非均匀采样非线性系统的模糊控制器设计

张　铎，马照瑞，朱训林

(1.北京理工大学 计算机学院，北京 100081；2.郑州轻工业学院 计算机与通信工程学院，河南 郑州 450002；3.郑州大学 数学与统计学院，河南 郑州 450001)



非均匀采样非线性系统的模糊控制器设计

张铎1，马照瑞2，朱训林3

(1.北京理工大学 计算机学院，北京 100081；2.郑州轻工业学院 计算机与通信工程学院，河南 郑州 450002；3.郑州大学 数学与统计学院，河南 郑州 450001)

摘要：研究了满足局部Lipschitz条件的非线性系统非均匀采样模糊状态反馈控制问题。通过定义一个和采样时刻相关的Lyapunov函数，结合凸组合技术，得到了保证系统渐近稳定的充分性判据，并给出了相应的状态反馈控制器设计方法。以线性矩阵不等式形式给出的设计条件易于检验，与现有的方法相比，设计过程简单易行。算例验证了本文所得结果的有效性。

关键词：T-S模糊系统；采样控制；状态反馈；线性矩阵不等式

0引言

T-S模糊模型自1985年被提出以来，由于其特殊的规则后件引发了广泛的研究。文献[1]分析了模糊系统对一类可积函数的泛逼近性。结合采样特性，文献[2]讨论了非线性网络控制系统的量化保成本控制问题。文献[3]研究了T-S模糊连续系统的模糊采样控制问题。文献[4]扩展了文献[5]中给出的Lyapunov函数构造方法，得到了保守性更小的稳定化条件。但是，正如文献[6]指出的那样，现有的T-S模糊采样控制器设计方法只能导出线性的控制器。为得到非线性的模糊控制器，文献[7]提出了一种 “精确的离散设计方法”，该方法的缺点是系统离散化过程复杂，且采样周期必须固定(即均匀采样)。文献[8]将模糊隶属度函数的异步误差当成系统模型的不确定性，由于模糊隶属度函数异步误差的上界难以精确获取，因此这种方法也有一定的局限性。

本文考虑了一类满足局部Lipschitz条件的非线性系统的采样控制问题，给出了松散的稳定性条件和新的模糊状态反馈控制器设计方法。与现有的方法相比，本文方法无需系统离散化，而且也不涉及模糊隶属度函数的异步误差上界，使设计过程得以简化。

1问题描述

考虑如下一类非线性系统：

(1)

(2)

本文采用基于采样的模糊状态反馈控制器Kj(j=1,2,…,r)，控制信号为：

(3)

假设1在D上，非线性向量值函数f关于x满足Lipchitz条件[7]，即：

(4)

其中：l为一个常数,l>0。

假设2采样区间长度ηk:=tk+1-tk是有界的，即：

0<ηk≤η,∀k=0,1,2,… ，

(5)

其中：η为一个正的常数。

(6)

若令p=f(x,uk)-f(xk,uk)，即可得：

pTp≤l2(x(t)-xk)T(x(t)-xk)。

(7)

且注意到：

u(t)=u(tk),∀t∈[tk,tk+1)，

以及

f(xk,uk)=A(μk)xk+B(μk)uk,

因此，闭环系统可写为：

(8)

Lij+Lji<0

都成立的话，则不等式

(9)

也成立[9]。

2主要结果

首先，给出保证闭环系统(8)渐近稳定的充分性条件。

(10)

和

(11)

成立，则闭环系统(8)是渐近稳定的。其中：

证明取Lyapunov函数为：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),

(12)

其中：

V1(t)=xT(t)Px(t)；

V3(t)=(ηk-(t-tk))(t-tk)xT(tk)Ux(tk)；

V4(t)=(η-(t-tk))[x(t)-xk]T[x(t)-xk]。

(η-(t-tk))ξT△(μk)TS△(μk)ξ+(t-tk)ξTYS-1YTξ+2ξTY[x(t)-xk]；

注意到：

2[x(t)-xk]T△(μk)ξ≤[x(t)-xk]TW[x(t)-xk]+ξT△(μk)TW-1△(μk)ξ,

所以有：

(13)

其中：

Ω(t)=Ω4(μk)+(η-(t-tk))Ω5(μk)+(t-tk)Ω6；

Ω6=YS-1YT-Ω1。

注意到Ω(t)是关于Ω5(μk)和Ω6的一个凸组合，所以Ω(t)<0对任意的0≤t-tk≤η成立，当且仅当

Ω4(μk)+ηΩ5(μk)<0

(14)

