基于惩罚和收益共享联合契约的三级供应链协调策略研究

张武康��郭立宏��郭福利

摘要：供应和需求的不确定会影响供应链的有效运作。本文基于惩罚和收益共享联合契约对由单个生产商、分销商和零售商构成的三级供应链协调问题进行了研究。研究表明，在惩罚契约状态下，供应的不确定性得到了降低，且生产商和分销商的收益均得到了提高；在收益共享契约状态下，分销商和零售商的收益均得到了提高，但无法降低供应的不确定性；在惩罚和收益共享联合契约下，不但提高了供应的可能性，同时也减弱了需求的不确定性，供应链整体收益及各成员收益均得到了提高。

关键词：供需不确定；三级供应链；契约；协调策略

中图分类号：F274文献标识码：A1引言

市场需求的多样化、个性化愈来愈突出，造成供应链上游无法满足下游需求的不确定性不断增加，供应不确定将影响到下游的生产和服务活动，最终影响到市场需求的满足，从而导致供应链整体利益受损，在季节性商品方面表现尤为突出。

当前，关于供应链面临不确定的研究大多集中在需求或供应某一方面，如Zhang等[1]研究了需求不确定性下供应链生产计划的协调问题。Georgiadis等[2]研究了需求不确定下供应链网络具有变化性的特点，并进行了优化设计。Baghalian等[3]通过案例分析了需求中断和不确定性下的供应链网络设计。Gurnani等[4]，马士华等[5]研究了供应商产出量不确定和需求确定情况下装配供应链的协同问题。也有学者对供需不确定下的供应链协调问题进行了研究，如Hsieh等[6]研究了在需求和供应都具有不确定性下的供应链的产量分配、排序和定价决策问题。He等[7]则在供应和需求都不确定下，研究了供应链有限产能的协调问题。吴忠和等[8]对需求和零售商购买成本同时扰动的供应链应急协调进行了研究。上述研究深化了对供应链协调的研究，但在供应链协调策略上没有体现惩罚和利益机制的运用。为此，本文将以常见的“生产商—分销商—零售商”三级供应链为对象，基于惩罚和收益共享联合契约探讨上游供应和下游需求均不确定下的三级供应链协调问题。

2问题描述和基本假设

2.1问题描述

选择由单个生产商、分销商、零售商构成的三级供应链为研究对象。基本流程如下：面对市场需求，零售商向分销商订购产品，分销商制定单位销售价格，在此基础上，零售商依据市场需求信息和其风险态度确定订购数量和单位市场销售价格。分销商不能独自满足零售商的订购需求时，将超出部分转包给生产商，但是生产商的能力供应具有不确定性。探讨此种情形下的供应链协调问题。

张武康，等：基于惩罚和收益共享联合契约的三级供应链协调策略研究

Vol.34， No.2预测2015年第2期

2.2基本假设

为便于研究，基本假设如下：

（1）生产商持有正常的产能供应v，用于满足下游客户的需求，客户需求呈随机分布且相互独立，用随机变量y～U[α，β]（0αβ1）表示，其密度函数、分布函数分别为fY（y）、FY（y）。为使单位缺货损失cs最低，生产商准备额外的产能η，并假设额外产能比正常的产能具有优先性，且η为决策变量，单位产品的销售价格统一为pS2。正常产能的单位成本为c0，额外产能的单位成本为ca，单位空闲成本为h。其中c0

（2）分销商拥有产能供应μ，单位销售价格为pS1，单位成本为cS1。分销商向生产商的订购数量为QS1。分销商与零售商间信息不对称。零售商向分销商的订购数量为QR，且具有价格敏感性，即QR=Q（pS1）。QR=Q（pS1）是pS1的凹函数（即满足Q′（pS1）<0和Q″（pS1）>0）。分销商的单位产品成本比转包成本（生产商单位产品销售成本pS2）要小，即cS1

（3）零售商面临价格敏感性的市场需求x，密度函数为fX（x），分布函数为FX（x），期望市场需求量为m（pR）=Dp-kR。其中pR是零售商制定的单位零售价格，D>0是常量，k>1为固定的价格弹性系数，这种随机需求模型在考虑价格敏感性市场需求的研究中较为常见[9，10]。

