大规模MIMO下最优预编码选择策略研究

王春燕，王军选，孙有铭

(1.西安邮电大学　通信与信息工程学院，陕西　西安 710061；2. 解放军理工大学　通信工程学院，江苏　南京 210007)



大规模MIMO下最优预编码选择策略研究

王春燕1，王军选1，孙有铭2

(1.西安邮电大学通信与信息工程学院，陕西西安 710061；2. 解放军理工大学通信工程学院，江苏南京 210007)

摘要:大规模多入多出(Massive MIMO)系统中，随着天线数的增加，线性预编码算法的性能逐渐趋于最优，选择合适的线性预编码对系统性能具有重要的意义。针对发射端信道状态信息(Channel State Information at Transmitter，CSIT)不完美的Massive MIMO系统，推导出了迫零(Zero-Forcing，ZF)和最大比传输 (Maximum Ratio Transmission，MRT)这两种常见预编码方案在向量归一化方式下的下行可达和速率下界，并给出了证明。随后对两种下界进行了分析，提出了一个关于系统用户数的阈值，当系统用户数和阈值的大小关系不同时，两种预编码性能的优劣关系也不相同。根据分析结果，文章进一步提出了一种以系统中用户数为参量的预编码选择策略，可以保证不论用户数如何变化，系统都能选择出更优的那一个预编码算法来对信号进行预处理。分析的有效性和方案的可靠性通过仿真得到了验证。

关键词:大规模多入多出; 预编码；迫零预编码；最大比传输预编码；向量归一化

如今，日趋成熟的MIMO技术不但已在蜂窝无线通信系统中得到了广泛应用，更逐渐成为了新一代移动通信标准的核心技术之一。然而随着时间推移，传统MIMO技术已不能很好地满足呈指数增长的用户数据业务需求，在这样的背景下，大规模MIMO(Massive MIMO)[1-2]作为一种新颖的蜂窝网架构已经成为了解决这一问题的颇有潜力的研究热点。

大规模MIMO之“大规模”的含义所在，是指在基站端配备超出传统MIMO系统一个甚至几个数量级的天线数量。目前研究的热点主要集中在时分双工 (Time Division Duplex，TDD)工作模式下。其原因在于TDD模式下，上下行链路具有信道互易性，上行链路的信道估计通过用户终端发送正交导频完成，其信道估计的复杂度仅与同时服务的用户数量呈线性关系，基站端利用上行信道信息即可进行下行预编码而频分双工(Frequency Division Duplex，FDD)模式下由于上下行链路占用不同的频带，基站获得CSIT需要增加额外的反馈链路，其开销在大规模MIMO系统中通常是无法承受的。不过实际工作当中仍有不少系统是采取FDD模式进行通信的，为此研究者也做了许多工作来降低FDD模式下大规模MIMO系统信道估计的复杂度。文献[3]利用码本设计的方法，文献[4-5]利用压缩反馈信息的方式，都为解决这一问题提供了思路。本文则仍针对TDD模式下的大规模MIMO系统展开研究。

文献[1-2]的研究表明：随着基站的天线数量增加，小区内热噪声和干扰影响逐渐消失，小区内各用户与基站间的信道趋于彼此正交，线性的检测和预编码方案趋近于最优；文献[6]表明，大规模MIMO系统由于使用了巨大天线阵列，其能量效率和频谱效率相比于传统单天线系统将取得若干个数量级的提升；文献[7-8]阐述了当上行训练使用的导频非正交时对大规模MIMO系统性能带来的巨大影响，也即导频污染；文献[9]则证明了当信道协方差矩阵处在某种特定状态下时，导频污染的影响将会近乎消失；文献[10]则针对相邻小区间有反馈链路的模型，分析了不同预编码归一化方案的性能差异。本文针对单小区非完美CSIT的情形，分别推导出了向量归一化下ZF和MRT预编码的下行可达和速率下界，并给出了证明；围绕推导出的下界，本文进一步给出了如何在两种预编码中选择性能更优者的算法。

1系统模型

1.1上行训练阶段

考虑TDD方式下的大规模MIMO系统，在小区基站端配备M根天线，小区中用户数量为K，并且假设用户终端均为单天线。由于上下行信道链路在有限的信道相干时间内具有互易性，TDD方式下的大规模MIMO系统需要在上行通信中接收用户发送的训练序列进行信道估计，将估计的信道矩阵用来对上行用户信号检测分离和下行链路的预编码矩阵构建。

上行训练阶段，基站接收的训练序列信息矩阵为[11]

(1)

式中：G为M×K的信道矩阵，并将信道建模为Rayleigh衰落信道，G中的每一个元素均服从i.i.d(独立同分布)的CN(0，1)分布；Φ为τ×K的用户训练序列矩阵，其中τ为训练序列长度，各用户的训练序列满足正交性并且ΦHΦ=IK，IK为K阶单位阵；N为相应的接收噪声，每个元素均服从i.i.d的CN(0，1)分布。令Pp=τPu，Pu表示用户的上行发射功率，Pp可以视为归一化的发送信噪比。

