关于 I-正则空间和 I-正规空间的一个注记

李小敏

(石家庄理工职业学院,中国 石家庄　050228)



关于 I-正则空间和 I-正规空间的一个注记

李小敏

(石家庄理工职业学院,中国 石家庄050228)

摘要在拓扑空间中引入理想结构就形成了理想拓扑空间, 理想拓扑空间体现了拓扑结构和理想结构的融合, 是一类重要的拓扑空间, 研究它具有重要的理论价值. 给出了I-正则空间和 I-正规空间的映射定理及拓扑和定理, 得到了 I-正规空间的一些特征. 并讨论了 I-正则空间、I-正规空间和 I-紧空间之间的关系.

关键词理想空间; I-正则空间; I-正规空间; I-紧空间; 映射; 拓扑和

Kuratowski[1]和Vaidyanathaswamy[2]在拓扑结构中引入了理想结构，形成了理想拓扑空间，它既有与一般拓扑空间相似的性质，又有独特的性质. 于是研究理想拓扑空间成为一般拓扑学的重要课题之一. Arenas 等[3]研究了弱分离公理的理想化. Dontchev等[4]探讨了理想可解拓扑空间.Mukherjee等[5]运用理想讨论了拓扑空间的扩展.Navaneethakrishnan等[6]深入分析了理想拓扑空间中g-闭集.Navaneethakrishnan等[7]研讨了Ig-正则和Ig-正规空间.李招文等[8]考虑了理想Baire空间.陈海燕等[9]进一步研究了理想拓扑空间.但这些研究没有涉及到了理想拓扑空间的正则性和正规性.本文将研究I-正则空间和I-正规空间.

在本文中,空间总是指拓扑空间或理想空间,它们不附加任何分离性,映射总是满射.N表示自然数集,2X表示X的幂集.未涉及的拓扑学方面的概念和符号均参见文献[10].

设X是一个非空集，I⊂2X.I称为X上的一个理想，如果它满足如下条件:

(1) 若A∈I,B⊂A,则B∈I,

(2) 若A∈I,B∈I,则A∪B∈I.τ是X上的拓扑,I称为X上的理想,则(X,τ,I)称为理想拓扑空间,简称理想空间.

设(X,τ,I)是一个理想空间.算子(·)*:2X→2X,称为关于τ与I的局都映射[1],定义如下:对任意的A∈2X,A*(I,τ)={x∈X:V∩A∉I,V∈τ(x)},其中τ(x)={V∈τ:x∈V}.

令cl(A)(I,τ)=A∪A*(I,τ).可证cl(·)*是一个Kuratowski闭包算子(参见文献[11]).它生成一个比τ细的拓扑τ*(I,τ),我们称为*-拓扑.在不引起混淆的前提下,

A*(I,τ)、cl*(A)(I,τ)和τ*(I,τ)分别简记为A*、cl*(A)和τ*.

若X是一个拓扑空间,且A∈2X,则cl(A)和int(A)分别表示A在X中的闭包和内郎.若U⊂2X,Y∈2X,x∈X,则UY表示{A∩Y:A∈U},U(x)表示{A∈U:x∈A}.

若I是(X,τ)的理想，且Y∈2X,则IY是(Y,τY)的理想(参见文献[12]).(Y,τY,IY)也是一个理想空间,我们称(Y,τY,IY)为(X,τ,I)的子空间.

定义1设(Y,τ,I)是一个理想空间,且A∈2X.

(1) 若τ∩I=∅,则I称为codense理想[13].

(2) 若对点x∈X和满足x∈F的闭子集F,存在X的互斥开子集U与V使得x∈U,F-V∈I,则X称为I-正则的[14].

(3) 若对X的互斥闭子集A与B,存在X的互斥开子集U与V使得A-U∈I,B-V∈I,则X称为I-正规的[15].

(4) 若对每个A的开复盖U,U存在一个有限子集U′使得A-∪U′∈I,则A称为X的I-紧子集[12].

(5) 若X作为一个子集是I-紧的,则X称为I-紧空间.

显然,若I={∅},则正则性与I-正则性,正规性和I-正规性,紧性和I-紧性分别是一致的.

若映射f:X→Y是连续的闭映射,且对每个y∈Y,f-1(y)是X的紧子集,则f称为一个完备映射.

引理1[13]设(X,τ,I)是一个理想空间,且A∈2X.若A⊂A*,则A*=cl(A*)=cl(A)=cl*(A).

引理2[11]设(X,τ,I)是一个理想空间,则I是codense当且仅当对每个G∈τ,有G⊆G*.

