多元函数几个概念的关系的研究

徐丽君，廖永志

多元函数几个概念的关系的研究

徐丽君，廖永志

(攀枝花学院数学与计算机学院，四川攀枝花617000）

多元函数的连续性、可微性、偏导数、方向导数等概念比较抽象，关系复杂，是教学中的四大难点，难以理解，难以掌握。为了理清这些概念的内涵与关系，通过具体实例，充分利用有关概念与定理，详细讨论每一个概念的条件与结论之间的因果关系，以及这些基本概念之间的内在联系，给高等数学的教学降低难度，让初学者容易接受这些知识。

多元函数；关系；连续性；可微性；偏导数；方向导数

0 引言

高等数学是国家教育部规定的理工科经管类专业学生必学的一门课程，学习高等数学，不仅是在后续的课程的学习中将反复应用这些数学知识，更主要的是将会提高我们的逻辑思维能力，帮助学生养成严谨的治学态度，提高综合素质。高等数学具有很强的抽象性，正是这一点使一些初学者有畏惧该课程的学习，缺乏自信，对一元函数的学习还好，多元函数的学习很困难，尤其对于多元函数的连续性、可微性、偏导数、方向导数几个概念集中出现的时候，有些学生就把这些概念混淆了。本文将以实例为主，重点分析这几个概念的内涵及其关系，希望能够降低教学难度，减少读者学习的抽象性。

1 几个概念的定义和定理

下面给出函数的连续、可微、偏导数及方向导数的定义，以及显示他们之间的关系定理，这是后面部分必须用的。

定义1[1]：设函数z=f（x，y）在区域D上有定义，点P0（x0，y0）∈D，若有成立，则称函数z=f（z，y）在点P0处连续。

定义2[1]：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）附近有定义，固定y＝y0，当自变量x在x0处有增量△x时,函数z有相应的改变量f（x0+△x，y）-f（x0，y0）。如果

存在，则称此极限为函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处对x的偏导数。记为：P'x（x0，y0），z'x（x0，y0），

同样,定义函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）对y的偏导数

定义3[1]：设z=（fx，y）在P（0x0，y0）的某邻域内有定义，如果函数的全增量可表示为△z＝（fx0＋△x，y0＋△y）-f（x0，y0）=A△x+B△y+o(p)。其中，A与B是与△x和△y无关的常数，称函数z=（fx，y）在点P0（x0，y0）可微，把△x，△y的线性函数A△x+B△y叫做函数z=（fx，y）在点P（0x0，y0）的全微分，记为：dz=A△x+ B△y。

定义4[1]：在点P（0x0，y0）的一条射线l上任取一点P（x0＋△x，y0＋△y），设，如果极限存在，称此极限是函数z=（fx，y）在点P（0x0，y0）沿着l的方向导数，表示为，即

定理1[1]（可微的必要条件）：如果函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）可微，则在该点偏导数f'x（x0，y0），f'y（x0，y0）存在，且函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）全微分

定理2[1]（可微的充分条件）：如果函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的偏导数在点P0（x0，y0）处连续，则函数f（x，y）在点P0（x0，y0）有可微分。

定理3[1]：若函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）可微，则函数z=f（x，y）在该点沿任意方向l的方向导数都存其中cosα，cosβ是射线l的方向余弦。

2 几个概念及其关系

多元函数连续、可微、偏导数、方向导数四个概念比较抽象，要想弄明白它们之间的关系很不容易。具体来讲“连续”表达的是函数的增量与每一个自变量的增量之间的关系，“偏导”表达的是函数变化率的问题，“微分”反应的是对函数的局部变化率的一种线性描述，“方向导数”体现了函数在某个射线方向上变化时对于距离的变化率，这四个问题共同点是求极限，不同点是求极限的内容不一样，比如P(x,y)→P（x0，y0）的路径不一样，“连续”的路径是任意方向，“偏导”的路径是平行于x,y轴的直线方向，“微分”的路径是P(x,y)→P（x0，y0）没有方向，“方向导数”的路径是射线方向。表面上看四个概念关系不大，但实质上相互之间关系相当密切。例如，关于x,y轴的正半轴的偏导数就是各自方向的方向导数，而关于x,y轴的负半轴的偏导数就是各自方向的方向导数的相反数。又如上面给出的3个定理可以充分反映他们之间的联系，图1形象地描述了这一点。

