Franck-Hertz实验的统计模拟

董　键

(曲阜师范大学 物理工程学院，山东 曲阜 273165)



Franck-Hertz实验的统计模拟

董键

(曲阜师范大学 物理工程学院，山东 曲阜 273165)

摘要：传统上，Franck-Hertz实验曲线的振荡特征被解释成电子与原子碰撞时能量量子化转移的证据，峰间距被解释成原子的激发能. 实际上，电子对原子有各种激发，电子有各种能量损失，而栅极G2对电子的直接吸收严重影响曲线形状，板极电流是单位时间内所接收的电子数的反映. 对汞管的模拟计算表明，若赋予栅极G2对电子直接吸收概率，将电子对原子的激发也用概率来描写，绕过电子与原子的碰撞以及电子与电极相互作用的细节，用统计方法可以成功地导出汞管的F-H实验曲线，并能反映实验的主要特征.

关键词：Franck-Hertz实验； 栅极吸收概率； 碰撞激发概率； 统计模拟

100年前，J.Franck和G.Hertz改进了气体放电装置，发明了F-H管，发现了F-H曲线[1]，N.Bohr首先将此振荡特征解释为电子与原子碰撞过程中能量量子化转移的证据[2]，原子物理课程和物理实验都基本沿用了Bohr的解释[3-5]. 该解释的实质是认为单电子过程的能量守恒定律可以反映在F-H曲线上. 然而，F-H实验是众多物理过程作用的综合结果[6-7]，F-H曲线是统计曲线，与单粒子的运动过程和单粒子的性质没有直接关系，从该曲线上很难得到原子或电子的准确信息. 从实际效果来看，F-H实验为电子轰击原子使之激发或者电离提供了条件，是改变原子状态的有效手段.

为了阐明F-H曲线的统计性质，也为了更好地分析F-H管内所发生的物理过程，本文提出了电子运动的简化模型，该模型将栅极G2对电子的直接吸收作用考虑进来，并赋予吸收概率，对电子与原子的碰撞激发也用概率来描写，绕开了电子与原子碰撞，以及电子与电极之间相互作用的复杂细节，完全用统计方法模拟导出F-H曲线.

1被忽视的栅极G2对电子的直接吸收

F-H实验的一种电路构型如图1所示，用该电路测量Hg原子的第一激发曲线. 实验所用F-H管为双栅柱面四极型充Hg管，其工作过程是：灯丝F烘烤阴极K发射热电子，电压UG1K控制从栅极G1通过的电子数量，栅极G1-G2之间是漂移区，电子被加速获得能量，同时也与原子碰撞，原子可能被激发，一些越过G2的电子进入G2-P之间的反射区，动能减少，最后一些电子到达板极P，形成板极电流IP. 通过改变加速电压UG2G1，可得到振荡的IP曲线. 本文将以图1为蓝本进行探讨[8].

图1　F-H实验的一种电路

栅极对电子可以直接吸收，亦即在到达栅极G2的电子中，除了能量低而不能越过反射区的电子一定要被G2吸收外，还有一部分能量高可以通过反射区的电子也被G2吸收了. G2对电子的直接吸收对F-H曲线的形成至关重要，因为阴极发射的电流IK最终要被G1,G2以及P所吸收，形成第一栅极电流IG1、第二栅极电流IG2和板极电流IP，由电荷守恒关系有：

IK=IG1+IG2+IP.

(1)

在灯丝电压UF和控制电压UG1K不变的情况下，IK近似为一定值，因此，IP与其他2项存在着竞争关系，要解释IP随加速电压UG2G1的变化，从分析IG1和IG2的变化入手，是一个可能的途径. 在UG1K确定的情况下，G1的吸收电流IG1也近似为定值，因此，IG2与IP形成直接的竞争关系.

2F-H管内电子-原子碰撞模型和G2吸收模型

鉴于在确定的实验条件下G1的吸收电流IG1近似为定值，模拟计算中假设单位时间内通过G1进入漂移区G1-G2的电子数为n1，统计越过反射区G2-P到达P的电子数为k，归一化的板极电流定义为

(2)

以下是针对充Hg的F-H管所设计的电子运动模型.