此外，假定销售期末残值为零。

3分散状态下供应链的决策行为分析

依据上述假设可知，生产商的期望收益函数为

E[πS2（η）]=∫（QS1-η）/vα（pS2（η+vy）-c0vy-caη）fY（y）dy+

∫β（QS1-η）/v（pS2QS1-c0（QS1-η）-caη-h（η+vy-QS1））fY（y）dy（1）

由于生产商供应的不确定性，QS1不一定完全被满足，所以分销商的收益函数应为

πS1（pS1）=pS1min{QR，μ+η*+vy}-cS1min{QR，μ}-

pS2min{max{QR-μ，0}，η*+vy}（2）

其中η*为生产商最优额外产能，由于生产商与分销商间信息不对称，不能将η*带入（2）式。

零售商有风险偏好时，可用z=QR/m（pR）度量其风险态度水平[11]，零售商的期望收益函数为

E[πR（pR，QR）]

=pR∫zm（pR）0（1-FX（x|pR））dx-pS1zm（pR）（3）

令t=x/m（pR），ε=∫z0（1-FT（t））dt，可以将E[πR（pR，QR）]改写为

E[πR（pR，QR）]=D（pR）-k（pRε-pS1z）（4）

对（4）式求关于pR的一阶导数可得

dE[πR（pR，QR）]dpR=D（pR）-1-k（（1-k）pRε+kpS1z）

令其等于零可得零售商最优销售价格p*R=（kpS1z）/（（k-1）ε），则零售商的最优订购量为Q*R=zD·（kzpS1/（k-1）ε）-k。当零售商的订购数量超出分销商的供应能力时，分销商将QS1=Q*R-μ转包给生产商。然而生产商供应的不确定可能造成其无法满足零售商的订购量Q*R，所以零售商的期望收益有可能小于E[πR（p*R，Q*R）]。

根据上述假设，当接到转包数量QS1=Q*R-μ时，生产商将确定额外能力的最优值η*以使其期望收益最大化。可得定理1。

定理1生产商的期望收益函数E[πS2（η）]是额外能力η的凹函数

从式d2E[πS2（η）]dη2=-pS2+h-c0v（β-α）可得

dE[πR（η）]/dη

是η的减函数，当η*0时，η*=QS1-v（pS2α+ca·（β-α）+（h-c0）β）/（pS2+h-c0）是满足

dE[πS2（η）]/dη=0

的最优值，且可得当转包数量增大时，生产商会准备更多的额外能力。

将η=η*代入式E[πS2（η）]可得

E[πS2（η*）]=12（β-α）{2QS1（pS2-ca）（β-α）-

pS2v（θ-α）2+v[2ca（β-α）θ+

2c0（θ2-（α+β）θ+α2）-h（β-θ）2]}

其中θ=[pS2α+ca（β-α）+（h-c0）β]/（pS2+h-c0）。可得E[πS2（η*）]是QS1的增函数，转包数量的增加，生产商的期望收益也随之增加。生产商的额外能力最优值为η*，则

Pr{y<（QS1-η*）/v}=FY（pS2α+ca（β-α）+（h-c0）βpS2+h-c0）

可知，生产商不能满足分销商转包需求量QS1的可能性是固定的，而且与QS1无关。所以在分散状态下，分销商将不会努力去消除生产商供应的不确定性，从而也无法满足零售商的不确定性需求，导致整个供应链收益受损。

4协调状态下供应链的决策行为分析

有效的协调机制可以提高供应链整体及各成员企业的收益，假设分销商为供应链中的主导企业探讨供应链的协调模型。

4.1分销商和生产商间的协调模型

当生产商不能满足分销商的需求时，将面临缺货惩罚且单位缺货成本为cs。考虑惩罚措施时，则生产商的期望收益函数为

E[πIS2（η）]=∫（QS1-η）/vα（pS2（η+yv）-c0vy-caη）fY（y）dy+

∫β（QS1-η）/v（pS2QS1-c0（QS1-η）-

caη-h（η+vy-QS1））fY（y）dy-

cs∫（QS1-η）/vα（QS1-η-vy）fY（y）dy（5）

在协调状态下，生产商的目标是确定η的最优值以使E[πIS2（η）]最大化。因为E[πIS2（η）]是η的凹函数，如定理2，生产商η的最优值可通过dE[πIS2（η）]/dη=0求得。

