用参数法解决初中数学中的实际应用题

重庆育才中学 骆 磊

初中数学中的实际问题，被作为很多省市中考的填空或选择的提高题。这类题目难住了大量的中学生。如何解决这一类问题呢？

首先来看一道小学数学的经典奥赛题目“牛吃草”问题，题目如下：

牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，可供25头牛吃几天？

分析：由于牧草在匀速生长，题目又不是用一元一次方程能够解决的类型。很多学生觉得无从下手。但是本题有一个突破口，试想如果只有一头牛在牧场上吃草，有可能永远都吃不完；如果一千头牛同时在牧场吃草，可能几分钟就吃完了。那么中间就一定有一个最特殊的临界点，那就是长出来的草刚好够几头牛吃，换言之几头牛在牧场吃草，草不增加也不减少。而最特殊的状态往往是解题的突破口。

解：设每头牛每天吃的草为1份。

①根据“10头牛可吃20天”，可算出共吃了10×20=200(份)

②根据“15头牛可吃10天”，可算出共吃了15×10=150(份)

③都是吃完草，为什么一个是200份，一个是150份呢？因为多出的10天，草地上一直在匀速的长草。所以草地每天长的草为(2 0 0- 1 50 ) ÷10=5（份）

④草地原来的草(不包括新生长的草)，有多少份呢？（这是一个理解上的难点，可以按照这种方式理解：草地每天长的草为5份，换句话说就是草地每天长的草刚好够5头牛吃。所以不管是10头牛还是20头牛，先分配5头牛，只吃新长出来的草，那么剩下的牛吃的就全部是原来的草了。）

原来的草为：(10-5)×20=5×20=100(份)

或：(15-5)×10=10×10=100(份)

⑤现在来了25头牛，因为草地上新长出的草就足够养5头牛.只要计算剩下的20头牛吃原有的草够吃多少天，便求得结果了.

100÷(25-5)=100÷20=5(天)

这是小学的解法，方法巧妙，但是这个巧妙的方法却蕴含着一个解题原则，就是最特殊的临界点往往是解题的突破点，本题最特殊的临界点就是，5头牛在牧场时，牧场的草刚好不增加，也不减少。下面请看用初中的参数法来解题。

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的变量（参数），以此作为媒介，再进行计算，从而解决问题的一种解题方法。

解题时常分为三步，设参数，用参数，消参数。

（一）设参数：设每头牛每天吃草量为，草地原有草量b，每天长草速度c

（二）用参数：根据牛吃的草等于原来有的草加上新长的草得出两个方程

（由于是三元一次方程组，但是只有两个方程，无法解出每个未知数具体的值。所以需要把其中一个字母看成常量，不妨把c看成常量，用c表示出和b）

解得：

设二十五头牛吃x天把牧场的草吃完25a⋅x=b+c⋅x

答：可供25头牛吃5天。

从经典的牛吃草问题可以看出用参数法解题时分为三部。第一步：设参数，把题目中所有需要的未知量都用字母表示出来（有时需引入题目中没有而解题需要的量）。第二步：用参数，把题目中给出的条件用方程表示出来。第三步：消参数，根据题目要求对列出的方程进行有目的的变形。消去参数，算出题目要求的量。按照这三个步骤做题能解决大量实际应用题。下面再看一道例题。

（重庆市2011年中考数学16题）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成。这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 朵。

分析：题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵；甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵。根据我们之前总结的解题方法，第一步设参数，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆。第二步用参数，根据上述关系列出方程组。第三步消参数，有目的的变形后求出黄花一共用的朵数。

解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆。

由题意，有

化简得

将x当成常数解得

∴黄花一共用了：

故黄花一共用了4380朵。

本题总结：本题问题是黄花一共用了多少朵，如果只是局限于设直接未知数设黄花共用了x朵，那么本题将无从着手。按照我们总结的设参数，用参数的方法，做到这一步，若只是局限于解这个方程组，那么思维又进入了死胡同。我们应该想到，消参数是进行有目的的变形，我们最后要的不是每个未知数的值。而是这个代数式24x+ 1 2y+ 18z的值。所以我们把x或y或z中任何一个数当成常数，把另外两个未知数用这个常数表示出来，再带入24x+ 1 2y+ 18z都能算出结果。

设参数，用参数，消参数。用这三步解决实际问题中的难题，关键是消参数这一步，一定要有很明确的目的性。如牛吃草问题，我们要约掉c因为我们要求x，不能本末倒置被参数干扰到。初中数学的中的实际应用题千变万化，参数法能解决部分难题，还有其他的方法，如不定方程法，不等式法等，需要学生不断学习，不断思考，才能不断进步。