TMD系统在自身参数随机偏离下的减振有效性和可靠性分析

王文熙， 华旭刚， 王修勇， 陈政清

(1.湖南大学 风工程试验研究中心，长沙　410082； 2.湖南科技大学 土木工程学院，湖南 湘潭　411201)



TMD系统在自身参数随机偏离下的减振有效性和可靠性分析

王文熙1， 华旭刚1， 王修勇2， 陈政清1

(1.湖南大学 风工程试验研究中心，长沙410082； 2.湖南科技大学 土木工程学院，湖南 湘潭411201)

摘要：调谐质量阻尼器(TMD)是一种工程中常用的减振装置，但TMD装置的刚度和阻尼系数偏离最优值时，其减振效率将大为降低。研究了TMD系统在自身参数偏离下的减振有效性和可靠性问题，提出一种切合工程实际的TMD系统自身参数随机偏离模型。在此偏离模型下，利用蒙特卡洛方法分别研究了STMD系统和MTMD系统的减振有效性和可靠性，并对两种TMD系统的差异进行了对比和分析。结果表明，TMD系统的减振有效性和可靠性与TMD系统质量比、结构阻尼比、分布TMD个数、调谐频率个数等因素有密切相关。通过对大量数值计算结果的分析，给出增强TMD系统有效性和可靠性的一些有益建议。

关键词：振动控制；TMD系统参数优化；参数偏离；减振有效性；减振可靠性

调谐质量阻尼器是振动控制领域应用最为广泛的被动减振装置之一，主要分为两种形式：单调谐频率质量阻尼器(Single Tuned Mass Dampers,STMD)以及多调谐频率质量阻尼器(Multiple Tuned Mass Dampers,MTMD)。TMD系统以其优异的减振有效性、良好的经济性、后期养护简单等特点在工程结构减振中得到广泛应用。由于TMD系统的减振效果依赖于其调谐频率和阻尼比的设置，而在实际工程中，不论是结构还是TMD系统其动力参数都有可能发生变化，这样会对TMD系统的减振效果造成影响。

从20世纪50年代开始，许多学者对TMD系统的有效性和可靠性展开了深入研究。

Den Hartog[1]首次提出了STMD系统在结构受到简谐力作用和不考虑结构阻尼情况下的STMD最优参数求解方法，并给出了STMD最优参数解析式。Warburton[2]则在其基础上，给出了结构受到不同种类荷载以及基底激励时的STMD最优参数表达式。Xu等[3]首次提出MTMD的构想，并对MTMD的动力性能进行了研究，结果表明MTMD相比于STMD具有更好的减振有效性。Han等[4]提出利用子TMD调谐频率等间隔分布以及阻尼比均相同等参数假定的MTMD来控制结构振动，研究表明该类型MTMD不仅能更有效控制结构振动，同时其控制频率范围更广，具有比STMD更好的鲁棒性。Li等[5]提出利用最速梯度法求解无约束MTMD的最优参数，研究表明，该种MTMD的最优参数并不符合参数等间距分布的假设，且其减振有效性较参数等间距分布的MTMD更优。Rana等[6]研究了STMD在其最优频率比和最优阻尼比失调情况下的工作表现，发现STMD最优频率比失调造成的减振效果的损害比其最优阻尼比失调更加显著，当STMD系统的质量比以及被控结构阻尼比越大时，STMD最优参数失调对减振效果的影响越小，其控制鲁棒性越强。李春祥等[7-9]对MTMD和STMD的动力性能进行了广泛地研究，发现MTMD应对被控结构动力参数变化的能力要比STMD系统强，更适用于控制频率时变的结构振动。

以往的研究表明，MTMD的减振有效性在理论上优于STMD，此外MTMD在应对结构参数实际值与设计值有偏离时的控制鲁棒性强于STMD。但是以往的研究有以下局限性：① 仅仅考虑了被控结构动力参数可能发生的摄动而不重视TMD系统自身参数的偏离；② 没有考虑TMD系统的自身参数偏离的随机性；③ 缺少对自身参数最不利偏离情况下TMD系统工作表现的评估。

本文针对上述不足，利用数值优化方法求解了STMD系统和MTMD系统的最优参数，提出了一种基于正态分布的TMD系统自身参数偏离模型，并通过蒙特卡洛方法研究了不同TMD系统在不同质量比和结构阻尼比、不同调谐频率个数、不同偏离状态等情况下的减振有效性和可靠性，并分析了这些参数对于TMD系统减振有效性和可靠性的影响，为TMD系统的设计提供有利的参考。