1)Hg原子的基态是61S0，63P0,63P1和63P2是3个最低的激发态，激发能分别为4.67,4.89，5.46 eV. 假设Hg原子只有最低的3个激发态可能被激发，不考虑更高能级的激发和电离.

2)电子与Hg原子碰撞，原子被激发的概率与电子能量E有关[9]，鉴于此结果对Hg原子激发概率做出简化设定，见图2，其意义分述如下：

图2　Hg原子不同状态被激发的概率模型

E<4.67eV时，Hg原子的3个状态都不能激发，激发概率都是0；

4.67 eV≤E<4.89 eV时，只有63P0可能被激发，激发概率保持为p1，而且该状态在其他高能量段被激发的概率也保持为p1；

4.89 eV≤E<5.46 eV时，63P0和63P1都有可能被激发，63P1的激发概率保持为p2；

E≥5.46 eV，3种状态都能被激发，其中63P1和63P2的激发概率均保持为p3.

当电子能量满足多个能级的激发时，激发将在各个能级间竞争，假定竞争平等，当1个原子获得被激发的机会后，激发概率用以上3个概率值描写，而在模拟计算时则采取相对值，具体取值只能试探设定，以定性说明实验事实为宜.

3)在G1和P之间，由随机数发生器产生n2个均匀分布的随机数，作为电子与原子碰撞的位置，排列在G1-P之间的直线上，每个电子都经过n2个不同位置的碰撞，图3所示是这些碰撞位置示意图.n2的值可以参考实验温度下电子平均自由程和各个电极之间的距离而定，例如在通常实验温度范围内n2=10～30比较接近实际情况. 只考虑电子的碰撞位置，从模拟技术上绕过电子运动的复杂路径，将电子与原子碰撞的细节“压缩”到n2中.

图3　电子与原子碰撞位置分布示意图

4)G2对到达的电子有直接吸收，这种吸收作用对各种能量的电子都存在. 吸收概率与电子能量和加速电压有关：电子能量E越小，被吸收的概率越大；加速电压UG2G1影响电子运动的轨迹，进而影响到电子被吸收的概率，当加速电压较低时，电子轨迹横向波动较大，撞到金属丝上的机会就多；当加速电压较高时，电子轨迹横向波动减小，径直穿过缝隙的机会增大.

由以上分析，可设电子被G2吸收的概率为

p=exp [-φ1(E)-φ2(UG2G1)],

(3)

函数φ1和φ2很难测量，只能做合理的假设.

5)G1-P间的电位分布按3个互相嵌套的长直金属圆筒间的电位分布近似处理，分布式为

(4)

其中，r1=r0+d1，r2=r1+d2，r3=r2+d3，r0是阴极半径，取1 mm.

6)从阴极发出的电子初动能分布范围很小，由于部分电子被G1吸收，改变了热电子的能量分布，经过G1之后的能量分布只能近似地假设，例如假设电子的能量分布密度为指数形式

f(E)=λe-λE,

(5)

其中λ为分布参量，电子的平均动能为1/λ，可以取零点几eV.

7)模拟计算中不计光电流、离子流的贡献，也不计电子在弹性碰撞中的能量损失和各电极之间空间电荷的影响.

3导出F-H曲线

按照上述模型对电子在G1-P之间的运动过程进行了计算机模拟，目标是获得F-H曲线. 模拟中采用的具体参量和函数为：λ=1.5 eV-1，p1=0.5，p2=0.6，p3=0.7，φ1(E)=0.03E，φ2(U)=0.003U2，UG2P=4 V，n1=105，n2=20.

模拟结果见图4，再现了F-H曲线的主要特征，说明模型合理，抓住了F-H管内电子运动的主要方面. 由模拟过程可知：曲线的顶部轮廓特征主要是由于栅极G2对电子的概率吸收特性所致，若改变G2对电子的吸收概率，则顶部轮廓将敏感地随之而变；而底部轮廓特征将在后面加以讨论，并揭示模拟曲线的其他特征，进一步阐释该模型所蕴含的物理意义.