和

Ω4(μk)+ηΩ6<0

(15)

同时成立。由引理2可知，式(14)和式(15)分别等价于：

(16)

和

(17)

证毕。

注1：与文献[4，10]类似，在定理1的证明中，利用系统的采样特性，定义了一个与采样时刻相关的Lyapunov函数(12)。随着V4(t)的引入，结合非线性向量值函数f关于x满足Lipchitz条件，以及凸组合技术，导出了闭环系统(8)渐近稳定的一个线性矩阵不等式判据。

注2：与文献[7]一样，本文也假定非线性向量值函数f在D上关于x满足Lipchitz条件。但是，本文的处理方法与文献[7]完全不同，系统不需要进行离散化处理，从而大大简化了分析过程；同时，采样区间允许是时变的。注意到文献[8]要求每个隶属度函数在每个采样区间[tk,tk+1)的变化幅度是已知的，即：

其中：σi为满足0≤σi≤1的常数。正如文献[8]的注1指出的那样，目前，尚无一个系统的方法能够获取这样的上界σi。与文献[8]不同，本文没有涉及模糊隶属度函数的变化幅度。

令：

Q=P-1； R=QUQ；

T1=QY1Q； T2=QY2Q； T3=Y3Q；

Z=QSQ； Vj=KjQ (j=1,2,…,r)。

对定理1中矩阵不等式(10)左边分别左乘和右乘对角矩阵diag{Q,Q,I,S-1,I,W-1}，可得：

(18)

其中：Ω3已在定理1中定义，且

类似地，定理1中矩阵不等式(11)左边分别左乘和右乘对角矩阵diag{Q,Q,I,I}，并依引理2可得：

(19)

对于式(18)中的非线性项-ηQZ-1Q，利用关系式(Q-Z)Z-1(Q-Z)≥0，可得：

-ηQZ-1Q≤-2ηQ+ηZ。

(20)

同理可得：-ηW-1≤-2ηI+ηW。

因此，有如下定理：

(21)

和式(19)成立,则闭环系统(8)是渐近稳定的。此时，系统的状态控制器增益Kj(j=1,2,…,r)可由下式给出：

Kj=VjQ-1。

注3：定理2给出了闭环系统(8)的可镇定条件。与文献[7]不同，本文的矩阵不等式非常简洁，采样区间允许是时变的。同时，与文献[8]不同，在定理2的镇定条件中没有引入调节参数，这样就简化了控制器设计过程。

3算例

考虑一个惯性轮倒立摆系统，它的状态方程可以表示成非线性系统(1)的形式,非线性函数f[7,11]如下：

其中：I1=0.1;I2=0.2;mgL=10;a1=1;a2=sin (△x)/△x。

文献[7]中只给出了η=0.001，而由定理2可得η=0.003，这表明本文所给方法的保守性较小。当η=0.001时，由定理2的矩阵不等式组解得模糊状态反馈控制器增益为：

设系统状态初值为(0.60-0.580.10-0.20)T时，使用上述的模糊状态反馈控制器增益，则系统的状态响应曲线如图1所示。

图1　系统的状态响应曲线

从图1中容易看出：闭环系统是渐近稳定的。这表明本文给出的采样模糊状态反馈控制器设计方法切实可行。

4结束语

本文研究了一类非线性系统的采样模糊状态反镇定问题。通过构造合适的Lyapunov函数，利用采样特性以及矩阵不等式技术，推导出稳定性条件，并在此基础上提出了新的控制器设计方法，给出了线性矩阵不等式形式的可镇定判据。与现有的方法相比，本文方法无需系统的离散化，也没有引入调节参数，简化了设计过程。数值算例验证了本文方法的有效性。

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基金项目：国家自然科学基金项目(61174085,61374063);河南省教育厅科技攻关基金项目(14A520017,14A520059)

作者简介：张铎(1995-),男,河南鄢陵人,本科生;马照瑞(1978-),通信作者,男,河南辉县人,讲师,硕士,主要研究方向为网络控制和无线传感.

收稿日期：2016-03-19

文章编号：1672-6871(2016)04-0050-06

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.04.011

中图分类号：TP273

文献标志码：A