基于压缩耗能假设的黏弹性夹芯梁的横向振动

黄志诚， 秦朝烨， 褚福磊

(1.清华大学 机械工程系，北京　100084; 2.景德镇陶瓷学院 机电学院，江西 景德镇　333000)

基于压缩耗能假设的黏弹性夹芯梁的横向振动

黄志诚1, 2， 秦朝烨1， 褚福磊1

(1.清华大学 机械工程系，北京100084; 2.景德镇陶瓷学院 机电学院，江西 景德镇333000)

摘要：建立了一种新的有限元模型用于研究三层黏弹夹芯梁的横向振动。该模型第一层为约束层，中间层为黏弹性层，第三层为基梁层。将约束层和基梁层视作欧拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁，假定黏弹性层承受横向拉压变形。拉压应变来源于约束层和基梁层的横向相对运动，并且黏弹性层的横向位移被假定为约束层和基梁层位移之间的线性插值。为了验证该有限元模型的有效性，将其与实验结果和几种解析模型进行了对比，结果证明该有限元模型对夹芯梁结构固有频率的预测具有良好的精度，但对损耗因子的预测精度上有待提高。

关键词：梁的横向振动；压缩阻尼； 黏弹夹芯梁；有限元; 损耗因子

图1　PCLD梁结构Fig.1 Schematic drawing of PCLD beam

在构件上附加黏弹阻尼材料可以有效地抑制其振动和噪声。常用措施是构造黏弹夹芯复合结构，即在构件上粘贴一层高阻尼的黏弹材料为芯层，然后再在黏弹材料上覆盖一层弹性材料(常为金属材料)，称之为约束层[1-2]。图1所示为一种典型的三层黏弹性夹芯梁结构。黏弹性层夹在两个弹性表面层中间，三层依次为约束层、黏弹性层和基梁层。当基梁在外力作用下产生振动时，在约束层的共同作用下，黏弹性层会产生相应纵向剪切或者横向拉压变形，这种变形会耗散基梁的振动能量，达到减振降噪的目的。所以这种结构又被称为“被动约束层阻尼(Passive Constrained Layer Damping，PCLD)梁”。这种包含黏弹材料的复合减振结构成本低，可靠性高，减振效果好，且没有非常显著地改变结构自身的质量和刚度，所以应用非常广泛。

目前黏弹性层的耗能模式主要有两种假设：剪切耗能假设和压缩耗能假设。前者认为当约束层和基梁层的相对运动是与梁中性面相互平行时，黏弹性芯层就会产生剪切变形来耗散能量；而后者认为当约束层和基梁层的相对运动是与梁中性面相互垂直时，黏弹性芯层就会产生压缩/拉伸变形来消耗能量。到底哪种耗能模式最接近真实情况目前还存在争议。绝大多数的研究采用的是剪切耗能假设，他们认为黏弹夹芯结构同一横截面上所有点的横向位移是相同的，所以黏弹性层不存在压缩/拉伸变形。如早期的Kerwin等[3-4]用简化的复模量模型对三层夹芯梁结构进行了理论分析，认为黏弹性层是不可压缩的， Ditaranto等[5-7]扩展了Kerwin的工作，他们分别推导出了著名的PCLD梁的六阶微分方程，也是基于剪切耗能假设。后来众多学者如Johnson等[8-12]发展了黏弹夹芯梁的有限元方法，仍然是基于剪切耗能假设。

20世纪70年代后期，Douglas等[13-14]通过实验证明了黏弹夹芯梁中压缩阻尼的存在，他们还基于压缩耗能假设建立了黏弹夹芯梁的解析模型，忽略了黏弹性层的剪切变形。他们认为在以黏弹性层的压缩共振频率为中心的一个狭窄频段内，压缩阻尼是主要的阻尼形式。但他们的工作在当时并没有引起人们的重视。20世纪90年代后期，Lee等[15]基于压缩耗能假设对黏弹夹芯结构进行了研究。随后Sisemore等[16-17]对悬臂黏弹夹层梁结构进行了较深入的研究，不仅从实验上证明了压缩阻尼的存在，还基于压缩耗能假设建立了PCLD梁结构的解析模型，该解析模型能较好地预测PCLD梁结构的共振频率，但不能很好地预测损耗因子。

