局部耦合分段线性不连续映象格子的空间特性

杜伟伟　汪超　彭敏（新疆工程学院基础教研部，新疆乌鲁木齐830000）



局部耦合分段线性不连续映象格子的空间特性

杜伟伟汪超彭敏
（新疆工程学院基础教研部，新疆乌鲁木齐830000）

摘要：研究了一维不连续分段线性映象构成的局部耦合映象格子的动力学特征。发现了扭结-反纽结结构、轮换结构以及类反铁磁结构。借助相空间的二维投影，讨论了由周期到混沌的转变过程。计算了参数空间的最大李雅普诺夫指数谱。

关键词：不连续分段线性映象；局部耦合映象格子；类反铁磁结构；投影图

Abstract:This paper studies the dynamics of a coupled one-dimensional discontinuous piece-wise map lattice and finds the kink-ant kink patterns，cycle grafts and the antiferro-like structures. The transition from the periodic motion to chaos is discussed with the help of the 2D projection of the phase space and the maximum Lyapunov spectrums in parameter space are calculated.

Keywords:discontinuous piece-wise linear map；local coupled map lattice；kink-antikink structures；antiferrolike structures；projected charts

引言

非线性时空动力学系统是一个重要的研究课题。研究较为成熟的时空系统模型主要有：耦合常微分方程、元胞自动机、以及耦合映象格子［1］。而耦合映象格子模型则优于前两者，它是由金子邦彦等人提出的，它将系统的时间和空间离散化，并保持状态变量连续变化。耦合映象格子可以反映许多实际系统的动力学特征，例如：约瑟夫逊节阵列、多模激光、流体力学系统、生物系统、人工神经网络等系统中的同步、斑图形成、时空混沌、以及时空阵发等现象。近年来利用耦合映象格子模型研究时空混沌越来越受到重视。人们对于连续映象的耦合映象格子进行了较充分地研究，并就其时空动力学得到如下六种模式：冻结化随机图案模式、图案选择模式、缺陷混沌扩散模式、缺陷湍流模式、图案竞争阵发混沌模式以及完全发展湍流模式等。

在耦合映象格子研究中几乎很少看到格点上的动力学系统用不连续映的例子。实际上，不连续映象反映了许多实际系统的动力学，已经引起了研究者的高度重视。由于不连续性中存在轨道不能到达的禁区，因而会出现非常不同的新动力学特征，例如：V型阵发、映孔导致激发、V型阵发前的多重魔梯等现象。一个很自然的推广就是耦合不连续映象格子，研究其中的新的时空动力学现象应该是一个有意义的尝试。本文将采用屈世显等研究映孔导致激发时所提出的分段线性既不可逆又不连续映象作为耦合映象格子的动力学单元，研究在局部耦合方式下映象格子系统的时空动力学。

一、耦合映象格子模型与分段线性映象

耦合映象格子是研究时空混沌问题的有效模型，它具有如下优点：首先，它基于对时空系统的半宏观描述，数值模拟计算效率很高；其次，计算的高效率使得我们可能对参数空间进行扫描，从而得到随系统参数变化的各种时空行为的转化规律，甚至得到整个参数空间的相图；第三，在耦合映象格子模型的理论研究中，低维动力系统理论的一些结果可能得到直接推广。

根据具体研究问题的不同，通常使用不同的耦合方式，主要有：局部耦合映象格子、全程耦合映象（神经网络问题）、开流的耦合映象格子（开流问题），以及二维耦合单峰映象格子、三维甚至到无穷维的耦合映象格子。

本文所涉及的局部耦合映象格子模型分别为：

xn+1（ i） = f（ xn（ i）） + D（（ f（ xn（ i+1）） + f（ xn（ i -1）））/2 -f（ xn（ i ）））.

其中i=1，2，…，N是代表具有周期性边界条件Xn（N+1）= Xn（1）的一维格子的格点。N选为100。

本文选择函数f（x）为分段线性映象。解析表达式如下，图像如图1所示。

xn+1= fi（ xn） = ki· xn+ bi,i=1～4.

图1　线性分段映象图像

图2　不连续分段线性映象的分岔图

图3　空间振幅变化图

x∈［xF，xG］，i=4.

