元件相依的串、并联系统的剩余寿命及休止时间

方　睿，沈国安

(1.汕头大学理学院，广东汕头515063；2.厦门大学数学科学学院,福建厦门361005)



元件相依的串、并联系统的剩余寿命及休止时间

方睿1*，沈国安2

(1.汕头大学理学院，广东汕头515063；2.厦门大学数学科学学院,福建厦门361005)

摘要：应用阿基米德copula刻画随机变量间的相依性结构,对于由两个元件组成的并联系统,比较了由旧元件组成的新系统的寿命与旧系统的剩余寿命的随机大小,得到了似然比序存在的充分条件.对于由两个元件组成的并(串)联系统,比较了新元件组成的系统的休止时间与在给定两相似元件已损坏条件下系统休止时间的最大(最小)值之间的随机大小,得到了失效率序、似然比序存在的充分条件，也给出几个数值例子进一步说明得到的主要结论.

关键词：休止时间;剩余寿命;似然比序;失效率序;阿基米德copula

串联和并联系统作为可靠性理论中的两个最基本也最重要的系统,在过去的几十年间受到相当的关注并已得到深入的研究.通常来说,串联系统正常运行当且仅当该系统的每个元件都正常工作,而并联系统正常运行当且仅当至少有一个元件正常运行.协同系统是一种更一般的系统,包含串联和并联系统.有关协同系统可参见文献[1-2].

在可靠性理论中,比较旧协同系统的寿命与由旧元件组成的协同系统的剩余寿命(休止时间、系统可靠性等)的随机大小具有理论和实际指导意义,是一个重要的问题.具体地,对于任意时刻t≥0,旧协同系统在该时刻的剩余寿命和休止时间可以分别表示为[T(X)-t|T(X)>t]和[t-T(X)|T(X)≤t];由旧元件组成的协同系统在该时刻的剩余寿命可以表示为[(X1-t,…,Xn-t)|X1>t,…,Xn>t];而在给定元件均已失效的条件下,元件的休止时间向量可以表示为[(t-X1,…,t-Xn)|X1≤t,…,Xn≤t].在独立假定下的研究可参阅文献[3-6].事实上,在许多实际场景中独立性的假设常常不能满足,如处于同一工作环境中的各元件寿命间通常会存在一定的相依性.有关相依元件系统的研究结果不多,可参阅文献[7-10].在比较一般的相依性结构下,Gupta等[10]研究了元件寿命相依且同分布的两个协同系统剩余寿命及休止时间的随机大小.然而,元件同分布的假设实际中很少满足,同时其所给出的充要条件过于复杂,导致实际应用时即使在系统结构很简单的情况下也很难验证.为了部分克服这一缺陷,在系统具有阿基米德copula相依结构的场景中,考虑双元件的串、并联系统,比较了两个寿命同分布的旧元件构成的并联系统的剩余寿命与由相似新元件组成的并联系统的剩余寿命之间的随机大小;对于元件寿命不同分布的情景,比较了在给定元件都失效的条件下,元件休止时间的最大(最小)值与由相似新元件组成的并(串)联系统的休止时间之间的随机大小.这里“相似”表示元件寿命的联合分布函数相同.

1基本概念

首先回顾几个重要的概念,包括失效率序、似然比序、copula和阿基米德copula的定义.

2) 如果g(x)/f(x)关于x单调增加,则称X以似然比序小于Y(记为X≤lrY).

有关更多其他随机序可参阅文献[11-12].

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2)),

则称C为X的copula.copula刻画了随机变量间的相依性结构,在过去的几十年里受到广泛的关注.在众多copula族类中,阿基米德copula族具有良好的数学性质,在理论分析与统计拟合方面均具有相当的优势,而且能够刻画很大一部分相依性结构,因此近年来在金融经济、精算保险和统计分析等领域有广泛的应用.

表1　一些常用的阿基米德copula

Tab.1　Some commonly-used Archimedean copulas

名称生成元ψ参数copulaIndependencee-t无C1(u1,u2)=u1u2Clayton(θt+1)-1/θθ>-1C2(u1,u2)=(max{u-θ1+u-θ2-1,0})-1/θAMH1-θet-θθ∈[-1,1)C4(u1,u2)=u1u21-θ(1-u2)(1-u1)

Cψ(u1,u2)=ψ(ψ-1(u1)+ψ-1(u2)),

对任意的(u1,u2)∈[0,1]2,

(1)

阿基米德copula族包含许多copula子族,表1列出了3个常用的阿基米德copula：Independence,Clayton,AMH.更多有关阿基米德copula的研究可参阅文献[13-14].

