FP－投射模的刻画

周德川，吴雅丽，王芳贵

FP－投射模的刻画

周德川，吴雅丽，王芳贵*

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

R－模M称为FP－投射模是指对所有的有限表现模N，都有Ext1R(M，N)=0．证明每个模是FP－投射模当且仅当每个有限表现模是内射模，也证明当R是左Noether环时，则每个模是FP－投射模当且仅当R是半单环．而当R是左凝聚环时，每个模是FP－投射模当且仅当R是VN－正则环且是左自内射环．然后进一步揭示了FP－投射模的子模的性质，引入了左FP－遗传环的概念．证明R是左FP－遗传环当且仅当每个有限表现模的内射维数至多为1．

FP－投射模;左G－半单环;左FP－遗传环

本文提到的环R都是有单位元的结合环，所有的模均指左模．

投射模是环与模范畴与同调代数理论的重要概念之一，它的理论和研究方法影响到代数和其他数学学科．但是在应用中人们也看到了投射模作为研究工具的局限性，故出现了很多关于投射模概念的推广．蒋方明［1］引入并研究了f－投射模;苗佳晶［2］引入了P－投射模的概念;黄影［3］引入了FP－投射模的定义．模M称为FP－投射模，是指对所有的有限表现模文献［3］给出了FP－投射模的一些基础性质．随后，黄影［4］又给出FP－投射维数的概念和一些基础讨论．本文在文献［3－4］的基础上，接着对FP－投射模进行讨论．文献［4］提到:是否能用FP－投射模和FP－投射维数来刻画遗传环、凝聚环等环类．故本文的主要目的旨在进一步刻画研究FP－投射模的性质，并借助FP－投射模对环结构进行刻画．值得指出的是，还有一种FP－投射模的定义．L．X．Mao等［5］通过FP－内射模给出FP－投射模的概念．设M是R－模．若对每个FP－内射模N，都有则M称为FP－投射模．模N称FP－内射模，是指对任意的有限表现模．这2种关于FP－投射模的定义是不等价的．本文讨论的FP－投射模都是指黄影［3－4］定义下的FP－投射模．

1 FP－投射模

回顾文献［3］中FP－投射模的定义．对环R，R－模M称为FP－投射模，是指对所有的有限表现模A，都有－投射模关于直和、直和项封闭．

下面来看一下FP－投射模的等价刻画．

命题 1．1 设 M是 R－模，则以下各条件等价:

1)M是FP－投射模;

2)对任何正合列0→A→B→C→0，其中A是有限表现R－模，则诱导序列0→HomR(M，A)→HomR(M，B)→HomR(M，C)→0也是正合列;

3)设h:B→C是满同态．若ker h是B的有限表现子模，则任何同态f:M→C可以提升到B，即存在同态g:M→N，使得f=hg;

4)任何形如0→A→B→M→0的正合列分裂，其中A是有限表现R－模．

证明 1) 4) 由文献［6］的推论7．20可证．

定理1．2 设R是左凝聚环．对R－模M，以下各条件等价:

1)M是FP－投射模;

2)对任何有限表现循环模Rx有

3)对R的任何有限生成左理想I有

证明 1) 2) 显然．

2) 1) 设N是由x1，x2，…，xn生成的有限表现模，即N=Rx1+…+Rxn．对生成元个数n用归纳法证明．

n=1时由条件知断言成立．设n＞1，令N1= Rx1+…Rxn－1．于是 N/N1是有限表现循环模，故．由于R是左凝聚环，而左凝聚环的有限表现模是凝聚模，故N是凝聚模，从而N的有限生成子模N1也是有限表现R－模．由归纳假设有=0．由正合列0→N1→N→N/N1→0有

2) 3) 对R的有限生成左理想I，有R/I是有限表现循环R－模，故由条件知

3) 2) 对任何有限表现循环模Rx有

其中ann(x)是x的零化子，即

由于Rx是有限表现模，故ann(x)是R的有限生成左理想．由条件知，故

定理1．3 设R是左凝聚环，则有限表现FP－投射模是投射模．

证明 设M是有限表现FP－投射模，取正合列0→K→F→M→0，其中F是有限生成自由R－模．由于M是有限表现R－模，故K是有限生成R－模，又R是左凝聚环，从而K是有限表现的．由定理1．1知此正合列分裂，故M是自由模的直和加项，从而M是投射模．

推论1．4 设R是Noether环，则每个有限生成FP－投射模是投射模．

定理1．5 设0→M1→M→M2→0是正合列．若M1、M2是FP－投射模，则M是FP－投射模．反之，若此正合列分裂，则由M是FP－投射模，有M1、M2是FP－投射模．

众所周知投射模有Schanuel引理，证法类似，也可得到FP－投射模也有类似的Schanuel引理．

1)0→K1→K2P1→P2→0是正合列;

