非线性时变结构随机地震响应最优多项式控制

彭勇波， 李　杰

(同济大学 土木工程防灾国家重点实验室,上海　200092)



非线性时变结构随机地震响应最优多项式控制

彭勇波， 李杰

(同济大学 土木工程防灾国家重点实验室,上海200092)

摘要：以随机地震动作用下具有Bouc-Wen滞回特性的非线性结构系统为受控对象，开展了最优多项式控制算法研究：包括系统矩阵中Maclaurin展开取初始零值衍生的具有时不变增益矩阵的控制律，和系统矩阵中Maclaurin一阶展开衍生的具有时变增益矩阵的控制律。研究表明，受控结构层间位移响应的变异性明显降低，结构的安全性显著提高。同时，基于时不变增益矩阵的控制律的控制效果在一定程度上受制于控制力施加的大小与系统稳定性之间的平衡关系，而考虑了每一个时间步位移和速度对增益矩阵影响、基于时变增益矩阵的控制律则能以较小的控制出力获得较好的控制效果。

关键词：多项式控制；增益矩阵；超越概率；非线性结构；时变

由于地震发生的时间、空间和强度具有明显的随机性，工程结构或系统在地震作用下的动力学行为将呈现显著的非线性特征，因此合理量化结构地震性态的随机性，在此基础上开展非线性结构随机最优控制研究具有重要的工程实践意义。Yang等[1]采用随机振动的等价线性化方法，研究了地震作用下隔震建筑的混合随机最优控制，其中地震动模型为过滤短时白噪声；Zhu等[2]基于随机平均方法和随机动态规划原理，提出了基于一维可控散射过程的随机激励滞回系统非线性随机最优控制策略。

基于物理随机系统理论框架的结构随机最优控制方法为结构性态的精细化控制提供了明确的思路，即结构随机最优控制策略的关键是控制律及控制器参数的确定，而相关概率准则恰恰依赖于结构反应性态[4]。在此基础上，本文以随机地震动作用下具有Bouc-Wen滞回特性的非线性结构系统为受控对象，开展了最优多项式控制算法研究：包括系统矩阵中Maclaurin展开取初始零值衍生的具有时不变增益矩阵的控制律，和系统矩阵中Maclaurin一阶展开衍生的具有时变增益矩阵的控制律。研究表明，基于时不变增益矩阵的控制律的控制效果在一定程度上受制于控制力施加的大小与系统稳定性之间的平衡关系，而考虑了每一个时间步位移和速度对增益矩阵影响、基于时变增益矩阵的控制律则能以较小的控制出力获得较好的控制效果。

1非线性系统随机最优多项式控制

对于均方有界随机激励下的多自由度非线性系统，其向量运动方程为

(1)

为将式(1)写为系统矩阵与状态向量分离的状态方程形式，需对非线性内力向量f[·]进行展开。通常展开为如下Maclaurin级数

(2)

对于一般非线性结构系统，位移状态量与速度状态量交叉乘积项的贡献远小于其他项，可以忽略；此外，当状态量为零时，非线性内力项一般为零。因此有

(3)

在状态空间，式(1)可写为

(4)

结构系统的初始条件为Z(t0)=z0，其中Z(t)为2n维状态向量；Λ(Z)为2n×2n维系统矩阵；B为2n×r维控制装置位置矩阵；D为2n×p维激励位置矩阵。

Λ(Z)=

(5)

式中:m表示Maclaurin级数的最高阶数(与非线性内力的最高阶数相同)，不难看出状态矩阵元素的展开项中(m+1)阶及更高阶均为零。

考虑激励随机性的影响，多项式性能泛函是一个关于初始和终端条件的随机变量[5]：

UT(t)RUU(t)+h(Z,t)]dt

(6)

式中:S(Z(tf),tf)表示终端性能；t0,tf为初始和终端时间；QZ为2n×2n维半正定状态权矩阵；RU为r×r维正定控制力权矩阵；h(Z,t)为性能函数的高阶项(三阶及以上)。