从文献调研的结果来看，在黏弹性夹芯结构振动问题中，剪切耗能假设研究的较为深入，解析模型和有限元模型都非常多。而压缩耗能假设研究的还不够深入，解析模型比较少，特别是基于压缩耗能假设的有限元模型尚未见褚文献。由于黏弹材料独特的材料特性，解析法在求解黏弹性夹芯结构的动力学方程中往往涉及到在复数域内求解高阶非线性方程组，导致计算上的困难,往往很难解决工程实际问题。而用有限元方法来研究、计算黏弹性阻尼结构的动特性，可以很方便地处理各种结构形式和边界条件，并利用计算机迅速地得到满足工程精度要求的数值解，因此研究黏弹夹芯结构的有限元压缩模型在工程应用上是非常有必要的。

针对黏夹芯梁振动领域中剪切耗能研究较充分而压缩耗能研究较少，且压缩耗能研究中只有解析模型而少有有限元模型的不足，提出了一种新的黏弹夹芯梁的有限元模型。该模型基于压缩耗能假设。在建模的过程中认为能量耗散是由黏弹性层的横向拉压变形引起的，黏弹性层的横向位移为约束层和基梁层横向位移之间的线性插值。最后通过与解析解和实验值的对比来验证该有限元模型有效性，得出了一些有益的结论。提出的有限元模型及结论对黏弹复合结构动力学参数的设计和预测有一定的工程价值。

1有限元建模

1.1基本假设

① 结构阻尼仅由黏弹性夹芯层的横向压缩/拉伸变形引起；② 约束层和基梁视作欧拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁；③ 考虑黏弹性层垂直于梁中性面方向的压缩变形,认为基梁层、阻尼层、约束层有不同的挠度函数。④ 忽略各层转动惯量的影响；⑤ 各层材料之间粘贴牢固，层间无相对滑动；⑥ 黏弹性层材料仅在线黏弹性范围内讨论。

1.2形函数

基于上述假设，建立PCLD梁结构的单元如图2所示。该单元由三层结构组成，从上到下依次为约束层，黏弹阻尼层和基梁层，相应厚度分别为：hc,hv,hb。单元为一维两节点梁单元，长度为le，每个节点有4个自由度, 分别为：约束层横向位移和转角，基梁层横向位移和转角。

图2　被动约束层阻尼梁单元Fig.2 The element of the PCLD beam

单元节点的位移矢量为

(1)

单元内任一点的位移可以由单元的8个节点位移通过插值法唯一确定。

(2)

其中[N]为对应于单元4个位移分量的形函数矩阵，是四行八列形式，其表达式为：

(3)

式中：

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

将式(3)代入式(2)可得到用形函数表示的单元4个位移分量为：

wc=[N1]{Δe}

(5a)

θc=[N2]{Δe}

(5b)

wb=[N3]{Δe}

(5c)

θb=[N4]{Δe}

(5d)

对黏弹性层而言，其横向位移和横向压缩量分别表示为：

(6a)

χv=wc-wb

(6b)

用形函数表示可得：

wv=[N5]{Δe}

(7a)

χv=[N6]{Δe}

(7b)

式中

(8a)

[N6]=[N1]-[N3]

(8b)

1.3PCLD梁单元能量表达式

1.3.1单元势能

(1) 约束层

根据前面的假设，约束层的运动为横向运动(弯曲)，其相应的势能称为弯曲势能：

(9)

式中,Ec和Ic分别是约束层的杨氏模量及惯性矩， [Kbc]为单元约束层的弯曲刚度矩阵。应用形函数，可得

(10)

(2) 基梁层

基梁层的弯曲势能为:

(11)

式中,Ib是基梁的惯性矩，EbIb是基梁的抗挠刚度，[Kbb]为单元基梁层的弯曲刚度矩阵。应用形函数，可得:

(12)

(3)黏弹层

黏弹性层发生横向压缩或者拉伸以耗散能量，所以黏弹性层的势能为拉压势能，可以将其看做一个弹簧，其表达式为：

(13)

式中Ev为黏弹性层的杨氏模量，常用复模量模型来表示：即Ev=E0(1+iηv)，式中E0为拉压复模量的实部，由实验得到，ηv是黏弹性材料的损耗因子，它们一般与频率有关。b为梁宽度，[Kv]为单元黏弹性层的刚度矩阵。应用形函数表示可得：

(14)

所以，单元总势能为：

U=[Ubc]+[Ubb]+[USv]

(15)

单元总刚度矩阵为各层刚度矩阵之和

[Ke]=[Kbc]+[Kbb]+[Kv]

(16)

