对促进学生发展的数学学习评价方案的探索

孔企平

对促进学生发展的数学学习评价方案的探索

孔企平

随着数学教育改革的深入，建立与国家课程标准目标和方法相一致的多元评价体系，对我国在数学教育领域推进素质教育具有重大的价值。要构建与课程标准相一致的评价方案，首先必须解决以下几个问题：

第一，如何使评价目标与国家课程标准目标体系保持一致？

第二，如何发挥评价的诊断性和形成性的功能，以促进学生数学知识与能力的发展？

第三，如何评价创新思维等高层次的思维？

第四，如何关注学习过程？

第五，如何建立定量与定性相结合的多元的评价方法体系？

围绕上述问题，本文基于《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），对学校内部的多元评价方案的基本特点进行讨论，其要点包括以下几个方面。

一、设计目标多元的数学学习评价的基本构架，建立以评价学生数学素养为重点的评价目标体系，体现《标准》的基本要求

评价方案与《标准》保持一致性，是设计新的评价方案的基础。《标准》颁布5年来，我国的中小学数学学习评价发生了积极和重要的变化，但也存在一些问题，数学学习评价的研究在一定程度上还相对滞后。在教育实践中，我们时常可以看到这样的现象，有部分学生通过了数学考试，甚至成绩优良，但并没有具有我国教育目的所要求的和21世纪公民所需要的数学素质。有研究者尖锐地指出，在可贵的数学高分下隐含着危机［1］。传统的数学测验成绩不能完全反映学生真正的数学能力，主要有以下三个方面的原因。第一，传统的数学测验往往把数学知识看作一套孤立的技能和概念，而不是把它作为一个整体。第二，传统的数学测验主要面向事实性的知识和程序性的技能，而不是重点考察高层次的思考。第三，传统的数学评估侧重的是问题的答案而不是学生解决问题的思路、策略的合理性和独创性等品质，侧重的是解题结果而不是学生思考的过程。这三个方面与《标准》的要求形成明显的反差，也不符合数学学科素质教育深入发展的要求。

实际上，在数学教育中已经出现了一种课程的表面达成现象。这种现象的具体表现是：学生虽然通过了考试，甚至成绩良好，但没有形成社会所期望的数学素养；表面上看教学任务完成了，实际上课程要求并没有达成，从目标到教学再到评价的循环是在浅层次中完成，并没有涉及素质教育的深层次目标。这种现象造就了大量“高分低能”的学生。显然，这种情况不利于学生真正的发展。针对上述情况，我们认为《标准》背景下的评价方案的一个首要特点就是评价要关注学生的全面发展，尤其是关注学生的数学素养的发展。

《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度四个方面作出了具体阐述。《标准》从情感与态度、知识与能力、过程与方法三个基本维度出发，把具体内容分成数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用四个方面，并与四个目标领域有机地整合起来进行阐述。这样设计目标，目的是在数学课程中切实落实促进学生的全面、持续、和谐发展的要求。根据《标准》的要求，构建《标准》背景下的数学学习评价方案，首先要研究多元化的评价目标，并以简洁的形式呈现这种目标体系。在文献分析和实地调查的基础上，我们尝试把评价方案分成两个相互联系的基本部分。第一部分，考察学生在数学教学过程中情感与态度的发展，包括兴趣与动机、行为与态度、合作精神、自信心四个基本的因素。第二部分，考察学生的数学认知领域的学习情况。这部分内容又分成两个方面，其一是考察学生在数学教学过程中对数学知识的掌握与应用，目的是了解学生在知识与能力方面的发展。对此，我们分别从概念性知识、程序性知识和数学应用三个维度进行研究，把考察数学知识与思维能力整合起来。其二是从过程和方法的角度考察学生的学习方式和高层次的思维品质。具体如下表。

表1　目标多元数学学习评价的基本构架

同时，要有条件地吸收国外研究的一些成果，建立评价与内容标准相一致的具体判断工具。例如，有研究者以美国的数学学科为例指出，要从知识的种类、知识的深度、知识的广度和知识样本平衡四个方面考察评价与标准在内容上的一致性［2］。在表1的基础上，还要形成分年级的评价方案。由于《标准》是分学段呈现知识目标，所以我们应结合现行的教材制定相应的《学业成就评价意见》。同时，针对不同的目标，还需要研究使用不同的评价方法。比如，对情感与态度、过程与方法，主要侧重于用过程性评价方式进行观察和分析。

二、研究分层评价的理论，发挥评价的诊断性功能，设计多层次的命题体系考察学生的数学理解和对数学知识的掌握情况

命题设计是数学学习评价的重要内涵，也是考察知识和能力目标的基本方法。《标准》指出，对基础知识和基本技能的评价，以该学段的知识与技能目标为基准，考察学生对基础知识和基本技能的理解与掌握程度。合理地、多层次地设计数学命题，是有效地考察学生对知识掌握情况的一条重要途径。

