一类三阶有理差分方程组的解

杨　倩， 董玲珍， 李丽丽

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)



一类三阶有理差分方程组的解

杨倩， 董玲珍， 李丽丽

(太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)

摘要:对一类特殊的三阶有理差分方程组的解进行了研究. 首先， 给出了这一类有理差分方程组具有非零初值的公式解， 并且针对其中几个结果， 运用数学归纳法给出了严格的数学证明. 公式解的给出有助于讨论该方程组的性态. 进一步， 基于所得到的公式解， 分析了这些解的周期性与反周期性， 得到了方程组存在周期解与反周期解的充要条件.

关键词:有理差分方程; 公式解; 周期解; 反周期解

差分方程在生物、 经济、 物理等领域中广泛应用， 人们在研究差分方程的过程中发现， 与线性差分方程相比， 非线性差分方程呈现出一些新的动态特征. 显然， 若能得到非线性差分方程的公式解将极大地方便差分方程动力学行为的研究， 但是， 对于一个一般的非线性差分方程， 难以得到其公式解. 目前， 这一问题的研究集中于对一些特殊的有理差分方程的讨论. 同时， 考虑到周期现象与反周期现象在自然界普遍存在， 例如， 在一些生态模型中， 周期解反映了种群数量的周期性变化规律， 周期和反周期现象也存在于神经网络模型和物理模型中. 因此， 研究差分方程的公式解形式以及其周期解和反周期解具有极高的理论价值与应用价值.

关于有理差分方程的研究， 已经积累了丰富的研究成果. 文献[1]中， 作者曾对一类三阶有理差分方程组的公式解及其解的周期性进行了讨论. 文献[2]研究了一类高阶有理差分方程正解的性质; 文献[3]讨论了一阶递推序列的解的全局渐近稳定性； 文献[4-5]得到了一类二阶有理差分方程组的公式解和正解的性质； 文献[6]研究了四阶有理差分方程组的公式解及其解的周期性. 文献[7]讨论了高阶差分方程组正解的性质. 文献[8]研究了高阶有理差分方程组的正解的周期性. 文献[9-10]分别研究了差分方程组的公式解和解的周期性.

本文将考虑如下三阶有理差分方程组

(1)

解的形式及其周期解与反周期解存在的充要条件， 其中λ≠0为常数， 初值x-2，x-1，x0，y-2，y-1，y0为非零实数.

1公式解

将方程组(1)中的正负号进行不同的组合， 并考虑到λ的任意性， 仅需讨论如下8种不同的方程组， 本节将给出这几个方程组的公式解.

首先， 考虑方程组

(2)

式中：n∈N0，N0为非负整数集. 为讨论方便，本文中特记初值

定理 1假设(xn， yn)是方程组(2)的解， 其中af≠-λ， cd≠-λ， 则当n=0， 1， 2， …， 该方程组的解可表示为

显然， 当n=0时有结论成立. 假设n=k-1时， 结论成立， 即

这样， 当n=k时， 有

同法可证其它等式也成立. 从而， 对任意的n∈N0， 均有定理结论成立.

用同样的证明方法可知以下结论成立.

定理 2假设(xn,yn)是方程组

(3)

的解， 其中af≠λ，cd≠-λ， 则当n=0，1，2，…， 该方程组的解可表示为

定理 3假设(xn，yn)是方程组

(4)

定理 4假设(xn，yn)是方程组

(5)

定理 5假设(xn，yn)是方程组

(6)

的解， 其中af≠λ，cd≠λ， 则当n=0,1,2,…， 该方程组的解可表示为

证明显然， 当n=0时有结论成立； 假设n=k-1时， 结论成立， 即

这样， 当n=k时， 有

同法可证其它等式也成立. 从而， 对任意的n∈N0， 均有定理结论成立.

用同样的方法可以证明以下结论成立.

定理 6假设(xn，yn)是方程组

(7)

的解， 其中af≠-λ，cd≠λ， 则当n=0,1,2,…， 该方程组的解可表示为

定理 7假设(xn，yn)是方程组

(8)

定理 8假设(xn，yn)是方程组

(9)

2周期解与反周期解

本节主要研究方程组(3)和(6)的解的周期性.

定义 1设序列{Xn}(n∈N0)是某一方程组的解， 若存在一个非零常数T， 使得对任意的n都有Xn+T=-Xn成立， 则称该方程组具有周期为T的反周期解.

定理 9方程组(3)存在周期为4的反周期解当且仅当af=-cd， 并且该反周期解的形式为

证明首先来证必要性. 假设方程组(3)存在周期为4的反周期解(xn，yn)， 由定义1可得

从而有af=-cd.其次， 当af=-cd时， 由于上面每步可逆， 故充分性得证. 显然， 该反周期解可表示为

推论 1方程组(3)具有周期为8的周期解[1].

定理 10方程组(6)存在周期为4的周期解[1]当且仅当af=cd， 该周期解[1]的形式为

证明同定理9， 故不赘述.

参考文献：

[1]Elsayed E M, El-Metwally H. On the solutions of some nonlinear systems of difference equations[J]. Advances in Difference Equations, 2013(1)：179-201.

[3]Clark D， Kulenovic M R S. A coupled system of rational difference equations[J]. Computers and Mathematics with Applications， 2002， 43(6-7)：849-867.

[5]Elsayed E M. Solutions of rational difference systems of order two [J]. Mathematical and Computer Modelling， 2012， 55(3-4)：378-384.

[6]Touafek N， Elsayed E M. On the solutions of systems of rational difference equations[J]. Mathematical and Computer Modelling， 2012， 55(7-8)：1987-1997.

[9]Touafek N， Elsayed E M. On the periodicity of some systems of nonlinear difference equations[J]. Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie， 2012， 55(103)：217-224.

[10]Fotiades N， Papaschinopoulos G. On a system of difference equations with maximum[J]. Applied Mathematics and Computation， 2013， 221：684-690.

文章编号：1673-3193(2016)04-0350-06

收稿日期：2015-03-21

基金项目：教育部科学技术研究重点项目(210030)； 山西省自然科学基金资助项目(2013011002-3)

作者简介：杨倩(1987-)， 女， 硕士， 主要从事差分与微分方程的理论及其应用研究.

通信作者：董玲珍(1970-)， 女，教授， 主要从事差分与微分方程理论及应用研究.

中图分类号:O175.7

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.04.006

Solutions of a Kind of Rational Difference Equations with Order Three

YANG Qian， DONG Ling-zhen， LI Li-li

(College of Mathematics， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China)

Abstract:The solutions of a kind of rational difference equations with order three were considered. Firstly， the formulas solutions for such a system with nonzero initial values were obtained， and the proofs were completed with mathematical induction. Formulas solutions were contribute to discuss the equations. Further， based on the formulas solutions， the necessary and sufficient conditions were obtained， which guaranteed the existence of periodic solutions and anti-periodic solutions.

Key words:rational difference equations; formulas solutions; periodic solution; anti-periodic solution