ηI=QS1-vpS2α+ca（β-α）+（h-c0）β+csαpS2+h-c0+csQS1>0和ηI>00其它（6）

定理2生产商期望收益E[πIS2（η）]是额外能力η的凹函数，且存在唯一最优解。

生产商的最优期望收益函数为

E[πIS2（ηI）]=12（β-α）{2QS1（pS2-ca）（β-α）-p0v（θ-α）2+v[2ca（β-α）θ+

2c0（θ2-（α+β）θ+α2）-

h（β-θ）2-cs（θ-α）2]}（7）

（7）式中，θ=[pS2α+ca（β-α）+（h-c0）β+csα]/（pS2+h-c0+cs）。可得当QS1取同样的值时，cs趋向0，额外能力ηI的表达式与η*一样，即E[πIS2（ηI）]=E[πS2（η*）]。

从分销商的角度来讲，因为dηI/dcs=v（h+ca-c0）（β-α）/（pS2+h-c0+cs）2>0，所以当给定转包数量QS1时，cs值的增加将致使满足QS1的可能性1-FY·（（QS1-ηI）/v）提高，从而降低生产商供应的不确定性。另一方面，由于dE[πIS2（ηI）]/dcs=-（v/2）（h+ca-c0）2（β-α）/（pS2+h-c0+cs）<0，当给定QS1时，单位缺货成本cs值的增加将导致生产商最优期望收益的降低。

然而，由于dE[πIS2（ηI）]/dQS1=pS2-ca>0，可知生产商的最优期望收益函数是QS1的增函数。所以，QS1增加带来的收益可以弥补生产商的缺货损失，生产商将接受分销商提供的协调契约。

与分散状态下相比，QS1的增加保证了生产商和分销商协调，降低了供应的不确定性。协调状态下，分销商的期望收益函数为

E[πIS1（pS1）]=∫（QR-μ-ηI）/vα（pS1（ηI+vy+μ）-

cS1μ-pS2（ηI+vy））fY（y）dy+

∫β（QR-μ-ηI）/v（pS1QR-cS1μ-

pS2（QR-μ））fY（y）dy+

cs∫（QR-μ-ηI）/vα（QR-μ-ηI-vy）fY（y）dy（8）

令dE[πIS1（pS1）]/dpS1，可得使分销商期望收益最大化的单位销售价格最优解满足

pIS1=pS2-（QR（pIS1）-v（θ-α）22（β-α））/QR′（pIS1）

其中θ=（pS2α+ca（β-α）+（h-c0）β+csα）/（pS2+h-c0+cs）。可知当cs=0，分销商的最优期望收益大于或等于其分散状态下的最优期望收益。此外，在生产商共享正常供应和额外能力信息的基础上，分销商通过调整QS1可以制定一个更合理的决策。

4.2分销商和零售商间的协调模型

在分销商和零售商间建立基于收益共享契约的协调模型，分销商以低于单位平均成本的销售价格pIIS1给零售商，为了达到协调的目标，零售商将其收益与分销商共享，将其收益的（1-ξI）部分返还给分销商，其中ξI为收益共享系数，且0<ξI<1。当分销商与零售商协调时，联合收益函数为

πIIS1R（pR，QR）=pRmin{x，QR}-cS1min{QR，μ}-pS2max{QR-μ，0}

（9）

当QRμ时，联合期望收益函数为

E[πIIS1R（pR，QR）]=∫QR0（pRx-cS1μ-pS2（QR-μ））fX（x|pR）dx+

∫∞QR（pRQR-cS1μ-pS2（QR-μ））fX（x|pR）dx（10）

在协调模型中，需要满足式E[πIIR（pR，QR）]+E[πIIS1（pIIS1）]=E[πIIS1R（pR，QR）]，由此可得pIIS1=ξIpS2，这与文献[10]的研究结论是一致的。进一步可得，零售商的期望收益函数为

E[πIIR（pR，QR）]=ξIE[πIIS1R（pR，QR）]（11）

分销商的期望收益函数为

E[πIIS1（pIIS1）]=（1-ξI）E[πIIS1R（pR，QR）]（12）

与p*R求解过程相同，可得零售商的最优零售价pIIR=（kzp0）/（（k-1）ε）。其中ε=∫z0（1-FT（t））dt，相应的订购数量为QIIR=zD（pIIR）-k。

在分销商和零售商之间的协调模型中，需满足E[πIIS1（pIIS1）]>E[πS1（p*S1）]和E[πIIR（pIIR，QIIR）]>E[πR（p*R，Q*）]同时成立。将（11）式和（12）式代入上述不等式可求得收益共享系数ξI取值范围为

E[πR（p*R，Q*）]E[πIIS1R（pR，QR）]<ξI<1-E[πS1（p*S1）]E[πIIS1R（pR，QR）]