分层的评价理论对设计《标准》背景下的数学命题，考察学生理解、掌握和应用知识的能力具有重要意义。心理学家Entwistle等提出了5种理解的形式：1.从教师讲述的记录中获得知识，而学生自己无任何结构；2.从教师的知识结构中获得知识；3.针对考试的问题产生自己的结构；4.在考试要求的范围内，调整自己的结构，达到对这些知识的理解；5.通过广泛的阅读和反思，发展个人的学科概念［3］。这5种理解的形式表达了关于由浅到深的理解层次的基本构想。

在研究理解层次的基础上，研究者在评价学生对知识的理解程度方面作了尝试。Biggs和Collis提出了SOLO（structure of the observed learning outcome）模式［4］。Biggs等认为，必须评价学习的质性方面，学习者掌握知识的结构组织（strutural organization）是研究学习者学习质量的重要线索。Biggs和Collis从Piaget的儿童智力发展阶段（前运算、早期具体运算、中期具体运算、后期具体运算和形式运算）入手，对学习者的知识结构进行分析，对应地提出了5种反应水平，即扩展抽象（Extended Abstract）水平（能用所学的概念概括没有经验过的情境）、关联（Relational）水平（能用所学的概念概括经验过的或某些特定的情境）、多元结构（Multistructural）水平（能在有限或独立的情境中对所学概念进行概括）、单一结构（Unistructural）水平（只能在一个方面对所学的概念进行概括）和前结构（Prestructure）水平。SOLO模式在评价学生数学理解程度上应用比较广泛。为了评价学生的数学理解，对每一个要考察的知识的范围还需要制定具体的表现标准。

Collis&Romberg根据SOLO理论也提出了数学知识分层评价的思想。第一，每一种数学技能都是以某一个层次为基础的。如简单的计算技能可能与较低的层次相对应。每一种数学问题所评价的内容在层次上有一定的指向。有些指向较高的层次，有些则指向较低的层次。这种认识和Lange的三层次评价理论是一致的。第二，学生在运用某一种技能解决一个实际问题时，必定产生一定的模式。概括起来有四种模式：第一种，具体的模式；第二种，具体-符号模式；第三种，形式化的模式；第四种，后形式化的模式。数学学习评价不仅涉及不同的层次，还和解决数学问题时的模式有联系。

上述分层次评价的思想可以用于具体知识内容的设计。例如，学生是否理解一元一次方程，可以分为以下几个方面（层次）设计相应的数学问题。A学生能表述方程是含有未知数的等式，并理解方程的解的含义。B学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程。C学生能熟练地解一元一次方程，并能检验方程的解。D学生能在问题情境中灵活地应用一元一次方程解决问题，并能根据问题情境检验问题答案的合理性。通过上述四种情况，教师可以了解学生对知识的理解和掌握的情况，进一步指导他们改善学习。第一种情况表明学生掌握了方程的基本含义。第二种情况表明学生掌握了方程解的含义。第三种情况表明学生具有解方程的基本能力。第四种情况表明学生已经达到灵活应用的程度，能根据实际情况检验答案的合理性，说明学生在学习这部分内容时在一定程度上能做到理论联系实际。

三、引进研究性、开放性问题，考察学生的高层次思维与创新能力

在数学教育中，培养学生的高层次思维能力是重要的任务。这些高层次的能力包括推理、交流、概括和解决问题等方面的能力，它集中表现为学生的创新能力方面的发展。因此，在数学学习评价中，如何评价学生的创新思维等高层次的思维形式是一个重要的课题。

研究表明，研究性、开放性问题对评价创新思维等高层次的能力具有重要作用。日本数学教育学会曾经对“什么样的学生行为可以反映出高层次的数学能力”进行了调查，结论可以被概括为：当面临一个新的问题情境，学生能够把这个情境数学化并加以处理，换言之，学生用他们喜爱的方法对新的问题运用数学知识进行思考、重新解释并加以处理［5］。由于开放性问题要求被试创造一个反应而不是回忆或者选择一个反应，其结果往往是不唯一的，所以它可以反映常规测验所遗漏高层次思维的目标和学生的思考过程。在运用开放性问题评价学生高层次的思维形式时，建立一套量化和质化相结合的评价学生思维过程的体系是必要的。