1关于I-正则空间的一些结果

引理3[16]若f:X→Y是一个映射,且A∈2X,B⊂Y,则f-1(B)⊂A当且仅当B⊂Y-f(X-A).

引理4[12]若(X,τ,I)是一个理想空间,(Y,σ)是一个空间,且f:(X,τ)→(Y,σ)是一个映射,则f(I)={f(I):I∈I}是Y上一个理想.

定理1设f:(X,τ,I)→(Y,σ,f(I))是一个完备映射.若X是I-正则的,则Y是f(I)-正则的.

证假设y∉B,且B是Y的闭子集,则f-1(B)是X的闭子集.y∉B推得f-1(y)∩f-1(B)=∅.对每个x∈f-1(y),x∉f-1(B).既然X是I-正则的,则存在互斥子集Ux,Vx∈τ使得x∈Ux和f-1(B)-Vx∈I.既然f是一个完备映射,则f-1(y)是X的紧子集.因为{Ux:x∈f-1(y)}是f-1(y)的开复盖,所以{Ux:x∈f-1(y)}有一个有限子复盖{Uxi:i≤n}.令

则U与V是X的互斥开子集.令G=Y-f(X-U),W=Y-f(X-V).既然f是一个完备映射,则G,W∈σ.现在f-1(y)⊂U,由引理3,y∈G.U∩V=∅推得(X-U)∪(X-V)=X-U∩V=X.从而f(X-U)∪f(X-V)=Y.于是W∩G=∅.

为了完成证明,需证明

B-W∈f(I).

令f-1(B)-Vx=Ax,则Ax∈I,f-1(B)⊂Vx∪Ax.

B-W⊂[Y-f(X-V∪A)]-[Y-f(X-V)]=f(X-V)-f(X-V∪A)⊂f((X-V)-(X-V∪A))=

f(V∪A-V)⊂f(A)∈f(I).

所以B-W∈f(I).

因此,Y是f(I)-正则的.

引理6若(X,τ,I)是I-正则的,且Y是X的闭子集,则(Y,τY,IY)是IY-正则的.

证假设y∈Y和F是Y的闭子集使得y∉F,则存在X的闭子集A使得F=A∩Y.既然y∉A,(X,τ,I)是I-正则的,于是存在互斥子集U,V∈τ使得y∈U,A-V∈I.

令I=A-V,则I∈I,A⊂A∪V=(A-V)∪V=I∪V.所以y∈U∩Y∈τY,V∩Y∈τY.

既然F-V∩Y⊂(I∪V)∩Y-V∩Y=(I∩Y)∪(V∩Y)-V∩Y⊂I∩Y∈IY.于是

F-V∩Y∈IY.注意到(U∩Y)∩(V∩Y)=∅.因此(Y,τY,IY)是IY-正则的.

证必要性.对每个α∈Λ,IXα=Iα是显然的.由引理6,Xα是Iα-正则的.

是Xα的闭子集.

显然,存在β∈A使得x∈Xβ.既然x∉F∩Xβ,Xβ是Iβ-正则的,则存在Xβ的互斥开子集U与V使得x∈U,F∩Xβ-V∈Iβ.既然Xβ是X的开闭子集,则U、V和X-Xβ都是X的开子集.显然,Iβ⊂I.令F∩Xβ-V=A,则A∈I.

现在F∩Xβ⊂(F∩Xβ)∪V=(F∩Xβ-V)∪V⊂A∪V,

F=(F∩Xβ)∪[F∩(X-Xβ)]⊂A∪V∪(X-Xβ),

F-V∪(X-Xβ)⊂A∪V∪(X-Xβ)-V∪(X-Xβ)⊂A.

于是F-V∪(X-Xβ)∈I.注意到U与F-V∪(X-Xβ)是X的互斥开子集,则X是I-正则的.

2关于I-正规空间的一些结果

定理3设(X,τ,I)是理想空间,则下列条件等价:

(1)X是I-正规的；

证(1)⟹(2)由文献[15]中定理2.2推得.

(2)⟹(3)是显然的.

(3)⟹(1).假设A与B是X的互斥闭子集.既然A∈X-B,存在X的开子集序列{Un}使得

既然B⊂X-A,存在X的开子集序列{Vn}使得

显然,对每个n∈N,Gn和Hm都是X的开子集.于是G和H都是X的开子集.

断言:对任意的n，m∈N,Gn∩Hm=∅.

为完成证明,需证明A-G∈I,B-H∈I.

