预设应然，道理释然

陈六一　柯晓莉

笔者聆听了某市优质课评比活动中的10节数学课，都暴露着一个同样的教学尴尬问题：在相同教学内容的处理中，教师们自认为应是水到渠成的预设，学生却不领情，始终走不进教案。为什么会出现如此的窘境？是学生的问题吗？我们该怎样反思与重构自己的课堂教学？

一、望：教学再现

【案例1】9加几

教师出示问题：盒子里有9个苹果，盒子外有4个苹果。提问：一共有多少个苹果？学生回答：9+4=13。教师追问：你是怎样算出9+4等于13的？

生1：用脑袋算的。（听课教师和学生都笑了。）

师：能说说你是怎样用脑袋算的吗？

生1：用脑袋使劲算的。（听课教师和学生笑得更欢了。）

师：有不一样的算法吗？

生2：9+4，就是往9的后面数4个，10、11、12、13。

师：还有不一样的想法吗？

生3：9+1=10，4-1=3，10+3=13。

生4：我用小棒代替苹果，先数9根，再数4根，一起数就是13根。

【案例2】钉子板上的多边形

当学生完成上图任务后，教师问：你们发现了什么样的规律？学生异口同声：多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2。教师引导小结：当a=1时，S=n÷2。接着出示内部钉子数为2枚的图形，并完成如下表格。

学生填写完毕，教师再次提问：你们发现了什么样的规律？

生：当a=2时，S=n÷2+a-1。（教师有点意外，顿时不知所措。）

二、问：教师答疑

纵观以上两个教学片段，教师预设目标非常明确，“9加几”希望学生能说出“凑十法”，“钉子板上的多边形”则期望学生能看出“S=n÷2+1”的规律，可事与愿违。于是，赛课结束，笔者问道：凭什么认为你的预设一定生成？

教师的答案有这几种：第一，这是教材内容的呈现方式，同时也是教学目标。第二，自己回答这些问题，感觉“凑十法”和“S=n÷2+1”是最佳答案。而且教低段学生的教师指出，在新授课之前，有计算比赛，学生算8加几、7加几比算10加几要慢，那么10加几的快捷应该会在新知识的学习中有所迁移；教高段学生的教师也表示，当多边形内部为一枚钉子时，学生能一起发现S=n÷2的规律，那么当多边形内部为两枚钉子时，面积S= n÷2+1是最容易迁移的规律，学生不应该舍近求远。

教师们似乎有理有据，但案例中的教学目标毕竟没有达成。原来，课堂教学的艺术孕育于教学的科学，学生没有走进教师的预设，一定有一个为什么。

三、闻：应然诊断

1.简单计算是语言的提取。 教育心理学发现：20以内的加减法计算通常是语言的提取。也就是说，算9加几的结果，学生无需用上逻辑推理，而是技能自动化之后的语言记忆。所以“案例1”中教师问学生：“你是怎样算出9+4的？”学生回答“用脑袋算的”是真切的体现。至于生2和生4是被教师逼问，才有了解题的下策；尽管生3的回答最能体现“十进制”的优越性，且符合“多位数加减法其实是计数单位个数相加减”的本质，可是不属于先凑十再相加的既定套路，所以课堂中也就被“还有不一样的想法吗”和“请下一个同学回答”一笔带过了。教学尾声，教师们一般都会让学生观察“9+2、9+3、9+4……9+9”中个位数字与算式中后一个加数的规律，以帮助学生快速得出答案，其实也是为了实现脱口而出的计算效果。只是，在教学的起始阶段，学生已经脱口而出了，教师却不做肯定，还让学生被动经历一个操作、观察、语言表达以及计算凑十的过程，再要求学生达到课堂开始的脱口而出，学生反而已被一个个“你是怎么想的”弄糊涂了。

2.缺乏图形支架容易滋生多种表象图式。“案例2”中学生没有得出教师认为的最容易的规律S=n÷2+1，其实都是数据惹的祸。由于缺乏动态图形的直观帮助，学生不易发现面积变化的本质：由于内部钉子数的增加，带来了面积的改变。这样只观察静态表格中“2、5、3.5”“ 2、6、4”“ 2、9、5.5”，学生自然会想到要把每组数据中的三个数字都要用上，所以就有了S=（n+a）÷2的结论。当然，用“下一个”“再下一个”的方式，也一定会有学生说出S=n÷2+1。不过，当有学生答出S=n÷2+a-1时，说明这个学生已经建构了“当a=2时，S=n÷2+1”的模型，甚至类比出了当a=3时，S=n÷2+2；当a=4时，S=n÷2+3……从而抽象概括出了面积S的通项公式。显然，学生已经走得很远了，而我们的教学还停留在上一个阶段。