其中所涉及的参量为：yA=0.203921，yC=0.46，yG=yA，xA=0，xb=0.107663，xg=0.35 xF=0.497121，xG=1，k3=3.07055，b3=-0。530165，k4=0.405507，b4=-0.201586。其中yb是系统的控制参量。图2是此映象的分岔图，对于本文的研究工作发挥了重要作用。

二、扭结-反扭结图形、轮换图形与铁反铁磁结构

在局部耦合不连续分段线性映象格子中，系统状态受映象参量yb与耦合强度D的影响。当yb位于周期解区间，耦合作用可使系统失去周期性而转变为混沌。与之相反，当yb位于混沌状态的参数区间时，系统却可能出现由混沌到周期为的转变（如图4）。

当yb的取值位于不连续分段线性映象出现周期吸引子的区域时，耦合映象格子出现两种典型图象：空间振幅变化图中的扭结反扭结图形与轮换图形。所谓扭结反纽结图形是指在同一个时间步中，空间被分割为不同的区域（如图3a中的平直区间）。同一区域中各个格点的动力学变量相同，处于相同的状态。而相邻区域的格点处于两个不同的状态。图3（a）是映象参量yb=0.9，格点间的耦合强度D=0.3时的空间振幅变化图，此时单映象通过分岔图可以观察为周期二状态，状态值为0.14和0.84的两个状态。通过图3（a）可以观察到，在此耦合强度下，系统中的每个格点也处于周期二状态，但是整个空间被划分为若干的子空间，同一个子空间中的格点同步于相同状态，且都位于单映象的两个状态值附近。与此同时，位于两个相邻子空间的交界区域的格点出现了新的周期二状态。这种结构中空间的分割是由初始条件的不同所造成的。在此文中，选择随机初始条件。所谓轮换图形是指，对同一个时刻，各子空间所在的状态随单映象的时间顺序依次排列。以图3（b）为例，当yb=0.9，格点间的耦合强度D=0.109737时的空间振幅变化图，此参量单映象表现为周期四的状态，状态值依次为：0.15、0.35、0.46和0.88.图3（b）中，依次出现为删除过渡过程后的连续四个时刻的空间振幅变化图。系统的全部格点此时也都处于周期四。可以发现，每一时刻系统空间都被划分为四个子空间，每个子空间中的格点都同步于一个状态，并且相邻空间在时间上只相差一个时刻。所以每个时刻形成了类似阶梯的形状。

通过改变耦合强度，可以发现在局部耦合不连续分段线性映象格子中，对于同一组参数（yb与D），纽结出现的具体位置由初始条件决定。这与金子邦彦以Logistics映象的研究结果相似［3］。除此之外，平直区的宽度随着耦合强度的增加而增大。直至所有格点被一个子空间吞并，达到完全同步。但这种增加只限制在一定耦合强度的区间，当D≥0.67时，系统就会无法保持所有格点都为周期四行为，出现了较为复杂的图形——完全发展湍流模式（如图3（c）。随着耦合强度的增加，周期为四的格点越来越少，直到周期为四格点全部消失。

图4空间振幅变化图，为了观察到精细结构，只绘制第60到第80格点的区域

当yb参数的取值位于不连续分段线性映象出现混沌吸引子的区域时，依然可以观察到扭结——反扭结图案，但随着耦合强度D的变化格点的变化较为剧烈。当yb=0.7，D=0.101时（如图4（a），系统表现为缺陷混沌扩散模式，当yb=0.7，D= 0.12时（如图4（b），系统表现为空间周期二行为，时间上也是周期二。

图4

若做出图4（b）中的任意一步的空间振幅变化图，但将奇格点与偶格点用两种不同的图标标注。就可以观察到类反铁结构。所谓类反铁磁结构是指，在同一区间中，处在一种状态的偶格点数与处在另一状态的奇格点数相同而在空间振幅变化图中所产生的图形结构（如图5所示）。

三、结束语

通过对耦合分段线性不连续映象的研究，发现了在空间振幅变化图中存在扭结与反扭结图形、轮换图形以及反铁磁结构；通过二维投影图，观察了系统由周期向混沌转变，并且通过最大李雅普诺夫指数谱定量的分近了这一过程。本文只是对耦合分段线性不连续映象格子所进行的最基本的研究，随后的工作可以就产生这些图形的内在机理进行深入研究。

图5

参考文献

［1］Frisch，U.，Hasslacher B.，Pomeau Y. Lattice-gas automata for the Navier-Stokes equation［J］.Phys. Rev. Lett.，1986，56（14）：1505-1508.

［2］Kaneko Kunihiko. Similarity structure and scaling property of the period-adding phenomena［J］. Prog. Theor. Phys.，1983，69（2）：403-414.

［3］Kaneko Kunihiko. Period-doubling of kink-antikink patterns，quasi-periodicity in Antiferro-like structures and spatial intermit tency in coupled map lattices---toward a prelude to a ``field theory of chaos"［J］. Prog. Theor. Phys.，1984，72（3）：480-486.

［4］Kapral Raymond. Pattern formation in two-dimensional arrays of coupled，discrete-time oscillators［J］.Phys. Rev. A，1985，31（6）：3868-3979.

中图分类号：G642

文献标志码：A

文章编号：2096-000X（2016）10-0255-03

作者简介：杜伟伟（1984-），男，汉，陕西省宝鸡市，新疆工程学院基础教研部，硕士，助教，研究方向：理论物理。