ξI 的取值需分销商和零售商协商决定。

尽管零售商的订购数量增加，但是分销商面临的供应不确定性却未改变，因此最优联合期望收益未必能实现。

4.3供应链的协调模型

为同时解决供需的不确定，将上述两个协调模型综合起来，构建整个供应链的协调模型。在协调模型中，生产商的期望收益函数E[πIIIS2（η）]和额外能力决策ηIII分别等于E[πIS2（η）]（（5）式）和ηI（（6）式）。分销商和零售商的联合期望收益函数E[πIIIS1R（pR，QR）]是销售收入和生产成本的差额与生产商缺货成本之和。生产商的正常能力信息和额外能力决策与分销商的转包数量相适应。QRμ时，分销商和零售商的联合期望收益函数为E[πIIIS1R（pR）]=pR∫θα[m（pR）∫z-（θ-y）v/m（pI）0（1-FT（t）dt）]·

1β-αdy+pR∫βθm（pR）ε1β-αdy-cS1μ-pR·

[∫θα（vy+ηIII）1β-αdy+∫βθ

（QR-μ）1β-αdy]+

cs[∫θα（QR-μ-αv-ηIII）1β-αdy]（13）

其中QR=zm（pR）和t=x/m（pR），θ=（pS2α+ca（β-α）+（h-c0）β+csα）/（pS2+h-c0+cs），ε=

∫z0（1-FT（t））dt。便于计算，令r=v/m（pR），其中pR是r的函数。

pR=（Dr/v）1/k（14）

在（13）式中，用r替代v/m（pR）之后，给定不同的r值，r将导致满足收益最大化的pR的取值变化。由于在最优单位零售价pIIIR下，满足E[πIIIS1R（pR）]最优的比率的值为rIII=v/m（pIIIR），对pR为最优零售价pIIIR的充分必要条件是r等于v/m（PR）。

定理3对于给定的r，分销商和零售商的联合期望收益E[πIIIS1R（pR）]是pR的单峰函数。

当给定r时，pR是满足期望收益最大化的最优零售价，找到一对（pR，r）同时满足（14）式和式dE[πIIIS1R（pR）]dpR=0。由于在（14）式中pR是r的增函数，在式

pR=k[2zpS2（β-α）-r（pS2+cs）（θ-α）2]2（k-1）[（β-θ）ε+∫θα∫z-r（θ-y）0（1-FT（t））dtdy]

中pR是r的减函数，两个函数存在交叉且交叉点的单位零售价是最优零售价pIIIR。

当pIIIR确定时，零售商的订购数量为QIIIR=zD·（pIIIR）-k，生产商的额外能力决策为ηIII=QIIIS1-v（pS2α+ca（β-α）+（h-c0）β+csα）/（pS2+h-c0+cs）。从分销商的角度来讲，因为dηIII/dcs=v（h+ca-c0）·（β-α）/（pS2+h-c0+cs）2>0，当给定分销商转包数量QS1时，单位缺货成本cs值的增加将致使满足QS1的可能性1-FY（（QS1-ηm）/v）提高，从而降低供应的不确定性。

在供应链协调模型中，分销商和零售商间基于收益共享契约的协调模型中，分销商以低于单位成本的销售价格pIIIS1提供给零售商，零售商将其收益的（1-ξII）部分返还给分销商，0<ξII<1。与收益共享参数ξI的求解过程一致，可求得ξII的取值范围为E[πR（p*R，Q*）]E[πIIIS1R（pR）]<ξII<1-E[πS1（p*S1）]E[πIIIS1R（pR）]。

5结论

本文对供需均不确定下的三级供应链协调问题进行了研究。针对供应不确定，构建了基于惩罚契约的分销商和生产商间的协调模型，研究得出当分销商实施惩罚措施时，转包需求量增加带来的收益可弥补生产商的缺货损失，生产商将接受惩罚契约，并降低其供应的不确定性。针对需求不确定，构建了基于收益共享契约的分销商和零售商间的协调模型，研究得出与分散状态下相比，零售商的订购数量，以及分销商和零售商期望联合收益均增加，但生产商不能满足需求的不确定性却未改变。在此基础上，构建了基于惩罚和收益共享联合契约的协调模型，研究得出在该协调模型中，降低了供应的不确定性，同时减弱了市场需求不确定带来的影响，实现供应链整体收益的提高，并保证各成员企业的收益均得到了提高。

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文章编号：10035192（2015）02007606doi：10.11847/fj.34.2.76