研究表明，解答传统的封闭问题的成绩并不能较好地反映高层次思维的成绩，高层次思维成绩的方差比传统成绩大得多［6］。实际上，许多封闭式问题提供了所有答题所需要的完整条件，这足以使学生回忆学过的知识并选择合适的知识进行解答。在数学学习评价中加强整体性、思考性和过程性的评估是必要的。美国加利福尼亚教育部（California State Department of Education）指出了开放性问题的五个功能：一是开放性问题为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观念来表达的机会，这和他们在数学学习中的发展是一致的；二是开放性问题要求学生构建他们自己的反应而不是选择一个简单的答案；三是开放性问题允许学生表达他们对问题的深层次的理解，这在多项选择中是无法做到的；四是开放性问题鼓励学生用不同的方法解决问题，反过来要求老师用不同的方法解释数学概念；五是开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成分［7］。

与封闭性问题不同，在解答开放性问题的过程中，从现实条件到用数学语言表述是一个真正的抽象化、意念化和简单化的过程，其中涉及的思维包括：把原来的知识和技能分组以形成解决目前问题的一种整体的技能，或者对原来的技能进行修正以解决目前的问题。学生通过对问题的观察，不断检验上述技能能否解决问题，并不断地修正假设。如果已有的知识和技能并不能解决问题，就会对新的方法提出假设并进行尝试。如果成功，学生会考虑是否有类似的例子并发展新的理论。因此，开放性问题涉及学生的高层次的思维。

目前，在国外的教材中，研究性、开放性问题的形式主要有开放题和研究性项目两种。基于《标准》的评价方案应该为开放性、研究性问题留有一席之地。《标准》非常重视培养学生的数学思维，把数学思维作为一个重要的目标领域。当然，评价学生的高层次思维能力的方法是多样的，使用研究性、开放性问题也是一个行之有效的方法。我们认为，对开放性问题学习的评价应该主要以平时的过程性评价为主，但也要积极研究如何在测验命题中适当体现这类问题以及相应的评分标准。

四、使用观察、谈话等基本方式，关注学生的学习过程，考察学生学习方式的合理性

《标准》指出，数学学习评价中既要关注结果，也要关注过程。具体地说，要在评价学生知识与能力的同时，关注学生的情感体验与认知方式。这种过程性的评价对促进学生素质的发展具有十分重要的意义。因此，在评价中必须把学生的情感体验和认知方式作为基本目标。过程评价可以引入多种定性评价的方式，其中观察和访谈是重要的和有效的评价途径。

在学生的数学学习过程中，首先要关注他们的情感体验。研究表明，学生在数学学习过程中的情感体验是多种多样的，至少有这样几种情况：第一，对数学学习内容和过程感到有趣；第二，虽然谈不上对数学学习感到有趣，但完成学习任务或取得好的成绩会感觉到愉快和满足；第三，对考试和测验的焦虑，对考试成绩很担心；第四，厌倦数学或数学学习活动。

其次，要考察学生的认知方式。研究表明，学生的数学认知策略也是有较大差异的，具体如下表。

表2　学生认知策略的三个方面

实际上，学生这三种策略表现体现了三种思维的层次和特点，反映了学生认知参与的基本情况。浅层次的策略、深层次的策略和依赖（教师或者家长）的策略，实际上体现了三种不同的认知水平。浅层次的策略表现的是死记硬背和机械的认知水平；深层次的策略是具有理解和反思性的认知水平。依赖教师或者家长（在课堂教学的情境下，主要体现为依赖教师）策略，实际上体现了学生认知策略仍不成熟，从而认知水平并不稳定。当教师使用较好的教学策略时，学生的学习策略会比较好，当教师使用不够好的教学策略时，学生的学习策略也不够好。在后继的相关研究中我们发现，依赖的策略更多地与浅层次的策略有关。我们在研究中发现，这种情况在中国的学生中较为普遍。

五、建立方法多样和定量与定性相结合的数学学习评价体系

构建《标准》背景下的数学评价方案的一个重要方面是建立方法多样和定量与定性相结合的数学学习评价体系。评价方案从评价的方式上来说，存在定量和定性两种情况。定量评价的范式，试图用自然科学的实证主义的方法，用数量单位为标准对评价对象作出判断。定性的评价则是用自然主义的方法对评价对象的性质和状态作出分析与评价。从评价的目标来说，也存在着多个方面。在数学教育中，学习结果包括知识与技能、数学思考、解决问题与情感态度等方面。对学生进行评价时，应把教师评价与同伴互评和家长评价相结合。对学生学习情况的评价应注意多种形式相结合，采用课堂观察、课后访谈、作业分析、操作、实践活动等形式。教师在评价学生学习时，应让学生开展自评和互评，而不仅局限于教师对学生的评价，也可以家长和社区有关人员参与评价。评价的手段和形式应当多种多样，既可以用书面考试、口试、活动报告等方式，也可用课堂观察、课后访谈、作业分析、建立学生成长记录袋等。