图4　Hg管的F-H模拟曲线

4F-H曲线特征与F-H管内物理过程分析

4.1F-H曲线的峰间距

实验发现，F-H曲线的峰间距随加速电压的增大而不断增大，模型能够导出峰间距分布的这一规律. 由于模拟的F-H曲线峰点附近各个点的高度有起伏，因此，峰点位置不好唯一确定，在峰点附近进行多项式拟合，取多项式的极大值点作为F-H曲线的峰点. 在前文所取参量条件下，寻找各个峰点，然后计算相邻两峰点的水平位置之差ΔUpp，按差值的编号n对这些差值作图，见图5. 图中曲线虽然有起伏，但总的趋势是增大的，在具体数值上比文献[8]所测量的峰间距偏高. 由此断言，F-H曲线的振荡性的确是由于原子分立的状态被激发所造成，但曲线峰间距并不对应某个状态的激发能，它是原子多能级激发的统计结果.

图5　模拟Hg管的F-H曲线峰间距分布

图6是图4的起始放大段，可以看出前几个谷的形状关于极小值位置不对称，极小值位置偏左，第一个谷比较平坦，后面的谷逐步尖锐，此特征与模拟参量关系不敏感，可以作为实验检验的标志之一，尤其是反射电压稍高时.

图6　模拟Hg管F-H曲线的起始段特征

4.2F-H曲线的温度效应

在F-H实验中，温度对F-H曲线影响很大.在充Hg的F-H管中，温度首先影响了Hg蒸气的浓度，进而影响到电子与原子的碰撞频率和激发类型. 在本文模型中，温度效应可以用n2来表示，温度升高，n2增大. 保持其他参量不变，使n2依次增大，模拟出每种情况下的F-H曲线，见图7，曲线与实验测量结果非常相似[10].

图7　模拟Hg管F-H曲线的温度效应

4.3F-H管内电子的能谱

应用本模型，可以计算G1-P之间任何横截面上电子的能量分布. 作为对比，选择了6个加速电压，计算了电子在G2处和P处的能量分布，分别见图8和图9，其中每张图的每一行左侧的图对应峰点能谱，右侧的图对应相邻右侧谷点的能谱. 可以看出：1)能谱呈现多峰分布而不是类似玻尔兹曼分布的单峰分布[8,11]；2)随着加速电压的增大，能谱向着高能方向延伸，高能谱峰数量逐渐增加；3)P处和G2处的能谱不相似，P处能谱不仅更向低能方向集中，而且谱峰的结构也没有G2处清晰，这是电子在G2-P之间存在非弹性碰撞所致. 谱峰的这些特点，尤其是G2处的能谱分布，表明有较多的电子此前已经具备了使Hg原子高激发甚至电离的能量，因此，在测量Hg原子“第一激发曲线”的实验条件下，F-H管内一定存在着高激发和电离的碰撞.

图8　不同加速电压下G2处电子能谱

图9　不同加速电压下P处电子能谱

4.4F-H管内原子激发位置的统计分布

在某个加速电压下，可以统计Hg原子不同状态的激发位置，图10是在6个不同的加速电压下模拟的Hg原子63P1态的激发位置分布曲线. 由图10可以看出:激发位置连续分布，而且呈现多峰，这些峰的位置对应电子获得的能量满足使63P1态产生新一轮的激发；在加速电压比较大时，峰不明显，激发位置几乎均匀分布在G1-G2之间，而在G2-P之间激发的数量下降. 其他状态的激发位置分布与此类似，只是峰位有所移动. 可以推想，Hg原子更高能级的激发分布也呈现此特点，这就解释了实验中F-H管内呈现出多个光圈的现象[12-13]，当加速电压较高时，管子将呈现通体发光.

图10　Hg原子63P1态的激发位置分布

激发位置的这种分布，否定了用平均自由程观点来规定“激发层”概念的有效性[14]，当加速电压满足使Hg原子进行最低激发后，任何位置都可能出现原子被激发，无法根据加速电压满足某个激发能量的整数倍关系来推测原子激发数量，而是与IP峰的形成拉上关系；在多个能级被激发的情况下，关系更加复杂，各个能级存在竞争关系，无法单独规定某个能级的“激发层”.

