基于波函数法的附加弹簧阻尼薄板的振动研究

夏小均， 徐中明， 张志飞, 贺岩松

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆　400030； 2.重庆大学 汽车工程学院,重庆　400030)



基于波函数法的附加弹簧阻尼薄板的振动研究

夏小均1,2， 徐中明1,2， 张志飞1,2, 贺岩松1,2

(1.重庆大学 机械传动国家重点实验室,重庆400030； 2.重庆大学 汽车工程学院,重庆400030)

摘要：基于Kirchhoff薄板弯曲振动理论和波函数法Wave Based Method(WBM)理论，推导了运用WBM将附加弹簧阻尼结构转化为点激励的方法，构建了基于WBM计算含弹簧阻尼支承薄板振动响应的系统矩阵，得到了含弹簧阻尼支承的薄板弯曲振动响应。以四边简支矩形板为例，计算了50～ 600 Hz频段内参考点的振动响应，并与解析法和有限元法的计算结果进行了对比。运用该方法对比计算了添加不同弹簧阻尼结构数与无弹簧阻尼结构时薄板在120 Hz的弯曲振动响应。结果表明：通过将弹簧阻尼结构转换成点激励的方法,能有效的将WBM应用于附加弹簧阻尼支承薄板弯曲振动响应的仿真计算，与有限元法相比，有着更高精度和收敛速度。

关键词：波函数法；弹簧-阻尼；弯曲振动；薄板

鉴于传统的有限元、边界元和统计能量法等现有数值分析手段在对中频振动噪声的局限[1-4]，探寻能精准高效的对中频响应的分析方法已成为当前研究的热点，业已获得了一些解决手段与方法，如超弱变分公式(UWVF)[5]，混合FEA-SEA法[6]，波函数法(WBM)[7]，波边界元方法(WBEM)[8]，复包络向量法(CEV)[9]，自由单元Galerkin法(EFGM)[10]，复射线变分理论(VTCR)[11]等。其中WBM方法，作为一种确定性的Trefftz方法，相比于混合FEA-SEA方法，WBM能进行全局的振动响应分析。WBM以其高效，自由度少和高精度，现已经成功运用于结构-声学耦合响应等方面的预测[12-15]。何雪松等[16-17]运用WBM对薄板的弯曲振动响应进行了研究，验证了该方法在分析薄板振动响应的巨大优势。在此基础上，研究WBM在减振、降噪措施或结构下的运用就显得十分有意义了。

对于如汽车车内声腔类的典型结构声学耦合系统的声学优化，多以结构为对象。特别如薄板类的零件，其在各频率下的振动响应将直接影响内外部声学分布和系统结构振动特性，因此实际工程中通常运用，如增加刚度、动力吸振器、局部添加橡胶块等方式改善板件振动或声学响应。如黏弹性橡胶材料或吸振器的物理力学模型就是弹簧阻尼结构，因此，作为研究WBM在减振、降噪中应用的第一步，将探究运用WBM分析添加弹簧阻尼结构薄板的振动响应的方法。文章在WBM对薄板结构进行稳态响应预测的基础上，引入弹簧阻尼支承力学模型，重构了WBM数值系统矩阵，获得了薄板在附加了弹簧阻尼结构后的稳态响应。通过与理论方法、有限元方法的对比，验证了该方法的正确性与高效性。

1基本理论

1.1Kirchhoff薄板理论

根据Kirchhoff理论[18]进行对薄板振动进行分析，对于各向同性薄板的法向稳态位移wz满足如下方程：

(1)

其中

(2)

式中：kb为薄板弯曲波数，D为弯曲刚度

(3)

式中：h为薄板厚度，E为弹性模量，ν为泊松比，ρ为材料密度。

主要的边界条件有：

(1) 运动学边界条件(已知位移和转角，如固支边界)

(4)

(2) 力学边界条件(已知弯矩、剪力，如自由边界)

(5)

(3) 混合边界(已知位移、弯矩，如简支边界)

(6)

式中

γn,γs分别为薄板边界的法线和切线方向。

1.2WBM薄板弯曲振动

WBM是一种间接Trefftz方法，利用精确满足控制方程的波函数来表示位移响应，再通过边界残值最小的方法求取各波函数系数。其稳态响应的波函数展开表示为：

其中

W={w1,w2,…,wnb}为各波函数贡献值(权系数)，也即为所求的未知量。Ψ为严格满足控制方程齐次解的波函数，Desmet提出了以下波函数：

(8)