从式(6)可见，性能泛函的前两阶项即为经典的LQR控制。根据最优性原理推导Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程[6]，最优多项式控制力导出为方程

(7)

式中:P(t),Mi(t)分别为Riccati矩阵和Lyapunov矩阵方程，分别满足如下Riccati矩阵方程和Lyapunov矩阵

(8)

i=2,3,…,k

(9)

对于无限时间最优控制系统，若系统矩阵不依赖于时间时，Riccati矩阵和Lyapunov矩阵分别为方程(8)、(9)的稳态形式的解。而对于本文研究的问题：有限时间最优控制系统、系统矩阵依赖于时间，可以将数值积分步长小尺度时间上的系统矩阵视为不依赖于时间，因此，Riccati矩阵和Lyapunov矩阵近似为以下方程的解：

P(t)Λ(Z)+ΛT(Z)P(t)-

(10)

(11)

研究表明，采用一类基于超越概率的性态泛函准则，最优多项式控制器具有与LQR控制器相同的控制效果[5]。因此，本文采用如下LQR控制器形式

(12)

式中:G(t)为增益矩阵。

可以看到，Riccati矩阵与系统矩阵Λ(Z)相关、为时变矩阵。这表明，在给定优化设计的控制器参数(状态权矩阵QZ与控制力权矩阵RU)条件下，控制力U(t)的增益矩阵G(t)本质上是时变的。

为使增益矩阵可以离线计算，可以通过系统矩阵Λ(Z)取初始状态值z0得到[5]，即替换式(5)中Λ(Z)为Λ0：

Λ0=

(13)

此时，系统矩阵不依赖于时间，Riccati矩阵也与时间无关，式(12)中的增益矩阵G(t)为时不变矩阵。

本文旨在考察具有时变增益矩阵的控制律，因此需考虑系统矩阵与系统状态相关。为降低计算工作量，系统矩阵展开为Maclaurin级数的零阶和一阶项(二阶及以上截断)，即

Λt=

(14)

因此，采用系统矩阵式(14)，能够获得具有时变增益矩阵的控制律。

2参数优化的性态泛函准则

结构系统随机最优控制的关键是控制器参数的确定。采用基于超越概率的性态泛函准则[7]，进行控制器参数的优化与设计：

(15)

这里，状态向量(或其集合量)及控制力向量均受控于广义密度演化方程[4]

(16)

(17)

其中:Z(·)和U(·)分别为Z(·)和U(·)的分量形式。

给定初始条件

pZΘ(z,θ,t)|t=0=δ(z-z0)pΘ(θ)

(18)

pUΘ(u,θ,t)|t=0=δ(u-u0)pΘ(θ)

(19)

(式中:z0,u0分别为Z(t),U(t)的确定性初始值)，通过数值方法求解可得控制系统在任一时刻Z(·)和U(·)的概率密度函数

pZ(z,t)=∫ΩΘpZΘ(z,θ,t)dθ

(20)

pU(u,t)=∫ΩΘpUΘ(u,θ,t)dθ

(21)

式中:ΩΘ是Θ的分布域，θ是Θ的样本实现值，联合概率密度函数pZΘ(z,θ,t)、pUΘ(u,θ,t)分别为方程(16)、方程(17)的解。

一般情况下，概率密度函数 的分析解很难得到，因此通过数值方法求解是现实的选择。具体数值求解步骤可参见文献[8]。

3数值算例分析

考察具有构件滞回特性的八层剪切型框架结构，其受控系统的运动方程为

(22)

初始位移和初始速度设为0。式中:C为阻尼矩阵；Rt(X,z)为n维恢复力向量，包括弹性力和由滞变位移z=z(X)引起的滞回力，模型为双线型恢复力

Rt(X,z)=αK0X+(1-α)K0z

(23)

式中:α为构件屈服后K1刚度与屈服前刚度K0之比。

滞变位移z的函数表达决定了不同形式的滞回力模型，本文采用Bouc-Wen模型，滞变位移z分量为[9]

(24)