1TMD系统的参数优化理论与方法

图1　主结构-TMD系统简化力学模型Fig.1 Structure-TMD system simplified mechanical model

根据结构-TMD系统的力学模型，其运动方程为：

(1)

(2)

(3)

(6)

假设一简谐荷载作用在结构上，荷载P可按复数形式表达如下，其中j为虚数单位。

(7)

其中：p0为简谐激励的荷载幅值，ω为简谐激励的圆频率。荷载激振频率比为β=ω/ωp。

则方程(1)有如下解的形式：

(8)

(9)

DMF(ω)=

(10)

假定TMD系统中各个子TMD的质量mi均相等，上式为TMD系统控制下主结构的动力放大系数，当令各个子TMD参数均相同时，即k1=k2=…=kn，c1=c2=…=cn，式(10)变为STMD控制下的结构动力放大系数，该TMD系统只具有一个调谐频率。而当各个子TMD参数均不相同时，即k1≠k2≠…≠kn，c1≠c2≠…≠cn，则式(10)变为MTMD控制下的结构动力放大系数，该TMD系统具有n个调谐频率。

对于TMD系统参数优化，其优化目标即为找到一个(k1，c1，…，kn，cn)的最优组合使得结构动力放大系数在荷载频率范围内的最大值最小化，其数学表达式如下：

(11)

式(11)是一个复杂的多参数优化问题且目标函数微分、求导困难，本文采用改进的模式搜索法求解其最优参数。

模式搜索法属于直接优化法，又称为Hooke-Jeeves方法，相比于基于导数的优化方法而言，它的收敛速度较慢，但是不要计算目标函数的偏导数，而且迭代较为简单。对于式(11)，我们无法轻易地求出其各参数的偏导数，因此对于此类函数的求解，模式搜索法拥有极强的优势。传统的模式搜索法对拥有n个变量的函数f(x1,x2,…,xn)最小值的寻优计算流程如下[10]：

步骤1给定初始基点X(1)=(x1,x2…xn)，单位探测向量e1,e2,…,en，步长δ，加速系数α≥1，步长缩减率β∈(0,1)，允许误差ε>0，令y(1)=X(1)，k=1，j=1，其中轴向探测向量e1,e2,…,en有如下形式：

(12)

步骤2如果f(y(j)+δej)

步骤3如果f(y(j)-δej)

步骤4如果f(y(n+1))

步骤5置X(k+1)=y(n+1)，令y(1)=X(k+1)+α(X(k+1)-X(k))，进行步骤7；

步骤6如果δ≤ε，则结束迭代，得到X(k)，否则使δ=βδ，y(1)=X(k)，X(k+1)=X(k)，进行步骤7；

步骤7置k=k+1，j=1，转步骤2。

但是传统的模式搜索法全局寻优能力有限，其得到的结果只是与初始基点相关的局部最优值，且其最优值与允许误差的设置大小有关，所以本文通过对传统的模式搜索法进行改进加强其全局寻优和局部寻优能力。

(13)

(14)

Xsjd=LBnew+(UBnew-LBnew)·rand(0,1)

(15)

利用上述生成的随机点Xsjd，通过ls次随机搜索对已得到的m个最优点进行局部寻优，具体流程如下：

步骤1令i=1；

步骤2初始化随机搜索次数ls和搜索范围缩减率α1，令l=1；

步骤3生成局部搜索范围(LBnew,UBnew)以及随机点Xsjd；

步骤5如果l

(16)

以主结构阻尼比ξp=1%和TMD系统质量比μ=1%为例，通过上述改进的模式搜索法获取了最优参数，图2是不同调谐频率个数时TMD系统的最优参数，调谐频率个数为1时，为STMD系统，当调谐频率个数大于1时，则为MTMD系统。图3是加装最优TMD系统后的结构放大系数频响曲线。

MTMD的最优参数分布存在一些规律，随着调谐频率个数n的增加，其子TMD频率比分布范围更广，相比于以前提出的子TMD最优频率比线性均匀分布、最优阻尼比均相同等参数假定[4]，其最优频率比并非是均匀的线性分布，而是带有一定非线性，虽然其各个子TMD的最优阻尼比差距不大，但也并非是完全相等的。

图2　子TMD最优频率比和最优阻尼比(质量比μ=1%，主结构阻尼比ξp=1%)Fig.2 Optimal frequency ratio and damping ratio of the sub-TMD (μ=1%,ξp=1%)