3 实例阐述

在上述关系中，反方向均不成立。下面取（x0，y0）=(0,0)点为例，充分利用定义1—定义4，定理1—定理3，从6个方面逐一讨论函数的连续、可微、偏导数、方向导数四个概念之间的关系。

3.1 函数在某点偏导数存在，但不连续，不可微

解：因为f（x，0）=0，f（0，y）=0

即其偏导数存在。

当点P(x,y)沿x轴趋于点(0，0)时，有

当点P(x,y)沿直线y＝kx趋于点(0，0)时，有

3.2 函数在某点连续，方向导数存在，但偏导数不存在，不可微

例2：求证：函数，在(0，0)点连续，方向导数存在，但偏导数不存在，不可微。

即该函数在（0，0）点存在方向数。但

故，f（x0，0）不存在。由x，y的对称性，f（y0，0）不存在。从而，（fx，y）在（0，0）点不可微（否则，f（x0，0），f（y0，0）均存在）。

3.3 函数在某点可微，但偏导数不连续

航保通信基建工程是在财政资金拨付下进行的固定资产投资项目建设，属于公益性建设项目，本文所指的基建工程主要指基础设施建设项目。财政资金拨付项目往往存在投资金额固定，建设周期短的问题，这就需要针对一些重点环境加强管理，以实现工程建设的高效推进。

因为，当x→0，y→0时，

所以f（x，y）在（0，0）点可微，且df（0，0）=fx（0，0）dx+fy（0，0）dy=0

取点列Pn（xn，yn），yn=0，显然。

这个例题也说明，上述定理1与定理2不可逆。

3.4 函数在某点连续，偏导数存在，但不可微

由定义

所以，函数f（x，y）在点（0，0）连续，偏导数存在，但不可微。

3.5 函数在某点的方向导数存在，但不连续，不可微

证明：函数沿方向l=（cosα，sinα）的方向导数为

所以，函数在原点（0，0）处沿各个方向的方向导数存在。但当（x，y）沿曲线x=ky2趋于（0，0）时，又因为，此结果与k有关。所以，函数f（x，y）在原点（0，0）不连续，因而不可微。

3.6 函数在某点的方向导数存在，连续，但不可微

函数沿方向l=（cosα，sinα）的方向导数为

所以函数在原点（0，0）处沿各个方向的方向导数存在。又

但因为

所以函数在原点（0，0）不可微。

4 结语

综合上面的例子，说明函数的连续性、可微性、偏导数、方向导数等基本概念之间的关系复杂，特别抽象，极易混淆，难以理解，难以掌握。本文以具体实例为主，详细研究这些概念之间的内在关系，得到下面的“结论图”，这个图可以给高等数学的教学降低难度，可以让初学者能够容易理清这些概念的内涵，从而学好高等数学这门课程。

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004．

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2005．

[3]陈纪修．数学分析[M].北京：高等教育出版社，2006．

The Study on the Connection of Several Concepts of Multivariate Function

XU Li-jun，LIAO Yong-zhi
(School of Computer Science and Technology，Panzhihua University，Panzhihua,Sichuan 617000,China)

The concept of multiple functions,such as continuity,differentiable,partial derivative,directional derivative,is abstract and complex.They are the four special difficulties in teaching.In order to comprehend the connotation and concept of them,through concrete examples,we make full use of the concepts and theorems,and discuss in detail the causal connection between the conditions and conclusions of each concept,and the inner link between these basic concepts,which reduce the difficulty of teaching higher mathematics,which help beginners accept these knowledge easily.

multivariate function;connection;continuity;differentiability;partial derivative;directional derivative.

O174.1

A

1673-1891（2016）01-0023-03

10.16104/j.issn.1673-1891.2016.01.007

2015-11-01

徐丽君（1965—），女，副教授，学士，研究方向：微分方程。