1.3.2单元动能

(1) 约束层

约束层与弯曲运动相对应的弯曲动能表达式为：

(17)

式中，ρc和Ac分别为约束层的密度和横截面积，[Mbc]为约束层的弯曲质量阵。应用形函数可得：

(18)

(2) 基梁层

同理，基梁层的横向运动动能为:

(19)

式中，ρb和Ab分别为基梁层的密度和横截面积，[Mbb]为基梁层的质量阵。应用形函数可得：

(20)

(3) 黏弹层

(21)

式中，ρv和Av分别为黏弹性层的密度和横截面积，[Mbv]为黏弹性层的质量阵。应用形函数可得：

(22)

所以，单元总动能为：

T=[Tbc]+[Tbb]+[Tbv]

(23)

单元总质量矩阵为各层质量阵之和

[Me]=[Mbc]+[Mbb]+[Mbv]

(24)

1.4PCLD梁的动力学方程

求出动能和势能的表达式之后，根据哈密尔顿(Hamilton)原理的变分形式可导出单元的动力学方程：

(25)

按有限元单元组装的方法将单元的质量阵和刚度阵组装后可得三层梁的整体动力学方程

(26)

式中M是夹层梁的总质量阵，K是总刚度阵，R是系统所受激励力。

导出PCLD梁的动力学方程式(26)后，求解其特征值问题即可得到其固有频率和损耗因子。

式(26)的特征值问题为[11]：

([K]-ω*2[M]){Δ}=0

(27)

式中，ω*为PCLD梁复特征频率。

求得复特征频率后，PCLD梁的固有频率和损耗因子可以由下式计算[10]：

(28)

2PCLD梁单元离散及收敛性

2.1PCLD梁结构有限元离散

在求解PCLD梁的动力学方程式(26)之前需要确定其总质量阵和总刚度阵。这就要对PCLD梁进行有限元离散。所用单元即为图2所示的一维2节点复合梁单元。单元离散示意图如图3所示。该图将PCLD梁离散成31个节点30个单元。按一般有限元单元组装法对总共30个单元组装后即可求得总质量阵和总刚度阵。

图3　PCLD梁结构有限元离散示意图Fig.3. The finite element discrete of the PCLD beam

2.2单元的收敛性试验

单元的收敛性是有限元的一个重要性能，直接关系到是否能得到收敛解和计算时使用合适的单元数目以同时得到满意解和兼顾计算机时。此处收敛性试验的目的是测试有限元单元数目大小对计算结果的影响。当单元数目增加而结果变化不明显(即趋于一个稳定值)时，就认为计算结果是收敛的，或者说是对结构的真实反映。如果有限元单元数目增大过程中，计算结果一直存在很大的波动，就说明单元不收敛，也就无法得到合理的有限元解。

为了考察本文有限元模型的收敛性，即讨论离散单元数目对结果的影响，也就是要讨论到底需要多少单元来离散才合适。因为单元数目过少可能导致结果不收敛，单元数量过多会导致单元组装和方程求解工作量的增大。为此，设计一个简单的算例试验来研究这一问题。

假设如图3所示的PCLD梁。其长度为300 mm，宽度为30 mm。约束层，黏弹性层和基梁层的厚度分别为2 mm，3 mm和5 mm。各层材料参数取自文献[12]，即约束层，基梁层，黏弹性层的弹性模量分别为69 GPa，69 GPa，0.017 9 GPa,；密度分别为2.766×103kg/m3，2.766×103kg/m3，968.1 kg/m3；材料泊松比均为0.3。设黏弹材料损耗因子为1.0。采用本文推导的2节点8自由度梁单元对该PCLD梁结构进行离散，单元数目分别为3，5，10，15，20，25，30，35，40。计算得到的固有频率和损耗因子随单元数的变化分别如图4和图5所示。

图4　单元数目对PCLD梁固有频率的影响Fig.4 The effect of the element number on the first three order natural frequencies of the PCLD beam

图5　单元数目对损耗因子的影响Fig.5 The effect of the element number on the first three order loss factors of the PCLD beam

从图4和图5可以看出该单元具有良好的收敛性。当单元数为5时系统的固有频率和损耗因子的计算结果即开始有明显的收敛趋势，当单元数达到15时各曲线基本没有变化，可认为达到收敛要求了。

