大致等同于俯视图？从左边看，看到的图形就大致等同于左视图？从正面看，看到的图形就大致等同于正视图？

（执笔：王树坤、李小珍、何琴）