用不同的方法评价学生不同的学习结果也成为世界数学教育改革的一个重要特点。2000年颁布的《美国数学课程标准》提出了要用不同的方法评价不同的目标达成情况，如“用简单的解答题和选择题进行小测验，能测查学生应用程序性知识的情况。用解答题或操作题可以很好地表明学生把数学应用于复杂或新情境的能力。课堂观察和对话能了解学生的思维。用反思性日记和收集代表作能了解学生的思维，教师能够考察学生在这段时间内思维与推理能力的变化”［8］。如何建立方法多元、目标多元的数学教学评价体系，对分层评价的实施十分重要。

建立多元方法，关键是要把方法和目标对应起来，用合适的方法评估不同目标。Lange根据数学教学内容把评价目标分成三个层次［9］。第一层次是低层次评价。在这一层次中，评价主要表现为传统的数学考试的方法，关注的是学生是否掌握数学概念的定义、操作性技能和标准化的算法。第二个层次称为中级层次评价。这一层次的评价是要了解学生能否把两个以上的概念或者方法联系起来，关注的是学生在数学知识方面建立联系、整合以及解决问题。第三个层次是高层次的评价。这一类评价目的在于涉及更复杂的高层次的思维：数学思维、交流、反思、创造性、概括能力和数学化。Lange的三个层次的评价理论为数学知识分层评价架构提供了重要基础。

《标准》指出：“在呈现评价结果时，应采用定性与定量相结合，以定性描述为主的方式。定量评价可采用等级制的方式。定性描述可以采用评语的形式，更多地关注学生已经掌握了什么，获得了哪些进步，具备了什么能力。使评价结果有利于树立学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，促进学生的发展。”定性描述是以陈述方式给出的“被评价者数学学习的认知与非认知特点，以及需要进一步从事的数学学习活动”等对学生学习成效的描述，它的基本形式是评语。通过描述的语言，简明地叙述被评价对象的学习过程以及结果。定性的描述性评价要求语言力求简明扼要、具体，避免一般化，尽量使用鼓励性的语言，客观、较为全面地描述学生的学习状况，充分肯定学生的进步和发展，同时指出学生在哪些方面具有潜能，哪些方面存在不足。定性的描述性评价方式有利于帮助学生树立学习数学的自信心，提高学习数学的兴趣，明确自己努力的方向，促进进一步的发展。学生在阅读了这个评语之后，获得的是成功的体验和学好数学的自信心，同时也知道了自己在哪些方面存在不足，明确了自己今后继续努力的方向。

（作者单位：华东师范大学课程与教学系）

［1］张奠宙等.代前言—数学素质教育设计（草案）［M］.载张奠宙等（编）.《数学教育研究导引》，1-5.南京：江苏教育出版社，1994.

［2］刘学智.论评价与课程标准一致性的构建：美国的经验［J］.全球教育展望，2006年第9期，36-37.

［3］Biggs，J.B.Assessing Learning Quality: Reconciling Institutional，Staff and Educational Demands.Assessment&Evaluation inHigh Education，1996.

［4］Biggs，J.B.&Collis，K.F.Evaluatingthe Quality of Learning:The SOLO Taxonomy.New York: Academic Press Inc，1982.

［5］Becker，J.P.The Open-ended Approach: Anew proposal for teachingmathematics.Reston: National Council of Teachers of Mathematics，1997.

［6］Becker，J.P.，Shimada，S.The Open-ended Approach:A new proposal for teaching mathematics. Reston，Virginia:National Council of Teachers of Mathematics，1997.

［7］California State Department of Education. A Question of Thinking:A first look atstudents' performance on open-endedquestions in mathematics. Sacramento:California State Department of Education，1989.

［8］全美数学教师理事会.美国学校数学教育原则和标准［M］.蔡金法等译.北京：人民教育出版社，2004.

［9］Lange，D.Assessment:No change without problems.InT.A.Romberg（Ed.）.Reformin School Mathematics and Authentic Assessment. Albany:State University of New York Press，1995.

华东师范大学教育学部教授、博士生导师，教育部人文学科重点研究基地课程与教学研究所专职研究员。担任国家数学课程标准实验教材数学（1～6年级）（北京师范大学出版社出版）主编，教育部首批国培计划专家库成员。国家义务教育数学课程标准（实验稿）研制组核心成员，参与国家教育质量监控（数学学科）的研究工作。研究成果曾获教育部和上海市教育科研成果奖。主持和参与多项国家级和省部级研究课题。研究方向为小学数学教育，数学课程与教学、课堂教学理论与策略研究等。出版学术著作10余部，发表学术论文数十篇。