避免五子连珠的分析与建模

方泓堃　宋涵

摘 要：本文主要解决如何在二维棋盘上取走最少的棋子，使剩余棋子五子不相连的问题。模型灵感来源于五子棋中最强防守策略“马步跳”形成的“八卦阵”。这里将棋盘建立在一个二维坐标系内，并将“马步跳”法转化为二维坐标系下的一个数学关系式，并设计了一个基准棋盘，并证明该棋盘可对任意m×n棋盘均满足最少取子个数和五子不连珠的要求。

关键字：五子不相连；马步跳；基准棋盘

1 引言

五子棋中有一个“八卦易守，成角易攻”的概念，八卦就是由象棋四个马步形成的一种棋形，如果摆满全盘，则对方没有取胜的可能，即不可能产生五子连珠。下图1中四个黑子便互成马步跳，形成一个八卦。

2 将“马步跳”其转化为数学模型

以图1黑子1为原点（0，0）建立平面直角坐标系xoy，每个方格就对应一个独特坐标（x，y），其中其他三个黑子的坐标分别为（2，-1）（3，1）（1，2）。根據“马步跳”特性，及总结分析得在这个坐标系下，所有“马步跳”点满足（x+2y）都能将5整除，

即： 我们暂且将这些点称为“马步点”

可以证明，在一个任意一个二维棋盘上，确定一个坐标原点，拿去所有去所有的“马步点”，剩余的所有棋子不可能形成五连珠。（模型验证部分有证明）

3 构建基准棋盘Ω

假设有一个可以向下，向右无限增长的棋盘，该棋盘上刚开始开始布满棋子，以棋盘上左上角为（1，1）点，如下图2建立坐标系ioj，每个方格就对应一个坐标（i，j）。以标记为1，坐标为（1，3）的棋子为原点，如（2）所述建立坐标系xoy，则该棋盘上所有“马步点”坐标（i，j）满足：

将所有的“马步点”的棋子拿去后形成的棋盘如上图2所示，

这里我们称其为基准棋盘Ω。

基准棋盘性质：

1、由上2分析得，基准棋盘上不存在五五连珠的情况

2、从（1，1）点开始向下，向右任取一个规模为m×v的二维棋盘，其上取下的棋子为

4 模型的证明

4.1首先证明当m≥5，n≥5时，其上取下的棋子为

注意到，在棋盘的每一个5k×1的子棋盘上，每一列至少需要取出k枚棋子。否则，会出现5枚棋子在该列依次相连，因而，至少要取出k×l枚。同理，在每一个l×5k的子棋盘上也至少要取出l×k枚。

设m、n除以5的余数分别是u、v。

接下来对u、v分情形讨论，为简化讨论，不妨设0≤u≤v<5。

u×v<5的情形。如图3，把棋盘划分成（m-u）×n、u×（m-v和u×v三块在前两块中分别至少要取出

5 模型的优点

针对一般二维棋盘，借鉴并运用了五子棋中的八卦阵，依据“马步跳”思想设计出了一种通用的取子算法，建立了一个基准棋盘Ω，从此此基准棋盘上可以取任意规模的最简五子不连珠的棋盘。此基准棋盘模型，可靠易行，基本可以用来解决二维棋盘上所有问题。

参考文献

[1] 丁龙云，从“五子棋”到“马步跳”，南开大学数学科学学院，300071

[2] 赵东方，数学模型与计算，北京：科学出版社，2007

作者简介

方泓堃（1996-），西北工业大学 动力与能源学院，自动化专业。