1.2下行发送阶段

下行通信中基站需要将发送给用户的信息进行预编码，常用的两种线性预编码方案为ZF和MRT，相应的预编码矩阵表述为

(2)

基站在采取上述两种预编码方案时会对其进行归一化处理以满足相应的功率约束。预编码归一化处理主要分为矩阵归一化(Matrix Normalization)和向量归一化(Vector Normalization )这两种方案。令归一化后的预编码矩阵为M×K的矩阵A，则矩阵归一化预编码矩阵为

(3)

向量归一化预编码矩阵为

(4)

下行通信中，小区中所有K个用户接收到的K×1维的信号向量为

(5)

其中,x和n分别为基站发送K×1维信号向量和接收噪声，Pf为基站发射功率。小区中第k个用户的接收信号为

(6)

(7)

第k个用户的可达速率以及小区的可达和速率下界可以分别表示为

(8)

(9)

2向量归一化下预编码性能分析及其选择策略

2.1向量归一化下ZF和MRT的下行可达和速率下界

为了后文的推导方便，这里首先给出两个随机矩阵理论中的结论。

定理1(Wishart矩阵的特性):对于一个中心Wishart矩阵W～Wm(n,I)，其中n为自由度

E{tr{W}}=mn

E{tr{W2}}=mn(m+n)

E{tr2{W}}=mn(mn+1)

(10)

定理2(Wishart矩阵逆的特性):对于一个中心Wishart矩阵W～Wm(n,I) ，n>m+1

(11)

现在给出向量归一化下两种预编码各自的下行可达和速率下界的表达式及证明过程。

(12)

(13)

上式中最后一步利用定理1。

(14)

(15)

(16)

(17)

将式(13)、(15)、(16)、(17)代入式(8)中，得到

(18)

其中var{θ}=E{θ2}-E2{θ}=M-E2{θ}。系统下行可达和速率为

(19)

定理4向量归一化ZF预编码方案下的大规模MIMO下行可达和速率下界表示为

(20)

证明:

(21)

(22)

其中式(22)中最后一步推导利用了文献[11]中关于ZF分集阶数(Diversity Order)的结论。

(23)

(24)

(25)

将式(22)～(25)代入(9)中

(26)

相应的小区下行和速率可表示为

(27)

仿真验证了定理3和定理4给出的两种可达和速率下界的可靠性，仿真结果见图1、图2。

图1　MRT在向量归一化下的可达和速率下界验证

图2　ZF在向量归一化下的可达和速率下界验证

2.2向量归一化下两种预编码性能对比分析

根据可达和速率下界与信干噪比(SINR)的关系，可以得出采取向量归一化时MRT预编码和ZF预编码各自的信干噪比分别为

(28)

(29)

为了简化起见，将var{θ}记作V，对式(28)(29)做以下分析

(30)

(31)

对不等式(31)进行变形得到

(K-1)(Pp+Pf+1)>

(32)

对不等式(32)进行变形得到

(33)

显见式(33)可写成

(34)

最终化简为

(35)

(36)

将上式展开可以得到一个关于K的一元二次方程

(37)

为了便于分析令用户上行训练序列长度τ=K，所以Pp=τPu=KPu，式(37)可进一步化简为

K2Pu(1+Pf)+K[1+Pf-Pu-(V+M)PuPf]-

1-Pf-(1+M)(1-V)PfPu=0

(38)

b2-4ac。

由一元二次方程ax2+bx+c=0根的分布理论可知，当a，c异号时，方程的两个根也异号，即分别位于零点的两侧。函数y=ax2+bx+c的零点分布示意图如图3所示。

图3　函数y=ax2+bx+c的零点分布示意图

(39)

上式又可等价为

K2Pu(1+Pf)+K[1+Pf-Pu-(V+M)PuPf]-

1-Pf-(1+M)(1-V)PfPu>0

(40)

由图(1)可知，当k>k2时不等式成立，可得结论

根据上文的推导，易知，当k

2.3系统预编码方案的选择

由前述可知，k2可以视作系统中用户数的一个阈值，称之为Kth，并将其表达式重写于下

(41)

当系统在预编码环节采用向量归一化方式时，如何根据小区中用户数的变化在MRT预编码算法和ZF预编码算法中选择更优的预编码算法，可以遵循这样的方案：比较用户数K与阈值Kth的关系，若用户数K小于Kth，则选择ZF预编码算法；若用户数K大于Kth，则选择MRT预编码算法。这一选择方案可以用流程图的方式表示，见图4。

图4　预编码选择流程图

3仿真分析

仿真中采用典型的LTE-OFDM调制方式，相关参数如表1所示。则可以计算出“频率平滑间隔”Ns=Tu/Tg=14，即连续14个子载波上的信道冲击响应可视为恒定的，表明相干带宽Bc=NsΔf=14×15=210kHz。现定义系统有效下行和速率Bu)B=，其中=98。