2)若P2是FP－投射模，K1是有限表现R－模，则K2P1K1P2．

下面讨论在交换环上FP－投射模的另一个性质．

定理1．7 设R是交换环，M是FP－投射模．

2)若P是有限生成投射模，则HomR(P，M)是FP－投射模．

证明 1)由同构关系(文献［7］的定理4．5．9)

即知;

2)由同构关系(文献［7］的定理4．5．11)

即知．

2 FP－投射模对环的刻画

文献［4］提到:是否能用FP－投射模和FP－投射维数来刻画遗传环、凝聚环等环类，或者能否用FP－投射模来刻画一个新的环类．本节主要就是来讨论用FP－投射模来刻画环的问题．

首先来看一下每个模都是FP－投射模的环是什么样的环．

定义2．1 设R是环．若任何左R－模的有限表现左子模为其直和加项，则称环R为左G－半单环．

定理2．2 设R是环，以下各条等价:

1)R为左G－半单环;

2)每个R－模是FP－投射模;

3)每个有限生成R－模是FP－投射模;

4)每个循环R－模是FP－投射模;

5)对任意R－模E，满足任意R－模M的有限表现子模K到E的同态能提升到M到E的同态;

6)每个有限表现R－模是内射模．

2) 5) 设E、M是任意R－模，K是M的有限表现子模．故有正合列，其中i是包含映射．由条件知M/K是FP－投射模，故由命题1．1知此正合列分裂，故存在

使得gi=1K．对 f∈HomR(K，E)．令h=fg，则hi= fgi=f1K=f，如图2所示．

5) 1) 对任意R－模B，A是B的有限表现子模．由3)知对恒等映射1A∈HomR(A，A)，存在f∈HomR(B，A)，使得fi=1A，其中i:A→B是包含映射．故正合列0→A→B→C→0分裂．从而A是B的直和加项，如图3所示．

2) 3) 4) 显然．

4) 6) 设A是有限表现R－模．对R的任意左理想I，由条件知R/I是FP－投射模，故

从而A是内射模．

6) 1) 对任意R－模B及其有限表现子模A，有正合列0→A→B→B/A→0，由条件A是内射模，故该正合列分裂．从而A是B的直和加项．

VN正则环即每个模是平坦模的环，等价于每个主左理想由一个幂等元生成．在R是左G－半单环的条件下，VN正则环与左凝聚环是一致的．具体来看下面命题．

命题2．3 设R是左G－半单环，以下各条等价:

1)R为VN正则环;

2)R为左半遗传环;

3)R为左凝聚环;

4)R的每个主左理想是有限表现R－模．

证明 1) 2) 3) 4) 显然．

4) 1) 设I是环R的主左理想，由条件知I是有限表现R－模．由R是左G－半单环，故I是R的直和加项，从而I是由一个幂等元生成的．

定理 2．4 设R是左 Noether环，以下各条等价:

1)R是半单环;

2)R是左G－半单环．

证明 1) 2) 显然．

2) 1) 设 I是 R的左理想，由于 R是左Noether环，故I是有限表现的，由定理2．2知I是内射模．故正合列0→I→R→R/I→0分裂．从而I是R的直和加项．所以R是半单环．

在左凝聚环条件下，每个模是FP－投射模可以刻画一个比半单环更弱的环，即VN正则环，反之要想在左凝聚环条件下用VN正则环来刻画左G－半单环，需要加上VN正则环本身是左自内射环，即环作为自身模是内射模．要想得到此等价刻画，需要用到下面引理．

引理2．5［8］环R是VN正则环当且仅当每一R－模是FP－内射模．

上述引理中的 FP－内射模是 B．Stenstr m［9］提出的，A是FP－内射模，是指对所有的有限表现模M，有=0．A是FP－内射模等价于任意自由R－模F的有限生成子模K到A的同态能提升到F到A的同态．朱占敏［10］给出了广义内射模GFP－内射模的概念，即:对R－模A，若对任一2－表现R－模M，有=0，则称 A为GFP－内射模．其中R－模M是n－表现的是指，存在一个正合列Fn→Fn－1→…→F1→F0→M→0，其中每个Fi是有限生成的自由R－模．

引理2．6［10］环R是左凝聚环当且仅当GFP－内射模为FP－内射模．

定理2．7 设R是左凝聚环，以下各条等价:

1)R是VN正则环且是左自内射环;

2)R是左G－半单环;

3)R是左自内射环且每个R－模是GFP－内射模．

证明 1) 2) 对任意有限生成理想I，由于R是VN正则环，由引理2．5知，I是FP－内射模．从而I到I的恒等同态能扩张到R到I的同态，故正合列0→I→R→R/I→0分裂．所以有R/I是R的直和加项，由于R是内射模，故R/I是内射模，从而对任意R－模M，．由定理1．2知 M是FP－投射模，从而R是左G－半单环．