为方便起见,文中约定如下:随机变量均为非负绝对连续随机变量,递增(减)性都是非严格意义下的单调性.

2主要结论

考虑寿命为X和Y的两个元件,在时刻t>0,这两个元件组成的并联系统与串联系统的剩余寿命分别表示为

(max{X,Y})t=

和

(min{X,Y})t=

对应的休止时间分别为

(max{X,Y})t=

以及

(min{X,Y})t=

由已经工作t时间的旧元件组成的并联与串联系统的寿命分别为

类似的,在给定元件在t时刻已经损坏的条件下,元件休止时间的最大、最小值分别为

容易看出无论X与Y具有何种相依性结构,串联系统的剩余寿命与旧元件组成的串联系统的寿命随机相等.此外,对任意的x≥0,

P((max{X,Y})t≤x)=

(2)

2.1元件寿命同分布

考虑寿命同分布的元件组成的串、并联系统.假定随机向量(X,Y)的阿基米德copula为Cψ,边际分布函数为F以及边际密度函数为f，则(X,Y)的联合分布函数可表示为

P(X≤x,Y≤y)=ψ(φ(F(x))+φ(F(y))).

定理1给出了并联系统的剩余寿命以似然比序小于旧元件组成的并联系统的寿命的一个充分条件.

定理1如果ψ′是单调递增函数且ln(-ψ′)为凸函数,那么对任意的t≥0,

Y>t].

f1(x)=

与

于是

令

只需证明M1(x)关于x递减.

由ψ的单调性可知φ(F(t+x))关于x单调递减.对任意的x1≤x2,由ln(-ψ′)的凸性和ψ′的单调递增性质可以得到

log(-ψ′(φ(F(t+x1))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x1))+φ(F(t+x1))))≥

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t+x1))))≥

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t+x2)))).

因此

M1(x)=exp{log(-ψ′(φ(F(t+x))+

φ(F(t))))-log(-ψ′(2φ(F(t+x))))}

关于x单调递减.于是f2(x)/f1(x)关于x单调递增,结论成立.

容易验证,表1中列出的Independence copula、Clayton copula(当参数θ>0)、AMH copula(当参数θ∈[0,1))都满足定理1中关于copula的条件.同时需要指出的是,当X,Y相互独立时,定理1结论中的等号不一定成立.当t=0时,不等号左右两边退化为同一个随机变量,此时等号成立.

定理2比较了在给定元件均已失效的条件下,元件休止时间的最小(最大)值与由相似元件构成的串(并)联系统的休止时间的随机大小,得到了似然比序存在的一个充分条件.

定理2如果ψ′是单调递增函数且ln(-ψ′)是凹函数,则对任意的t≥0,

X≤t,Y≤t],

及

X≤t,Y≤t].

(3)

与

f4(x)=

于是

M2(x)-1.

由ln(-ψ′)的凹性和ψ′的单调递增性质,采用定理1证明中的方法,可以证明M2(x)关于x递增,即f4(x)/f3(x)关于x的递增.

(ii) 对x≥0,(min{X,Y})t的密度函数为

令

注意到ln(-ψ′)为凹函数且ψ′为单调递增函数,采用定理1证明中的类似方法,可以证明M3(x)关于x单调递增,故结论成立.

不难验证,表1中的Independence copula、Clayton copula(当参数θ∈(-1,0))、AMH copula(当参数θ∈[-1,0))满足定理2中对copula结构的条件.此外,与定理1 类似,当X,Y相互独立时,定理2结论中的等号不一定成立.对于t→∞的情形,不等号左右两边退化为同一个随机变量,此时等号成立.在本小节的最后给出一个数值例子,表明定理2的结论在条件不满足的情形下可能依然成立.

图1　密度函数比值曲线Fig.1Curves of the ratio of density functions

2.2元件寿命不同分布

前文已经研究了元件寿命同分布的情形,但在实际应用中,系统元件寿命具有不同分布的情形更为常见.本小节将考虑元件寿命不同分布的场景,比较了在给定元件均已失效的条件下,元件休止时间的最大(最小)值与相似元件组成的并(串)联系统休止时间的随机大小,得到了失效率序存在的充分条件.具体的,假设两个元件寿命X和Y的分布函数分别为F1与F2,(X,Y)具有阿基米德copula(记为Cψ),则(X,Y)的联合分布函数可表示为

P(X≤x,Y≤y)=

ψ(φ(F1(x))+φ(F2(y))).

定理3如果lnψ为凹函数,则对任意的t≥0,有

X≤t,Y≤t],

及

Y≤t].