式中:h(z),v,η分别表示描述捏拢效应、强度退化和刚度退化的指标，均依赖于构件的非线性发展过程,一般与构件的能量耗散相关。能量耗散指标定义为

(25)

定义

η=1+δηε

(26)

v=1+δvε

(27)

(28)

式中:δv,δη分别为强度退化和刚度退化参数；zu为滞变位移分量极值

(29)

ζ1,ζ2均为捏拢效应参数

ζ1=ζs(1-e-pε)

(30)

ζ2=(ψ+δψε)(λ+ζ1)

(31)

根据式(13)，在状态空间导出时不变增益矩阵的系统矩阵为如下展开形式：

(32)

而根据式(14)，导出时变增益矩阵的系统矩阵为如下一阶展开形式

Λt=

(33)

采用主动锚索控制，控制装置沿层间满布。无控结构层质量和层间刚度分别为m1=m2= 1.0×105kg，m3=m4= 0.9×105kg，m5=m6= 0.9×105kg，m7=m8= 0.8×105kg；k1=k2= 3.6×101kN/mm，k3=k4= 3.2×101kN/mm,k5=k6= 3.2×101kN/mm，k7=k8= 2.8×101kN/mm。采用Rayleigh阻尼Ct=aM+bKt，a=0.01,b=0.005；由此，结构第一阶振动模态的阻尼比为1.05%；屈服前结构自振频率分别为3.64、10.40、16.46、22.45、27.91、31.89、34.68、36.81 rad/s。Bouc-Wen模型的参数为：α=0.01,A=1.0,β=140.0,γ=20.0,n=1.0,δv=0.002,δη=0.001,ψ=0.2,δψ=0.005,λ=0.1,ζs=0.95,q=0.25。层间位移、层间速度、层加速度和控制力的阈值分别假定为50 mm、500 mm/s、5 000 mm/s2和 200 kN。如前所述，控制器参数的确定即为权矩阵优化设计，假定如下形式[10]

(34)

采用基于物理的随机地震动模型[11]，随机地震动输入峰值加速度0.3 g，代表性地震波如图1所示。

首先采用系统矩阵式(32)进行时不变增益矩阵设计，基于超越概率的性态泛函准则优化获得控制器参数为：Qd=225.5，Qv=193.1，Ru=10-9。然后采用相同的控制器参数，由系统矩阵式(33)导出时变增益矩阵。

图1　0.3 g代表性地震波Fig.1 Typical seismic wave with PGA 0.3 g

图2　时变与时不变增益矩阵中Riccati矩阵的元素值Fig.2 Riccati element of time variant and time-invariant gain matrices

图2所示为时变与时不变增益矩阵中Riccati矩阵P(t)的第一个元素的值。可以看到，时不变增益矩阵的Riccati矩阵元素(Time-Invariant)不随时间变化，且相对于时变增益矩阵的Riccati矩阵元素(Time-Variant)总处于较高的值水平，这意味着前者可能实施更大的控制力。如图3所示，时变与时不变增益矩阵实施的层间控制力的极值均值沿层高的变化。可见，时变增益矩阵实施的控制力较小、且沿层高分布更均匀。

图3　时变与时不变增益矩阵实施的层间控制力的极值均值沿层高变化Fig.3 Mean of extreme inter-storey control force along height of structure with time-variant and time-invariant gain matrices

图4　最优控制前后时变与时不变增益矩阵对应的层间位移的失效概率沿层高变化Fig.4 Exceedance probability of extreme inter-storeydrift along height of structure with time-variant and Time-Invariant gain matrices

图4所示为最优控制前后时变与时不变增益矩阵对应的层间位移的失效概率(基于极值分布理论和广义密度演化方程求解[12])沿层高变化，可以看到，实施最优控制后结构的可靠度显著增大；与控制前相比，采用时不变增益矩阵(Time-Invariant)，除顶层外其余层间位移的失效概率得到了明显降低；而采用时变增益矩阵(Time-Variant)，较控制前各层层间位移的失效概率均得到了降低，且与时不变增益矩阵(Time-Invariant)比较，尽管各层的失效概率略大(顶层除外)，但失效概率沿层高分布更均匀。这表明，基于时变增益矩阵的控制律获得了更好的结构性态。