图3　加装STMD和MTMD后主结构最优动力放大系数频响曲线Fig.3 Frequency response curve of main structure with STMD and MTMD

通过图3可以看出，对于加装n-MTMD(具有n个调谐频率)的主结构最优频响曲线具有n+1个等高波峰。相比于STMD，MTMD具有更好的减振效果，子TMD频率分布范围更广，其共振区域的动力放大系数最大值明显降低，图中STMD控制后的动力放大系数最大值为11.56，10-MTMD控制后的动力放大系数最大值为9.11，减振效果增强了22%左右，且随着调谐频率个数的增加，MTMD减振性能会进一步提升。

2TMD系统自身参数偏离模型

(17)

(18)

假定各个子TMD自身的刚度最大偏离率为ηk，阻尼系数最大偏离率ηc，例如在土木工程中对于建造的最大偏离率可以为5%。而在正态分布中小概率事件发生的概率一般遵从“3σ”法则，即一个服从正态分布N(E,σ2)的数肯定会落在(E-3σ,E+3σ)区间内，结合两者的概念，可通过式(19)和式(20)计算得到σki，σci。

(19)

(20)

3TMD系统的减振有效性和可靠性分析方法

蒙特卡洛试验方法即随机模拟(Random Simulation)方法，亦被称为随机抽样(Random Sampling)方法，它与一般的数值计算方法有很大区别，主要针对求解不确定性和随机性问题，通过多次随机抽样试验，计算所求问题的统计特征，例如期望、标准差等，并以此作为问题的近似解，通常当蒙特卡洛试验次数达到一定数量后，其近似解趋近于真实解。

定义TMD系统减振有效性指标r为荷载频率范围内结构的最大动力放大系数幅值，即

(21)

通过N次蒙特卡洛试验，在TMD系统自身参数随机偏离模型下，可得N个r值，对其取平均值得到rmean，以该值作为TMD系统在自身参数正常偏离状态下的减振有效性指标，rmean越小，则说明TMD系统在自身参数正常偏离状态下的减振有效性越强。rmean表达式如式(22)，其中rj为第j次试验中的r值。

(22)

此外为了评估TMD系统在自身参数最不利偏离状态下的减振有效性，取上述N个r中较大的前10%的平均值rmaxmean作为TMD系统在最不利偏离状态下的减振有效性指标，rmaxmean越小，则说明TMD系统在自身参数最不利偏离状态下的减振有效性越强。rmaxmean表达式如式(23)，其中rmax j为rj按降序排列后所得。

(23)

定义TMD系统减振可靠性指标β如式(24)，即在TMD系统在自身参数随机偏离模型下的减振有效性指标同最优减振有效性指标的偏离程度，ropt为TMD系统参数最优时的r值，当β越小时，则说明TMD系统控制下的减振效果与最优减振效果相差越小，其减振可靠性越强。

(24)

类似可以得到TMD系统在正常偏离状态下和最不利偏离状态下的减振可靠性指标βmean和βmaxmean，当βmean或βmaxmean越小时，则说明TMD系统在自身参数正常偏离状态或最不利偏离状态下的减振可靠性越强。其表达式分别为式(25)和式(26)。

(25)

(26)

4数值计算结果与分析

本文选取比较的TMD系统为实际工程中应用最为广泛的STMD系统与MTMD系统。STMD系统中所有子TMD的参数均一致，虽然考虑到安装空间的不足等因素，分为n个子TMD，但仍只有一个调谐频率；MTMD系统中所有子TMD的质量一致，但弹簧刚度以及阻尼系数均不同，子TMD个数为n，即说明具有n个调谐频率。分析采用的被控结构参数为质量mp=10 000 kg，刚度kp=40 000 kg，蒙特卡洛试验次数N=8 000，刚度最大偏离率ηk=0.05，阻尼系数最大偏离率ηc=0.25。

TMD系统质量比μ=(m1+m2+…+mn)/mp和结构阻尼比ξp=cp/2mpωp分为以下5种情况：

情况Ⅰ：μ=1%，ξp=1%；

情况Ⅱ：μ=2.5%，ξp=0%；

情况Ⅲ：μ=2.5%，ξp=1%；

情况Ⅳ：μ=2.5%，ξp=2%；

情况Ⅴ：μ=5%，ξp=1%。

经过数值计算，两种TMD系统在不同TMD个数、不同质量比和结构阻尼比、不同偏离状态下的减振有效性指标如图4～图8，减振可靠性指标如图9～图13。

图4 有效性指标r-子TMD个数曲线(情况Ⅰ)Fig.4Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅠ)图5 效性指标r-子TMD个数曲线(情况Ⅱ)Fig.5Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅡ)图6 有效性指标r-子TMD个数曲线(情况Ⅲ)Fig.6Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅢ)

