浅谈函数极限的定义解法

李航

极限是高中数学中比较重要的数学思想，同时也是大学中研究数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，比如函数的连续性、导数、圆内接正多边形的面积等问题都牵扯到极限的方法。而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法。更好地理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学的关键。

高中极限知识是从推理与证明中的数学归纳法引入的，数学归纳法让我们接触到了极限的思想，其主要的概念为：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立，一般情况下n0取值为1或2，但也有特殊情况，例如我们在研究多边形内角和公式的时候n从3开始；（2）假设当n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合以上两点可得对于一切自然数n命题都成立。在求函数在某一点x0处的瞬时变化率的问题中，一般取x0所在的一个区间，当我们逐渐减小区间的长度时，它在这个区间的平均变化率趋近于某一个固定的常数，这一常数就称为在此点的瞬时变化率也就是函数在此点的导数，即f′（x）=这些思想都与函数极限的思想相吻合。下面介绍一下用函数极限的定义解有关函数极限问题：

一、函数极限定义

1.x趋于∞时函数的极限

设f（x）为定义在[a，+∞）上的函数，A为定数，若对于？坌ε>0，都存在一个整数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|<ε，则称函数f（x）当x趋于+∞时以A为极限，记作f（x）=A或f（x）→A（x→∞）。

这里的正数M与数列极限定义中的N相类似（数列极限定义：？坌ε>0，？埚自然数N，当n>N时，有|xn-a|<ε，则xn=a），表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n，因此，当x→+∞时函数f（x）以A为极限意味着：A的任意小领域内比含有f（x）在+∞的某领域内的全部函数值。如果设f（x）为定义在U（-∞）或U（+∞）上的函数，当x→-∞或x→+∞时以A为极限，分别记作：

通过以上的例子，我们对于用定义法求函数极限有一定的理解，值得注意的是：

（1）定义中的正数δ，相当于数列极限ε-N定义中的N，它依赖于ε，但也不是由ε所唯一确定，一般来说，ε越小，δ也相应地要小一些，而且把δ取的更小些也无妨。

（2）定义中只要求函数f（x）在x0的某一空心领域内有定义，而一般不考虑f（x）在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值，这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势，如在例3中，函数在|f（x）-A|<εx=1处是没有定义的，但当x→1是f（x）的函数值趋于一个定数。

（3）定义中的不等式0<|x-x0|<δ等价于x∈Uo（xo；δ），而不等式等价于f（x）∈U（A；ε），于是，ε-δ定义又可以写成：对于∈U（xo；δ）使得对一切x∈U（xo；δ）有f（x）∈U（A；ε）。或？坌ε>0，？埚δ>0使得f（U0（xo；δ））？奂U（A；ε）。

用函数极限的定义解有关函数极限问题只是用极限思想解众多题型中的一种，在使用时一定要牢记定义和使用方法。当然了，仅仅熟记公式犹如纸上谈兵，必须要多做题目进行巩固。在高中时，教师一定要将这种思想贯穿于教学中，让学生对极限有一定的了解，激发学生探索极限思想的兴趣，为进入大学深入地研究极限打下坚实的基础。

（作者单位：安徽省涡阳第五中学南校）