这是因为，基于时不变增益矩阵的控制律需平衡控制力施加的大小与系统的稳定性，而基于时变增益矩阵的控制律考虑了每一个时间步位移和速度对增益矩阵影响。因此，尽管后者在每一个时间步需耗时计算增益矩阵，但能获得更好的控制效果。(在当前的一般计算条件下，从传感器采集数据到增益矩阵计算、控制力信号输出仅需几十ms。)

图5所示为基于时变增益矩阵最优控制前后，结构底层层间位移在典型时刻的概率密度。从图中可以看到，实施控制后，结构层间位移响应的变异性明显降低，这表明结构的安全性显著提高，与最优控制前后底层层间位移失效概率的减小一致(如图4所示)。同时，响应概率密度的偏态和峰态较最优控制前也具有显著改善。

图5　最优控制前后结构底层层间位移在典型时刻的概率密度Fig.5 PDFs of inter-0-1-storey drift at typical instants of time with and without optimal control

图6　最优控制前后代表性地震波作用下结构底层层间滞回曲线Fig.6 Hysteretic curves of inter-storey 0-1 subjected to typical seismic wave with and without optimal control

图6所示为基于时变增益矩阵最优控制前后，某一代表性地震波作用下结构底层层间滞回曲线。可以看到，实施控制后，结构层间的耗能得到明显改善：构件运动往复区间范围变小、趋于平衡点附近，构件刚度退化不明显。

4结论

本文探讨了基于时变增益矩阵的非线性结构系统随机最优控制，开展了最优多项式控制算法研究：包括系统矩阵中Maclaurin展开取初始零值衍生的具有时不变增益矩阵的控制律，和系统矩阵中Maclaurin一阶展开衍生的具有时变增益矩阵的控制律。以随机地震动作用下具有Bouc-Wen滞回特性的非线性结构系统为受控对象，进行了锚索沿层高满布工况下的控制器增益设计与控制器参数优化。研究表明：基于时不变增益矩阵的控制律的控制效果在一定程度上受制于控制力施加的大小与系统稳定性之间的平衡关系，考虑了每一个时间步位移和速度对增益矩阵影响、基于时变增益矩阵的控制律则能以较小的控制出力获得较好的控制效果。实施控制后，结构层间的耗能得到明显改善，构件运动往复区间范围变小、趋于平衡点附近，构件刚度退化不明显。

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基金项目：国家自然科学基金资助项目(51108344)；土木工程防灾国家重点实验室探索性研究课题资助项目(SLDRCE14-B-20)

收稿日期：2014-12-01修改稿收到日期：2015-04-17

中图分类号:O232；TB114.2

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.033

Optimal polynomial control for random seismic response of non-linear time-varying structures

PENG Yong-bo, LI Jie

(State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract:The physically-motivated stochastic optimal control is proved to be efficient in performance improvement and risk mitigation of engineering structures. Here, the polynomial control method considering time-variant gain parameters for physical scheme ruling nonlinear stochastic systems was presented. The exceedance probability of structural states and control force served as the critical argument of probabilistic criterion, whereby the parameter optimization of control policy could be readily achieved. A randomly base-excited shear frame structure with Bouc-Wen behaviors was used as the object for control test. Numerical results indicated that using the proposed stochastic optimal control schemes, the variation of inter-storey drift of the structure decreases significantly, and the structural safety is enhanced obviously; the benefit of optimal polynomial control with time-invariant gain parameters is enslaved to the balance relation between system stability and control force, while the optimal polynomial control with time-variant gain parameters involves the contributions of structural velocity and displacement to the gain matrix at each time step, it results in a better structural performance with a smaller control force.

Key words:polynomial control; gain matrix; exceedance probability; nonlinear structures; time-variant

第一作者 彭勇波 男，博士，副研究员，1978年生