(9)

(10)

式中：Lx,Ly分别为薄板外轮廓尺寸,s1=0,1,2，…，ns1,s2=0,1,2,…,ns2s2=0,1,2,…,ns2，nb=4(ns1+1)+4(ns2+1)波函数数量也即为模型的自由度。

(11)

(12)

对于各波函数权系数的计算，采取类似有限元中加辽金边界加权余量法，将边界误差最小化为零,即

(13)

式中

(14)

将式(8)，(12)，(15)代入边界余量公式(14)，化简后便可以得到求解各波函数权值系数的系统矩阵式(16)其中包含了nb个未知量。

[A]{W}={f}

(15)

式中：

(16)

(17)

2弹簧阻尼结构薄板的WBM

如图1所示，在薄板内一位置添加弹簧阻尼支承，其弹簧刚度为k，阻尼系数为cd，因此，在支承安装点产生的作用反力

Fs_d=-kΔl-cdv

(18)

由于只考虑板的稳态响应，则支反力可表示为：

Fs_d=-(k+jωcd)wdejωt

(19)

得出

Fd=-(k+jωcd)wd

(20)

Fd,wd分别为弹簧-阻尼结构力幅值和安装点位移幅值,wd即为引入的未知量。

图1　附加弹簧阻尼结构的薄板Fig.1 Thin plate with a spring-damper

(21)

类似于式(14)对点激励的定义方法，定义

令

ζ(x,y)=

(23)

则有

(24)

同时，弹簧阻尼结构布置点(xd,yd)的稳态振动位移也满足式(22)，即有

(25)

同样运用边界加权余量法，将式(14),(21),(22)，(25)代入边界余量式(13)，得到含nb+1个变量新的系统矩阵

(26)

式中

(27)

Ad=Ψ(xd,yd)+(ζ(xd,yd)-1)

(28)

(29)

求出权系数W和弹簧阻尼结构安装处的稳态响应值wd后，便获得薄板的全局振动稳态响应wz(x,y)。同理，可以得到有多个弹簧阻尼结构时的位移展开式为

(30)

相应的具有多个弹簧阻尼系统的求解数值矩阵为：

(31)

Aadn=[Aad1…Aadn]

(32)

(33)

(34)

(35)

3数值验证

此次以四边简支的长方形薄板为例对该方法进行验证，并与解析解和有限元方法的计算结果进行了比较。其几何尺寸如图2所示，该板厚度为1 mm，弹性模量E=2.1×1011N/m2,泊松比ν=0.3,材料的损耗因子为0，密度ρ=7 850 kg/m3,在F(0.2 m，0.2 m)点施加沿薄板法向的单位作用力，在d(0.8，0.35)点处布置一个一维弹簧阻尼结构，弹簧刚度为k=150 N/m,阻尼系数cd=100 N/m。

图2　矩形简支板示意图(F为单位力作用点，d为弹簧-阻尼安装点，ref为参考响应点)Fig.2 Simply supported rectangular plate(F,d and ref is the located point of unit force, spring-damper installation and the reference point)

3.1对比验证

为研究该方法的有效性，引入了解析方法进行对比。对于添加弹簧阻尼结构后简支薄板，利用模态叠加的方法计算薄板的振动响应[19]。

其固有频率为

(36)

模态振型为

(37)

则以模态叠加方法得到薄板的位移响应为

(38)

(39)

R=-(k+jωcd)F×

(40)

根据模型参数，在MatlabR2015a中建立了WBM模型，解析解也通过Matlab软件实现。应用Hyperwoks建立了有限元模型，模型单元尺寸为5 mm，全局节点数(自由度)为24 322。图3，图4分别为参考点ref(0.35 m,0.5 m) 在50～600 Hz范围内的振动位移响应的实部与虚部的对比情况。

图3　参考点的频响(实部)Fig.3 The frequency response of reference point(real part)

图4　参考点的频响(虚部)对比Fig.4 The frequency response of reference point(imaginary part)

通过对位移响应计算结果的对比，可以看出在低频(200 Hz以下)范围，有限元结果与理论符合很好。随着频率增加，有限元计算结果在很多频率上出现峰值偏移和数值偏差，而WBM计算结果与理论结果，不论是实部还是虚部上都十分吻合，说明了该方法在运用于中频段的振动响应计算具有更高的精度。WBM是基于频率的算法，因此对于随频率变化的弹簧刚度和阻尼系统，也能利用该方法得到各频率下的弯曲振动响应。同时，相比于有限元法，以WBM仿真计算此类结构时能十分方便的对弹簧阻尼结构的布置位置或数量进行更改，而不需要重新建立模型，这一特点也能很好的应用到结构的优化中。