四、切：重构释然

1.怎样教基于怎样学

【重构1：9加几】

师：我怎么觉得9+4=12，是我算错了，还是你们错了？

生1：老师，你看，9+4，就是往9的后面数4个，10、11、12、13。

师：看来是我算错了，我最近老是算错，谁有什么办法帮帮我呀？

生2：把9看作10，然后把4少看1个，10+3你肯定不会算错的。

师：怎么10+3就不会错了？

生3： 10加几就是十几呀。

生4：9+1=10，4-1=3，10+3=13。

师：生2和生4都是想老师把9加4变成……

生5：10+3。

师：那我得到一个启发，是不是可以将9+5变成……

生6：10+4。

师：9+6？

生7：10+5。

师：哪来的10呀？

生8：从4、5、6里分一个给9就是10呀。

教师知道学生会算9+4=13，但是故意出错，诱导学生帮助教师改错，这样数数、摆小棒便不是案例1中无趣的动手，而是数学证明。“谁有什么办法帮帮教师呀”不是语言提醒就能实现的任务，需要一定的道理，“凑十”的预设也就得以实现。也许你觉得原本的教学片段和重构中的教学片段学生有相近的回答。不错！可是，一个是被动，一个是主动，一个操作是无奈的，一个操作是展示智慧的平台；更重要的，看似学生在帮助老师，其实是在无痕地给反应慢的、没有很好方法的学生一些示范；那些速度快的同学在教师“哪来的10呀”的问话中再做深层次的思考，这样“不同的学生在数学上得到不同的发展”。

2.合情推理基于演绎推理

【重构2：钉子板上的多边形】

师：我们把刚才研究的三角形再请回来。

生：三角形边上的钉子数没有增加，但是面积变大了，面积大了1平方厘米。

师：面积增加的地方在哪里？怎么就知道是1平方厘米？

生：面积增加在两个“翅膀”上，由于内部钉子数增加了1，那么“翅膀” 上的两个三角形底是1，高也是1，增加的面积就是（1×1÷2）×2=1平方厘米。

师：原来的面积可用S=n÷2+a-1表示，那现在的面积呢？

生：当a=2时，S=n÷2+1。

因为归纳推理是从特例出发，所以往往引发多种逻辑取向；如果在归纳的时候，辅以简单演绎，例如在重构2中，教师引导学生观察图形的变化，学生直观感知了面积在增加，而且内部每增加1枚钉子，图形边上的钉子数不变的时候，面积逐步增大了1平方厘米。于是，多维猜测就变成了唯一可能。之后，整合S=n÷2+1，S=n÷2+2，S=n÷2+3……学生不但会类比出S=n÷2+a-1，还可以借助于图形说出a=1时，即当图形内部钉子数为1时，面积是S=n÷2，然后每增加一枚钉子，面积要增加1平方厘米。

3.教学有效基于数学本身

“不是教教材，而是用教材教”的理念已经深入人心，虽是至理，只是对数学文本的解读，不仅是对某一个教材例题知识点进行诠释，而且是教师要深度理解这一个知识点的“前世”和“未来”，以及在“前世”“当下”和“未来”的这条线中，哪一个点才是核心。

例如“9加几”的“前世”是数数，“未来”是多位数加减法的算理和加法结合律，其核心点确实是“凑十”。不过，这里的“十”并不是简单的十个“一”，而是一个不同于“一”的计数单位， 9加几的学习，其“凑十”的实质是“满十进一”，将多个1用两种计算单位组合，是计数的扩张，即数学本身发展的需求。再例如“钉子板上的多边形”，其“前世”是多边形面积计算，“未来”是“格点上的面积”，即皮克定理，其核心点是面积规律的逐步概括。但是，这个规律对于其最初的发现者皮克来说，是一个智力游戏；对于小学生来说，“钉子板上的多边形”的学习是让学生用数学的眼光观察世界。

总之，尽管本文的两个教学案例并不属于同一个维度，但是带给教师的教学困惑是一样的，学生的理解与回答，与教师的所谓精心预设不合拍。当然，由于是不同的教学内容，所以“不合拍”的具体理由自然也是不一样的，却带给了我们相似的启发：教学预设要讲道理；数学教学的有效性离不开数学本身。