一道原创几何题的设计与解析

余学军

【原创试题】矩形ABCD中，AB=6，AD=n，点E以每秒2个单位的速度从A向D点运动，同时点F以每秒1个单位的速度从C向B点运动，当其中一点到达终点时两点同时停止运动，以BF为直径的半圆O交BE于G，交EF于H，设两点运动的时间为t秒.

如图1，当∠BHG=30°时，填空：∠EBC= 度；AE长为 。

如图2，当n=13，并且AG与半圆O相切时，求t的值。

（3）如图3，当EF平分∠BED，并且△EGH面积等于3时，求n的值。

【参考答案】解：

（1）∠EBC=60°，AE=2 .

（2）解法一：连接OA交BG于M，

【难度值】0.35

【设计思路】本题在矩形的框架内揉合了圆、等边三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的相关知识，涉及到圆周角定理及推论、等边三角形的判定和性质、三角函数、切线的判定与性质、等腰三角形“三线合一”性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、 勾股定理、三角形的面积公式、三角形中线的性质、线段的和差关系等知识点。需要学生应用分析、综合、转化、方程的数学思想方法，着力于检测学生的观察、想象、推理、运算等核心能力。

【专家点评】试题文字叙述简炼且表述清楚，图形规范美观但线条简洁。提问角度合乎常规，解法多样而且经典。试题兼顾到基础性和发展性，侧重于选拨功能，主要考查学生的综合素质。第一问就图形的一个局部提问，非常直观，模糊了题干中的变量，仅需简单转化即可解决。第二问通过给n赋值，减少运动中的参变量，使问题变得单纯，只需一条辅助线，就可找出相似，进而解决问题。第三问放眼全局，在两个变量之下，就图形演变中的又一个巧妙时点，通过一个较为隐蔽的条件提问，让学生经历观察、猜想、验证，综合运用三角形和圆的多方面知识，结合转化、方程的思想方法寻找破解之法。

本题的价值不仅在于环环相扣、层层渐进的精彩设问，更在于其本身突出的展示着“从特殊到一般”的思想策略。整个试题由简单到复杂、由单一到综合，梯度合理、拓展适度，符合学生的认知规律，具有良好的效度和区分度。

【说明】本题于2016年4月在湖北省宜昌市教科院组织的原创命题大赛中获奖。