则P，Q,K,L∈I.我们将证明A⊂G∪P∪L,B⊂H∪Q∪K.对x∈A,(1)若x∈P∪L,则x∈G∪P∪L.

从而x∈Gm,所以x∈G∪P∪L.

因此,A⊂G∪P∪L.

类似地,可证B⊂H∪Q∪K.

既然

A-G⊂G∪P∪L-G⊂P∪L∈I,B-H⊂H∪Q∪K-H⊂Q∪K∈I，

那么A-G∈I,B-H∈I.

推论1(X,τ,I)是I-正规的,且Y是X的Fσ子集,则(Y,τY,IY)是IY-正规的.

由Qn=cl(Un)-V,可推得cl(Un)⊂Qn∪V.

由定理3、引理1和引理2可得下列推论2.

推论2设(X,τ,I)是一个理想空间,则下列条件等价:

(1)X是I-正规的;

Renukadevi等[15]证明了I-正规空间在同胚映射f下的象是f(I)-正规空间.下列定理4改进了这一结果.

定理4设f:(X,τ,I)→(Y,σ,f(I))是连续的闭映射.若X是I-正规的,则Y是f(I)-正规的.

证假设B1与B2是Y的互斥闭子集.既然f是一个连续映射,则f-1(B1),f-1(B2)是X互斥闭子集因为X是I-正规的,则存在互斥子集U1,U2∈τ使得f-1(B1)-U1∈I,f-1(B2)-U2∈I.令Ai=f-1(Bi)-Ui(i=1,2)则Ai∈I,f-1(Bi)⊂Ai∪Ui(i=1,2).

由引理3,Bi⊂Y-f(X-Ai∪Ui)(i=1,2).

既然

Bi-[Y-f(X-Ui)]⊂[Y-f(X-Ai∪Ui)]-[Y-f(X-Ui)]=

f(X-Ui)-f(X-Ai∪Ui)⊂f((X-Ui)-(X-Ai∪Ui))=f(Ai∪Ui-Ui)⊂f(Ai)∈f(I)(i=1,2),

则X.既然f是一个闭映射,则Y-f(X-U1)与Y-f(X-U2)是Y的互斥开子集.所以Y是f(I)-正规的.

证必要性.由推论1可得.

令

既然每个Xa是X的开子集,则U与V是X的开子集.

既然A∩Xa-U⊂A∩Xa-Uα，则A∩Xa-U∈Ia,于是

B-V∈I的证明是类似的.

因此X是I-正规的.

引理7设(X,τ,I)是一个理想空间.若X是一个Hausdorff空间,x∉K且K是X的I-紧子集,则存在X的互斥开子集U与V使得x∈U,K-V∈I.

令

则U与V是X的互斥子集使得x∈U,K-V∈I.

定理6设(X,τ,I)是一个理想空间.若X是一个Hausdorff空间,A与B是X的互斥I-紧子集,则存在X的互斥开子集U与V使得A-U∈I,B-V∈I.

推论3若(X,τ,I)是I-紧、Hausdorff空间,则(X,τ,I)是I-正规的.

定理7若X是一个I-正则空间,则对任意X的I-紧子集A和A的开邻或U,存在X的开子集V使得A-V∈I,cl(V)-U∈I.

下列推论4改进了文献[15]中的推论2.10.

推论4若(X,τ,I)是I-紧、I-正则空间, 则(X,τ,I)是I-正规的.

参考文献：

[1]KURATOWSKI K. Topology [M]. New York: Academic Press, 1966.

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(编辑CXM)

DOI:10.7612/j.issn.1000-2537.2016.04.011

收稿日期：2015-08-26

基金项目：国家自然科学基金项目(11461005)

*通讯作者,E-mail：lixiaomin8846@126.com

中图分类号O189.1

文献标识码A

文章编号1000-2537(2016)04-0066-06

A Note onI-Regular Spaces andI-Normal Spaces

LIXiao-min*

(Shijiazhuang Institute of Technology, Shijiazhuang 050228, China)

AbstractIntroducing ideal structures in topological spaces forms an ideal topological space. An ideal topological space reflects the integration of topological structures and ideal structures, and then is a kind of important topological space. Researching on it has important theoretical value. Map theorem and topological sum theorem on I-regular (resp. I-normal) spaces are given respectively. Some characterizations of I-normal spaces are obtained. Moreover, the relationship among I-regular, I-normal and I-compact spaces are discussed.

Key wordsideal spaces; I-regular spaces; I-normal spaces; I-compact spaces; maps; topological sums