(ψ(φ(F1(t-x))+φ(F2(t)))+ψ(φ(F1(t))+

φ(F2(t-x))))·(ψ(φ(F1(t-x))+

φ(F2(t-x))))-1-1=M4(x)+M5(x)-1,

(4)

其中

注意到ψ为对数凹函数,采用定理1证明中的思路,可以证明M4(x)和M5(x)都关于x单调递增.故式(4)为关于x的增函数.

(ii) 采用(i)中的证明思路即可证明

经过简单计算可以发现,表1中的Independence copula、Clayton copula(当参数θ∈(-1,0))、AMH copula(当参数θ∈[-1,0))都满足定理3中对copula结构的条件要求.下面例子指出定理3中关于失效率序的结论在条件不满足的某些场景中依然成立,即定理3的条件不是必要的.

例2假定X和Y分别服从参数λ为2和3的指数分布,均具有生成元为ψ(z)=(zθ+1)-1/θ的Clayton copula(见表1).显然当θ∈[0,∞)时,ψ(z)是对数凸函数,因而不满足定理3中的条件.令θ=2和t=2.容易发现在t=2休止时间的支撑集为区间[0,2].

图2　生存函数比值曲线Fig.2Curves of the ratio of survival functions

从图2可以看出,两条生存函数的曲线在x∈[0,2]上都是单调递增的.所以定理3的结论仍然成立.

3结论

注意到文献[15]指出,对于一个二维阿基米德copulaCψ,ln(-ψ′)的凸性等价于Cψ是CI的(一个n维随机向量X=(X1,…,Xn)是条件递增，记为CI),而CI是一种正相依性结构的刻画.由ln(-ψ′)为凹函数可知lnψ为凹函数,类似于文献[16-17]中的方法,容易发现lnψ的凹性可推出Cψ的LTI性质[2](一个二元随机向量(X,Y)具有左尾递增性，记为LTI),而LTI是一种负相依性的刻画.

本研究的多数结果都是在元件寿命具有负相依性场景下得到的,文献[18]给出了一些实际应用中具有负相依结构的场景.比如：1) 当一个电闸失效而未能启动时,其控制的下游电路即被切断,电路中的电子设备所承受的负载随即消失,它们失效的概率就会降低;2) 当一个系统因某个特定元件进行维修而停机,施加在其他元件上的负荷通常也会被去除,从而这些元件失效的可能性在系统维修期间也会相应降低.除了负相依性外,正相依性在可靠性领域实际应用中也颇为常见.比如,当几个元件共同承担一定工作负荷时,其中一个元件的失效会加重剩余元件的工作负荷,从而导致这些元件失效的可能性增加.更多有关正相依性在实际场景中的例子可参考文献[18].关于正相依性结构场景的研究结论不多,而从数值例子中可以发现,在负相依场景中所得到随机比较结果很可能在正相依场景中依然成立,进一步的研究具有重要的理论和实际意义.

致谢对李效虎教授在论文撰写过程中提供的宝贵修改意见表示衷心的感谢.

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doi：10.6043/j.issn.0438-0479.201412035

收稿日期：2015-05-26录用日期：2016-06-06

基金项目：国家自然科学基金(11171278)；汕头大学科研启动基金(NTF15002)；汕头大学青年科研基金(YR15002)

*通信作者：xmufr1987@hotmail.com

中图分类号:O 211

文献标志码：A

文章编号：0438-0479(2016)04-0558-06

Stochastic Comparisons on Inactivity Times and Residual Lifetimes of Series and Parallel Systems with Dependent Components

FANG Rui1*，SHEN Guoan2

(1.College of Science,Shantou University,Shantou 515063,China;2.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

Abstract:In this paper,we employ the Archimedean copula to characterize the dependence structure between random variables.For two-unit parallel systems,we compare the lifetime of a parallel system composed of two used units with the residual lifetime of the parallel system composed of a similar pair of new units,and obtain a sufficient condition for the existence of likelihood ratio order.as for two-unit series (parallel) systems,we compare the inactivity time of a series (parallel) system with two new unitsand the minimum (maximum) of a similar pair of units′ inactivity time given that both units have failed,and obtain several sufficient conditions for the existence of hazard rate order and likelihood ratio order.Several numerical examples are also presented to illustrate the main results.

Key words:inactivity time;residual lifetime;likelihood ratio order;hazard rate order;Archimedean copula

引文格式：方睿，沈国安.元件相依的串、并联系统的剩余寿命及休止时间[J].厦门大学学报(自然科学版)，2016,55(4)：558-563.

Citation：FANG R，SHEN G A．Stochastic comparisons on inactivity times and residual lifetimes of series and parallel systems with dependent components[J].Journal of Xiamen University(Natural Science)，2016,55(4)：558-563．(in Chinese)