图7 有效性指标r-子TMD个数曲线(情况Ⅳ)Fig.7Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅣ)图8 有效性指标r-子TMD个数曲线(情况Ⅴ)Fig.8Relationshipbetweenvalidityindexrandthenumberofthesub-TMD(conditionⅤ)图9 可靠性指标β-子TMD个数曲线(情况Ⅰ)Fig.9Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅠ)

图10 可靠性指标β-子TMD个数曲线(情况Ⅱ)Fig.10Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅡ)图11 可靠性指标β-子TMD个数曲线(情况Ⅲ)Fig.11Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅢ)图12 可靠性指标β-子TMD个数曲线(情况Ⅳ)Fig.12Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅣ)

由图4～图8可知，在TMD系统自身参数随机偏离模型下，随着TMD个数的增加，不论是正常偏离状态还是最不利偏离状态下，STMD系统的减振有效性均增强，但当子TMD个数达到一定数量后，这种增强趋势会减缓；而MTMD系统的减振有效性均会先增强，达到一定数量后会逐渐减弱，形成一条带有‘凹点’的曲线，而‘凹点’处的子TMD个数则是MTMD系统减振有效性最优的最佳的调谐频率个数。一方面TMD系统子TMD个数增加时，调谐频率个数相应增加，其减振有效性会显著上升，而另一方面由于MTMD系统中每个TMD的参数均不同，参数复杂性也会随着TMD系统子TMD个数的增加而变得愈加复杂，以至于给予其自身参数微小的摄动，其减振有效性会远远偏离其最优值，所以在子TMD个数的增长方向上，必然会有一个最佳TMD系统调谐频率个数使得MTMD系统的减振有效性最优，这也是出现‘凹点’曲线的根源。

此外，随着子TMD个数的增加，STMD系统在最不利偏离状态下的减振有效性会越来越接近正常偏离状态下的值，整体曲线呈收敛状；而MTMD系统在最不利偏离状态下的减振有效性会越来越远离正常偏离状态下的值，整体曲线呈发散状。可以预见的是，当子TMD个数很大时，STMD系统的减振有效性会接近STMD系统参数最优时的减振有效性，而MTMD系统则恰好相反。

由图5～图7可知，随着结构阻尼比ξp的增大，STMD系统与MTMD系统在自身参数偏离下的减振有效性均会增强。由图4、图6、图8可知，随着TMD系统的质量比μ的增大，STMD系统与MTMD系统的减振有效性均会增强。数值结果还表明，在TMD系统质量比以及被控结构阻尼比均很小时，STMD系统在参数偏离模型下的减振有效性可能会优于MTMD系统，例如图4所示情况(μ=1%，ξp=0%)，MTMD系统中子TMD个数大于9个以后，其自身正常偏离状态下减振有效性会弱于STMD系统；而在最不利偏离状态下，子TMD个数大于3以后，STMD系统的减振有效性就强于MTMD系统。这是TMD系统应用于实际工程中经常碰到的情况，需多引起关注。

由图9～图13可知，STMD系统的减振可靠性随着子TMD个数的增加而上升，但当子TMD个数达到一定数量以后，增幅趋势明显减缓；而MTMD系统的减振可靠性随着子TMD个数即调谐频率个数的增加而减弱，其与子TMD个数呈负相关，即子TMD个数越多，其减振可靠性越差。此外，随着子TMD个数的增加，STMD系统在正常偏离状态下与最不利偏离状态下的减振可靠性越接近；而MTMD系统则恰好相反。

由图10～图12可知，随着被控结构阻尼比ξp的上升，STMD系统和MTMD系统在自身参数偏离下的减振可靠性均会增强。由图7、图9、图11可知，TMD系统的质量比μ的增大也能够提高STMD系统和MTMD系统的减振可靠性。此外，数值结果表明，STMD系统在自身参数偏离下的减振可靠性明显优于MTMD系统。

同时为了分析STMD系统和MTMD系统在不同最大偏离率下减振有效性和可靠性的变化规律，令最大偏离率η=ηk=ηc从0增加到0.6，增量间隔为0.02，STMD系统和MTMD系统中的子TMD个数均取为5个，TMD系统质量比μ=2.5%，结构阻尼比ξp=1%，蒙特卡洛试验次数N=16 000 次，通过数值计算可得不同TMD系统的减振有效性和可靠性在正常偏离状态下和最不利偏离状态下随着最大偏离率变化而变化的结果如图14和图15。