3.2收敛性

图5　WBM与FEM收敛曲线Fig.5 The convergence curve of WBM and FEM

4计算分析

为研究弹簧阻尼支承的数量对薄板的振动响应的影响。在薄板上任意选取了如表1所示的5个位置依次添加相同参数的弹簧阻尼结构，计算了这个5个方案在120 Hz激励频率时，薄板的弯曲振动响应，各个模型都取188个波函数。

表1　各弹簧阻尼结构添加位置

限于篇幅，此处选取了只添加一号结构和添加上述5个弹簧阻尼结构两种方案的响应结果与无弹簧阻尼结构时的振动响应进行对比分析，如图6～图8所示。从对比结果可以看出，各等高线在边界处的位移都为零，符合简支边界的要求。在附加弹簧阻尼支承后，薄板的振动位移响应将完全改变，且添加弹簧阻尼结构数也决定着薄板的弯曲振动。当然不同的安装位置，弹簧阻尼参数也将产生不同的振动的响应，也是后续优化或改善结构振动要考虑的。

图6 无弹簧阻尼结构薄板位移等高线Fig.6Thedisplacementcontourofplatewithoutspring-damper图7 附加一个弹簧阻尼薄板位移等高线Fig.7Thedisplacementcontourofplatewithaspring-damper图8 附加5个弹簧阻尼薄板位移等高线Fig.8Thedisplacementcontourofplatewithfivespring-dampers

图9为添加不同弹簧阻尼结构数时计算的收敛情况，其中WBM-nsd为添加了n个弹簧阻尼结构的收敛曲线。从对比结果可以看出，弹簧阻尼结构数对该方法的精度收敛影响不大。如式(31) 所示，增加弹簧阻尼结构会使系统矩阵的维度增加，相应地其求解量也会增加，但该方法的数值收敛特性还是由波函数和边界条件决定。

图9　不同弹簧阻尼结构数的收敛Fig.9 The convergence curve of WBM with different number of spring-damper

5结论

文章在基于WBM对薄板弯曲振动分析的基础上，通过将弹簧阻尼结构转化为随频率和位移变化的点激励的方法，重构了引入弹簧阻尼结构后WBM的系统矩阵，实现了WBM在含弹簧阻尼结构薄板振动响应预测中的应用。并通过与解析法、有限元法的计算结果的对比，验证了该方法的有效性，更体现了WBM在中频振动分析自由度少，收敛快和精度高的特点。研究了弹簧阻尼结构及其数量对薄板振动的影响，后续将利用该方法灵活建模和高收敛的特点，以复杂结构振动输入功率和结构声学耦合系统中声学响应为目标，对相应的安装位置和弹簧阻尼参数进行优化。

参 考 文 献

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基金项目：中央高校基本科研业务费科研专项(CDJZR14115501);重庆市研究生科研创新项目(CYB14036);国家自然科学基金资助项目(51275540)

收稿日期：2015-06-10修改稿收到日期：2015-07-24

通信作者徐中明 男，博士，教授，博士生导师，1963年生

中图分类号:U461.40

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.023

Vibration analysis of plates with spring -damper by using wave based method

XIA Xiao-jun1,2, XU Zhong-ming1,2, ZHANG Zhi-fei1,2, HE Yan-song1,2

(1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400030, China;2. School of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China)

Abstract:A wave based prediction technique for spring-damper plates was proposed based on the theory of Kirchhoff and wave based method (WBM) via converting the additional spring-damper structure into a point force with modified frequency and amplitude of displacement. The system matrix of plates with spring-damper was constructed by using WBM to solve the bending vibration response of plates. Taking a four edges simply supported rectangular plate as an example, the method was verified via comparing the vibration response at a reference point in 50-600 Hz frequency band implemented by the method with those by the analytic method and finite element method respectively. The vibration responses of plates with different number of spring-damper were computed to find the effect of the adding structure. The analysis results indicates that WBM is valid in the prediction of vibration responses of spring-damper plates. Contrasting with the FEM, the WBM can achieve higher accuracy and converging rate in the calculation of mid-frequency bending vibration responses of spring-damper plates.

Key words:wave based method (WBM); spring-damper; bending vibration; plate

第一作者 夏小均 男，博士生，1988年生

E-mail: xuzm@cqu.edu.cn