表1　OFDM仿真参数

3.1验证可达和速率下界

在图1和图2当中，通过仿真给出了MRT和ZF这两种预编码各自的可达和速率曲线，同时将式(12)～(20)所给出的两种预编码的和速率下界绘成了曲线。由图可见，仿真所得的两种预编码和速率曲线同两个下界曲线呈现出较为紧凑的贴合，并且两个下界曲线始终保持在两种预编码和速率曲线的下方，由此可知，式(12)～(20)给出的两种预编码的和速率下界是可靠的。

3.2不同Pf时和速率的比较

为了验证上文预编码分析结论的可靠性，这里考虑Pf分别为0 dB，10 dB，20 dB，30 dB时MRT与ZF的性能比较，而Pu统一取固定值-10 dB，天线数M为100。

对图5而言，此时Pf=0 dB，Pu=-10 dB，根据结论，若用户数K小于Kth，ZF性能更优；若用户数K大于Kth时MRT性能更优。将Pf和Pu的值代入式(41)可知，此时Kth=42。显然，图5中的曲线符合这一结论。

图5　Pf=0 dB时下行和速率的比较

图6、图7、图8的分析同图5，且其各自的Kth值82，90，91皆符合仿真结果，这里不再赘述。

图6　Pf=10 dB时下行和速率的比较

图7　Pf=20 dB时下行和速率的比较

图8　Pf=30 dB时下行和速率的比较

3.3和速率随Pf、Pu变化的规律

图9给出了当Pf=0 dB、天线数M=100、用户数K固定为40时，两种预编码的下行和速率随着Pu变化的曲线。可以看出，两种和速率曲线有一个交点，在该交点上两种预编码性能相等。由结论可知，当用户数K等于Kth时二者相等，因此交点处的Kth=40。将Pf，K，M，Kth的值代入式(41)，可以反求出Pu的值为-11 dB，符合图9的仿真结果。当Pu<-11 dB时，对应的Kth>40，故MRT性能更优；当Pu>-11 dB时，对应的Kth<40，ZF性能更优。

图9　下行和速率随Pu变化的曲线

图10与图9相反，在固定了天线数M和用户数K的条件下，将Pu取为定值-10 dB，观察两种和速率随Pf变化的曲线。类似图9的分析，当Pf小于交点值时，对应的Kth>40，MRT性能更优；当Pf大于交点值时，对应的Kth<40，ZF性能更优。且将Pu，K，M，Kth的值代入式(41)求出的Pf值符合仿真结果。

图10　下行和速率随Pf变化的曲线

4结束语

预编码技术作为大规模MIMO系统中的重要环节，选择合适的预编码无疑具有重要意义。本文选取了ZF和MRT这两种常用的线性预编码算法，推导出了二者在向量归一化下的可达和速率下界，并给出了证明。之后对两种下界进行了分析，得出了二者在不同情况下的优劣关系；通过进一步的数学推演，文章给出了一个关于系统用户数的门限值，并围绕此门限值提出了一项选择方案。系统根据此方案，可以保证不论用户数如何变化，都能选择出更优的预编码算法来对信号进行预处理，为系统如何选择更合适的预编码提供了一种新的思路。文中所研究的可达和速率下界、用户数门限值、预编码选择方案等，经仿真测试，都证明可靠有效。

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责任编辑：许盈

Research of optimal precoding selection strategy in large scale MIMO

WANG Chunyan1, WANG Junxuan1, SUN Youming2

(1.InstituteofCommunication&InformationEngineering,Xi’anUniversityofPosts&Telecommunications,Xi’an710061,China;2.InstituteofCommunicationsEngineering,PLAUniversityofScience&Technology,Nanjing210007,China)

Abstract:In massive MIMO (Multi-Input Multi-Output) system, linear precoding’s performance tend to be optimal while the number of the antennas increased. Hence, choosing a appropriate linear precoding has a significant meaning to the performance of system. For this paper, the downlink achievable sum rate of Zero-Forcing (ZF) precoding is analyzed and Maximum Ratio Transmission (MRT) precoding use vector normalization in massive MIMO system with imperfect CSIT then give proof. Compare the performances of these two precodings and a threshold is proposed on the number of users in the system, when the number of users different from the system threshold, the merits of two pre-coding performance also different. According to the results , a procedure of precoding schemes selection is provided which is depend on the number of system users. This procedure choose the better precoding algorithm no matter the amount of users change. The computer simulation proves the method is correct.

Key words:massive MIMO; precoding; ZF; MRT; vector normalization

中图分类号：TN929.5

文献标志码：A

DOI：10.16280/j.videoe.2016.05.010

基金项目：国家科技重大专项项目(2014ZX03003005-003)；陕西省国际科技合作与交流计划项目(2015KW-012)

作者简介：

王春燕(1992— )，女，硕士生，主研宽带无线通信；

王军选(1972— )，硕士导师，主要研究方向为信号处理、高效能5G传输关键技术；

孙有铭(1988— )，硕士生，主要研究方向为信号信息处理。

收稿日期：2015-10-23

文献引用格式：王春燕，王军选，孙有铭. 大规模MIMO下最优预编码选择策略研究[J].电视技术，2016，40(5)：40-47.

WANG C Y，WANG J X，SUN Y M. Research of optimal precoding selection strategy in large scale MIMO [J].Video engineering，2016，40(5)：40-47.