3模型验证

为了验证本文有限元模型的有效性，以文献[17]的实验数据为标准，分别用本文有限元压缩模型计算结果和三个解析模型：Sisemore模型[17]、Douglas-Yang模型[13]和Mead-Markus模型的计算结果进行对比。这些模型的区别在于：前两个解析模型均是基于压缩耗能假设，第三个解析模型是基于剪切耗能假设，而本文模型是基于压缩耗能假设的有限元模型。

Sisemore[17]为研究黏弹夹芯梁的压缩阻尼，对九根不同厚度的悬臂黏弹性夹芯梁进行了实验并用压缩解析模型进行了求解。表1给出了黏弹夹芯梁的材料参数，表2给出了各悬臂夹芯梁的厚度参数。所有梁的长度均是314 mm长和25.4 mm宽。

表1　PCLD梁结构的材料和结构参数

黏弹性材料为EAR-C1002，其剪切弹性模量和损耗因子随着频率和温度的变化而变化。它们和频率的关系表达式[18]为：

G0=44.4-17.6/a N/mm2

(29)

G0为黏弹材料剪切模量的实部，a=0.4+0.000 3f，f为频率( Hz)。

ηv=1.643-0.602 5z2-0.255 7×10-20/z16+

0.126 0×10-9/z8-0.195 9×10-4/z4

(30)

式中，z=0.05+0.000 475f。

表2　PCLD梁结构的厚度

表3是用本文有限元模型和另外三种解析模型对表2中的九根黏弹性夹芯梁的前两阶固有频率的计算结果和实验结果比较。用本文有限元模型计算时，将该PCLD梁结构离散为30个单元。

从表3可以看出，压缩模型对黏弹夹芯梁的前两阶共振频率预估精度比剪切模型要好。Sismore模型对第1阶固有频率的预估误差最小为0.1%，最大为9.7%，平均为4.5%，对第2阶固有频率的预估误差最小为3.6%，最大为11%，平均误差为6.9%。Douglas-Yang模型对第1阶固有频率预估误差最小为1.2%，最大为21%，平均为12.5%，对第2阶固有频率的预估误差最小为1.3%，最大为11%，平均误差为6.7%。Mead-Markus模型对第1阶固有频率预估误差最小为13%，最大为51%，平均为25.7%，对第2阶固有频率的预估误差最小为14%，最大为51%，平均误差为31.2%。本文有限元方法对第1阶固有频率的预估误差最小为2.9%，最大为9.1%，平均为6.1%。对结构第2阶固有频率的预估误差最小为0.04%，最大为9.4%，平均误差为4%。

总的来看，在求解本文给定参数条件上黏弹夹芯梁的前两阶固有频率的解析模型中， Sismore模型的精度最好，其次是Douglas-Yang模型，基于剪切耗能假设的Mead-Markus模型最差。而本文的有限元模型计算结果与Sismore模型非常接近。

根据欧拉梁模型，当基梁没有附加阻尼层和约束层时，其前两阶固有频率为53 Hz和333 Hz。加了黏弹性层和约束层后，夹芯梁的刚度和质量均增加，前者会导致固有频率的增加，后者会导致固有频率的下降。从表3的实验结果可以看出，加了约束层和黏弹性层之后固有频率比基梁的固有频率低，这说明质量的增加对固有频率的影响占主导地位，这是因为黏弹性层的质量和弹性层的质量是同一数量级，而其刚度却比弹性层要小三个数量级，所以质量的影响要大于刚度的影响。从这一点来看，基于剪切假设的Mead-Markus模型的计算值均大于基梁的固有频率，这说明剪切模型高估了刚度的影响，与实际不相符。而压缩模型显然更符合实际。

表4是各模型对黏弹夹芯梁的阻尼比的预估精度与实验值的比较情况。整体来看，所有的模型对阻尼比的预估精度均不大理想，但仍能从中看出一些规律：在对1阶固有频率对应的阻尼比的预估中，压缩模型只对3、6、9梁的预估比较好。这三根梁有个共同点就是约束层相对较厚，与基梁厚度相同，且在这种情况下黏弹性层越厚，预估精度越高。这是因为当约束层越厚，其刚度越大，在振动的时候黏弹性层就越不容易使其产生弯曲变形，换句话说，这时候黏弹性层就越容易被横向压缩和拉伸，且黏弹性层越厚，压缩耗能效应越明显。而剪切模型对第1阶固有频率对应的阻尼比的预估误差均在100%以上，显然它高估了黏弹夹芯梁的阻尼比，这种高估会在工程实际中带来比较大的问题。在对2阶固有频率对应的阻尼比的预估中，压缩模型是完全失真了，而剪切模型的预估精度却比较高，平均低于25.6%。这是因为在第2阶固有频率下，黏弹夹层梁的剪切耗能模式占主导地位，压缩阻尼耗能次之。这也显示了黏弹夹芯梁阻尼耗能模式的复杂性，其不但与结构的各层厚度有关，也与结构的振动模态相关。目前还没有一种耗能模式能完全适用所有的模态。但就模型验证而言，本文有限元模型计算结果与文献[17]中Sismore模型是非常吻合的。