由图14可知，在自身参数最大偏离率较小的情况下，MTMD系统的减振有效性会优于STMD系统，但随着最大偏离率的增大，STMD系统的减振有效性会逐渐超过MTMD系统。而从图15可以看出，STMD系统的减振可靠性远强与MTMD系统。此外，STMD系统在最大偏离率η较小时，其减振有效性和可靠性劣化速度缓慢，当最大偏离率超过0.3时，劣化趋势明显增快；而MTMD系统则正好相反，在最大偏离率超过0.3以后，其减振有效性和可靠性劣化趋势明显减缓。

图13 可靠性指标β-子TMD个数曲线(情况Ⅴ)Fig.13Relationshipbetweenreliabilityindexβandthenumberofthesub-TMD(conditionⅤ)图14 有效性指标r-最大偏离率η曲线Fig.14Relationshipbetweenvalidityindexrandthemaximumdeviationratioη图15 可靠性指标β-最大偏离率η曲线Fig.15Relationshipbetweenreliabilityindexβandthemaximumdeviationratioη

5结论

(1) 改进的模式搜索法可以有效解决MTMD参数优化问题，在参数最优的情况下，MTMD的减振效果远胜于STMD。

(2) 基于正态分布的TMD系统自身参数偏离模型，能够恰当地描述TMD系统的自身参数偏离的随机性，更接近实际工程情况。

(3) 在自身参数随机偏离模型下以及质量比μ和阻尼比ξp均较小的情况下，STMD的减振有效性可能优于MTMD系统，而其减振可靠性总是强于MTMD系统，且随着子TMD个数的增加，其可靠性指标β越来越接近0，说明此时其有效性更接近最优值。

(4) TMD系统质量比和结构阻尼比的提高，能够增强TMD系统在自身参数偏离下的减振有效性和可靠性。在TMD系统质量比和结构阻尼比均较小，且子TMD个数较多时，宜将TMD系统设计成STMD系统，此时STMD系统在正常偏离下的有效性与MTMD系统相当，但其在最不利偏离状态下的减振有效性远强于MTMD系统。

(5) 对于STMD系统，提高子TMD个数能够显著提升其在自身参数偏离下的减振有效性和可靠性；而对于MTMD系统，在不同质量比和结构阻尼比情况下，总有一个最佳子TMD个数即最佳调谐频率个数使得其减振有效性最优，此外，减少子TMD个数能够提升MTMD系统的减振可靠性。

(6) 在TMD系统自身参数最大偏离率可以控制在较小范围时，宜将TMD系统设计成MTMD系统，此时MTMD系统能够提供更好的减振有效性；在TMD参数最大偏离率无法得到有效保证时，为了保证减振有效性，建议设计成STMD系统。

参 考 文 献

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基金项目：国家重点基础研究发展计划“973”项目 (2015CB057702);国家优秀青年科学基金项目(51422806)资助

收稿日期：2014-12-01修改稿收到日期：2015-05-05

通信作者华旭刚 男，博士,教授，1978年生

中图分类号:U441+.3

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.036

Vibration reduction validity and reliability of a TMD system under random deviation of its own parameters

WANG Wen-xi1, HUA Xu-gang1, WANG Xiu-yong2, CHEN Zheng-qing1

(1. Wind Engineering Experiment Research Center, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Civil Engineering School, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

Abstract:Mass tuned damper (TMD) is a widely used device for suppressing vibration in engineering, when the stiffness and damping coefficients of TMD deviate from their optimal values, its efficiency of vibration reduction may greatly decreases. Here, the validity and reliability of TMD for reducing vibration were investigated. A parametric random deviation model of TMD system being suitable to practical engineering was proposed. Monte Carlo method was utilized to study the validity and reliability of both STMD system and MTMD system for reducing vibration with this deviation model. The differences between these two kinds of TMD systems were compared and analyzed. The results showed that the TMD system’s validity and reliability are closely related to mass ratio of TMD system, structural damping ratio, the number of TMD and so on. Through analyzing numerical calculation results, some suggestions for improving the validity and reliability of TMD system were proposed.

Key words:vibration control; TMD system; deviation of parameters; vibration suppression validity; vibration suppression reliability

第一作者 王文熙 男，博士生，1988年11月生