4.5越过G2且能量大于eUG2P的电子数

本模型能使我们洞悉F-H管内更多的通常被忽略的细节，例如，可以统计越过G2且能量大于eUG2P的电子数k2. 电子传统上被认为可以通过反射区而到达P，如果没有减损，将直接决定了IP，因此，将这样的电子数与IP比较，可以看出由于在反射区碰撞导致原子激发而有多少电子不能到达P，模拟结果见图11. 可见，k2/n1也呈现振荡状态；IP比k2/n1低，这说明电子在反射区对原子的激发不能忽略，尤其是在加速电压较高时.

图11　越过G2且能量大于eUG2P的电子数分布

从图11还可发现，IP与k2/n1有相位差别：在起始段，电子到达G2时能量较低，在反射区激发原子的次数很少，二者差别不大；随着加速电压升高，进入反射区的高能量电子(E>4.67 eV的电子，下同)越来越多，激发原子的次数也越来越多，在导致IP下降的同时，也造成了相位的差别，而且随着加速电压的升高，二者的相位差越来越大，造成k2/n1的峰间距增大得比IP峰间距增大得还要快. 由此可见：IP峰间距的不断增大，与k2/n1峰间距的不断增大和电子在反射区内激发原子造成到达P的电子数减少有关.

4.6板极电流IP中高能量电子的贡献

模拟程序可以统计越过G2后高能量电子数k3，这些电子有可能使反射区的原子激发. 可以将k3/n1与IP同时作图，结果见图12，可见，k3/n1也是振荡上升的，且与IP有高度相关性，二者之间有基本固定的相位差. 因此，IP不能笼统地说是由过G2时能量E>eUG2P的电子形成，更多地是由高能量电子所贡献，尤其要注意比较2条曲线的谷点高度，很明显，F-H曲线的“本底电流”，其实大部分来自这些高能量电子的贡献，它不能轻易地减掉，留下纯粹的振荡峰是毫无意义的[15]. 这么多电子达到G2时还具备较高的能量，表明此前的碰撞中这些电子并没有按照通常的理解一旦能量达到某个激发态能量，就很快将能量损失掉. 其原因是：当电子获得的累积能量足够完成多次原子激发时，由于每次碰撞激发有一定的概率，不同的激发事件互相独立，完成所有可能激发的概率是每次激发概率的乘积，总的概率就很小，电子就会剩余较多能量.

图12　IP与通过G2的高能量电子数比较

5结束语

F-H曲线的统计性质来自于这样的事实：原子有多个能级参与激发，电子能量的损失是各种各样的，并非只损失单一的数值；每一时刻，板极所接收的电子带有各种能量，并非只有一种能量；板极电流IP只是电子数量的统计，与能量没有直接关系，按能量解释该曲线有些牵强. 据此反思，F-H实验的解释过程存在疑点，需要在研读原著和历史资料的基础上加以辨别[1-2,16-17].

致谢:本文在成稿过程中得到中国科学技术大学霍剑青教授热情鼓励，中国科学院物理研究所梁会力博士在文献上给予了大力支持，在此一并致衷心的感谢！

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[责任编辑：任德香]

收稿日期：2016-01-03；修改日期：2016-05-14

作者简介：董键(1962-)，男，山东微山人，曲阜师范大学物理工程学院讲师，硕士，从事实验、计算和教育研究.

中图分类号：O562

文献标识码：A

文章编号：1005-4642(2016)07-0006-06

Statistical simulation of Franck-Hertz experiment

DONG Jian

(College of Physics and Engineering, Qufu Normal University, Qufu 273165, China)

Abstract:Traditionally, the oscillation characteristics of Franck-Hertz experiment is interpreted as an evidence of quantum energy transfer from electrons to atoms when they collide, the peak spacing is interpreted as the excitation energy of the atom. In fact, there are many kinds of excitation induced by electrons. The energy loss of the electron, and the grid G2 also had serious impacts on the shape of the curve due to its direct absorption of the electrons. The anode current was not a direct reflection of the electron energy, but the reflection of the number of electrons received in unit time. Simulation on mercury tube showed that if assign directly an electron absorption probability to the grid G2, and using a probability to describe the electron excitation of atoms, so as to bypassing the details of collisions between electrons and atoms, and the interaction of electrons with the electrode, the Franck-Hertz curve could be successfully obtained using statistical methods, and the main features of the experiment was reflected.

Key words:Franck-Hertz experiment; grid absorption probability; impacting excitation probability; statistical simulation