表3　PCLD梁结构的前两阶模态对应的固有频率

表4　PCLD梁结构的前两阶模态对应的阻尼比

上述算例中，梁的厚度比较厚，为了更好的探索压缩阻尼模型的适用情况，下面再引入一个薄壁黏弹夹芯梁的算例[19]。这一算例广泛用于剪切模型验证，公认程度比较高。该梁的材料和结构参数如表5所示。

表5　薄壁PCLD梁结构的材料和结构参数

表6和表7分别为本文有限元模型和经典的六阶剪切模型对该黏弹夹层梁的前三阶固有频率和损耗因子求解的比较情况。

表6　PCLD梁结构前三阶模态对应的固有频率

表7　PCLD梁结构前三阶模态对应的损耗因子

从表6和表7的计算结果可以看出，本文压缩模型对薄壁梁的固有频率和损耗因子的预估误差都非常大，这是因为在薄壁梁中，由于基梁和约束层都比较薄，容易发生弯曲变形，不足以使黏弹性层产生足够的压缩变形，故在这种情况下，耗能模式主要是剪切耗能，此时再用压缩耗能模式是不符合实际的。

4结论

基于压缩耗能假设建立了一种新的PCLD梁有限元模型并研究了其振动和阻尼特性。该有限元单元为三层二节点梁单元，每个节点4个自由度。建模时认为黏弹性材料是可以压缩的且PCLD梁的阻尼是由黏弹性层的横向压缩/拉伸引起。为了验证该有限元模型的有效性，引入了两个算例，将其与实验结果和几种解析模型进行了对比，得出以下结论：

(1) 本文有限元模型能很好地计算本文给定参数的PCLD梁结构的共振频率，但对损耗因子的预测精度上有待提高。

(2) 本文有限元模型和解析模型解吻合的非常好。

(3) 剪切模型和压缩模型各有自己适用的条件，其与各层厚度和模态有关。总的来说剪切耗能假设更适用于PCLD薄壁梁；压缩耗能假设适用于基梁和约束层稍厚，刚度较大不易弯曲的PCLD梁。

(4) 当PCLD梁的表面层厚度过大时，现有的压缩模型和剪切模型均不能很好地预估其阻尼，这是因为当梁的厚度达到一定程度时，再看成Euler-Bernoulli梁已经不合适了，应该将其视作Timoshenko梁更佳。所以在这种情况下对阻尼的预估还需要有进一步的研究。

参 考 文 献

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Transverse vibration of viscoelastic sandwich beams based on the compression dissipating energy assumption

HUANG Zhi-cheng1,2, QIN Zhao-ye1, CHU Fu-lei1

(1. Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;2. College of Mechanical and Electronic Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen 333000，China)

Abstract:A new finite element model was developed for analyzing the transverse vibration of three-layer viscoelastic sandwich beams. The first layer is the constraining layer, the mid-layer is the viscoelastic core and the third layer is the base beam. The constraining layer and the beam were treated as the Euler-Bernoulli beam. The viscoelastic core was assumed to withstand the tension and compression in the transverse vibration. The compressive strain of the viscoelastic layer comes from the relative vibration of the constraining layer and the base beam, and the displacement of the viscoelastic layer was assumed to be a linear interpolation of the displacements between the constrained layer and the beam. The results by the present finite element model were compared with the experimental results as well as the results by several analytical models to verify its validity. The results show that the finite element model can predict the resonant frequency accurately, but the prediction accuracy of the loss factor needs to be improved on.

Key words:transverse vibration of beam; compression damping; viscoelastic sandwich beam; finite element method; loss factor

基金项目：国家自然科学基金(11272170；51321092)

收稿日期：2015-03-09修改稿收到日期：2015-05-14

通信作者褚福磊 男，博士，教授，博士生导师，1959年出生

中图分类号:HB53

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.10.030

第一作者 黄志诚 男，博士生，讲师，1978年生