向量教学要有结构性与逻辑性

王娜

[摘 要] 在平面向量等内容的教学当中，概念多且层次感不是很强，学生掌握得也不是很好. 同时学生对向量的认识折射出高一的教学存在很大的问题：学生的机械记忆来源于我们对向量概念教学的不到位，没能使学生真正理解，因此导致学生对向量的认识只停留在套用公式的浅层认识上. 其原因是在讲概念的过程当中，只注重了概念本身的描述，忽视了概念之间的结构性与逻辑性. 这说明向量教学要有结构性和逻辑性.

[关键词] 平面向量；物理背景；实数类比

[?] 问题提出

在平面向量等内容的教学当中，概念多且层次感不是很强，学生掌握得也不是很好. 如2008年王宽明在《高中学生运用平面向量解决问题的影响因素分析》和2011年陆燕的《新课改下高中向量的教学研究》通过调查得出，学生对向量的认识折射出高一的教学存在很大的问题：学生的机械记忆来源于我们对向量概念教学的不到位，没能使学生真正理解，因此导致学生对向量的认识只停留在套用公式的浅层认识上. 在笔者的教学当中也发现了同样的问题. 分析其原因是在讲概念的过程当中，只注重了概念本身的描述，忽视了概念之间的结构性与逻辑性. 由此，向量教学要有结构性和逻辑性.

平面向量的特征

《课标》指出：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景. 在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述与解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.

1. 平面向量的起源——丰富的物理背景

英国数学家哈代曾说：“还没有哪个数学家纯到对物理世界毫无兴趣的地步”，所以说，数学和物理学的关系在中学阶段应该得到重视和发展，事实上一个良好的物理学习是学生对数学产生兴趣和学好数学的重要因素，尤其到今天，数学和物理学的关系是有目共睹的. 而向量在力学中的应用即使在中学阶段也是不难发现的. 使学生尽早地认识到数学与物理世界的紧密关系，不仅可以增强学生学习的兴趣，同时也使学生认识到数学伟大的社会性.

2. 向量的运算——代数学的基本研究对象

向量可以进行加、减、数乘、数量积（点乘）、向量积（叉乘）等多种运算，这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构，使得向量具有一系列丰富的性质. 向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象.

3. 平面向量的应用——代数几何的完美结合

向量是一个具有几何和代数双重身份的概念，同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构，通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系，也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础. 这方面的案例包括平面几何、立体几何和向量解析几何.

平面向量教学的结构性与逻辑性

针对向量的三个特征，要有结构性和逻辑性地安排平面向量章节的教学.

1. 以物理背景为主线教学

向量的每一个定义都有其物理背景，所以以物理背景为主线进行教学，可以让知识之间更具备结构性.

如，以力、位移等矢量为背景引入向量的定义，以位移为例讲解有向线段的三要素，以位移的合成为背景讲解向量的加减法的三角形法则，以力的合成为背景讲解平行四边形法则，以轮船过河为背景深化向量的加减法法则.

如，以自由落体的速度公式vt=gt体会向量数乘运算的存在，也可以位移的倍数或者速度的倍数为背景体会位移的倍数依然是位移，速度的倍数依然是速度. 这样可以使学生对向量的数乘运算的结果仍然是一个向量有直观的认识.

在引入向量的数量积运算时，可以力做的功为背景. 一个物体受到力F的作用，如果在力的作用方向上发生一段位移s，我们就说这个力对物体做了功.如果力F的方向与位移s的方向相同，功的大小就等于力的大小F与位移s大小的乘积，即Fs. 如果力F的方向与位移s的方向成θ角，那么与位移s方向相同的分力为F1=Fcosθ，物体在力F1的方向上产生了位移s，因而对物体做的功为F·scosθ. 总之，力所做的功是一个标量，它是由两个向量——力和位移所决定的，这正是向量的数量积的意义. 在引入向量的一些运算律时，也可以力做功为背景.当力扩大几倍时，力所做的功也相应扩大几倍，得出向量的数乘运算与数量积运算满足结合律：（λa）·b=λ（a·b）；两个力的合力所做的功等于这两个力分别所做的功的和，向量的加法运算满足分配律：（a+b）·c=a·c+b·c. 具体如表1：

2. 与代数学中研究数集的类比进行教学

在研究数集的过程中，0和1是最特殊的数，要进行特殊的研究，如0与任何实数a相加都等于a，0与任何实数相乘都等于0，1与任何实数相乘都等于这个实数. 同理，整数之间进行的加、减、乘的运算是封闭的，也就是运算之后依然是整数，但整数之间除的运算是有理数集. 把数集研究的这些方法和性质，类比到向量的教学，可以使向量的每一个定义都顺理成章，并且具备内在的逻辑性，不至于显得那么零散. 在讲解向量定义之后，自然就要研究特殊的向量，零向量和单位向量，继而研究向量之间的加法和减法以及数乘和其运算定律. 可以发现这两个不同的代数结构在本质上是相同的，即有类似的运算和运算法则. 不同的只是两个代数结构的元素有所区别. 可见从进一步抽象的角度来看，无论是向量代数系统还是我们熟悉的实数代数系统都是某一个更一般或更抽象的数学模式——欧几里得空间在一定情况下的特例而已. 如表2：

3. 从几何方面理解向量

向量的知识点之间也是有内在的逻辑联系的，找到各知识点之间的联系，可以强化知识体系，让学生更好地理解向量的本质.

向量是具有大小和方向的量，于是向量只有平移和旋转的两种变化方式.根据向量有自由向量的特征，使得向量在平移的过程当中是不变的. 于是在平移的基础上，得到了向量加减法的三角形法则和平行四边形法则. 在平移的过程中若模发生变化，则产生向量数乘的定义. 在学习了数乘和向量的加减法之后，将其结合在一起就引入了平面向量基本定理. 在确定了两个基底之后，将线性运算与坐标进行了结合，得到了平面向量的坐标表示. 以上都是平移的应用，但是向量之间的旋转呢？这就引入了平面向量的数量积，完成向量由平移到伸长到旋转的过程.

从几何的角度来说，几何解决的就是平行，旋转以及旋转中特殊的垂直问题. 向量是研究几何的有效工具，我们可以利用向量的数乘及向量的加减法来研究几何问题. 但是会出现向量个数太多的问题，平面向量基本定理解决了这个问题. 在众多基底当中，发现两个互相垂直的单位向量为基底更具备优势，引入了向量的坐标运算，这与实数和坐标轴的关系一样. 引入了向量的数量积则解决了所成角的问题.

综上，在向量的教学当中注重知识的结构性和逻辑性可以让学生从本质上理解知识之间的联系，同样的教学方式也可以应用到集合等概念的教学当中，从而形成良好的知识体系. 让学生将知识点纵向穿成线，再横向连成网，学习中只要触碰到一个知识点就会引起对横纵向知识点的思考，对于学生思维的培养和数学的应用起到不可估量的作用.