2) 1) 对任意主左理想I，由于R是左凝聚环，故I是有限表现模．由定理2．2知I是内射模，故正合列0→I→R→R/I→0分裂．所以I是R的直和加项，故I是由一个幂等元生成，从而R是VN正则环．R作为自身模是有限生成自由模，从而是有限表现模．又由定理2．2知R作为自身模是内射模，故R是左自内射环．

1) 3) 由引理2．5及引理2．6知．

投射模显然是FP－投射模，但FP－投射模未必是投射模，由上述定理就可以给出FP－投射模不是投射模的例子．

例2．8 设

其中每个Ki是域，则R是左VN正则环且是左自内射环，但 R不是左半单环，故存在一个 R－模是FP－投射模但不是投射模．

下面讨论每个FP－投射模的子模是FP－投射模是什么样的环的问题．

定义2．9 若R的每个FP－投射模的子模还是FP－投射模，则R称为左FP－遗传环．

左遗传环显然是左FP－遗传环．下面给出左FP－遗传环的一些等价刻画．

定理2．10 对环R，以下各条件等价:

1)R是左FP－遗传环;

2)投射模的子模是FP－投射模;

3)自由模的子模是FP－投射模;

4)R的每个左理想是FP－投射模;

5)每个有限表现R－模的内射维数至多为1．

证明 1) 2) 3) 4) 显然．

4) 5) 设K是有限表现R－模，对于R的左理想I，有正合列0→I→R→R/I→0，从而有正合列

故l．idRK≤1．

5) 1) 设M是FP－投射模，A是M的子模，K是有限表现R－模，有正合列0→A→M→M/A→0．可诱导出正合列

推论2．11 设R是左FP－遗传环，M是R－模，则M是FP－投射模当且仅当对任意正整数n及有限表现R－模A，有

证明 必要性 当n=1时，由FP－投射模的定义知，对任意有限表现R－模A，有0．当n＞1时，由定理2．10知，任意有限表现R－模A的内射维数小于等于1，故

充分性 n取1即知．

推论2．12 设R是左FP－遗传环，0→A→B→C→0是正合列，如果C是FP－投射模，则A是FP－投射模当且仅当B是FP－投射模．

回顾一下文献［11］中对任何R－模M的左FP－内射维数(用l．FP－id(M)表示)的定义inf{n|对任意有限表现R－模F，Extn+1R(F，M)=0}．

命题2．13 设R是Noether环，M是任意R－模，则l．FP－id(M)≤n当且仅当idRM≤n．

证明 设 R是 Noether环，M是 R－模，当l．FP－id(M)≤n时=0，其中F是有限表现R－模．对R的任意左理想I，由于R是Noether环，故I是有限生成的，从而R/I是有限表现R－模，故=0，从而idRM≤n．反之显然成立．

引理2．14［9］环R是左凝聚环当且仅当左FP－内射维数小于或等于n的R－模的正向极限的左FP－内射维数小于或等于n．

推论2．15 设R是左Noether环，则R是左遗传环当且仅当R是左FP－遗传环．

证明 必要性 显然．

充分性 对任意R－模M，有

其中N取遍M的所有有限表现子模．由于R是左FP－遗传环，由定理2．10知N的内射维数小于等于1，即 idRN≤1．所以可由命题 2．13得到l．FP－id(N)≤1．由R是左Noether环及引理2．14知l．FP－idR(M)≤1，又由定理2．13知idRM≤1，故gl．dim(R)≤1，从而R是左遗传环．

［1］蒋方明．f－投射模的直积和正向极限［J］．南京理工大学学报(自然科学版)，1993(6):58－60．

［2］苗佳晶．关于P－投射模［J］．吉林师范大学学报(自然科学版)，2007，28(3):109－110．

［3］黄影．关于FP－投射模［J］．吉林师范大学学报(自然科学版)，2007，28(1):47－48．

［4］黄影．关于FP－投射维数的若干性质［J］．沈阳师范大学学报(自然科学版)，2008，26(1):39－41．

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［7］王芳贵．交换环与星型算子理论［M］．北京:科学出版社，2006．

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［14］周德川，王芳贵．交换环上的强w－投射模［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(2):148－151．

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The Properties of FP-Projective Modules

ZHOU Dechuan， WU Yali， WANG Fanggui

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring．An R-module M is called FP-projective if Ext1R(M，N)=0 for any finitely presented module N．In this paper，we prove that every R-module is FP-projective if and only if every finitely presented module is injective．Then it is proved that if R is a left Noether ring，then every R-module is FP-projective if and only if R is a semi-simple ring．However，if R is a left coherent ring，every module is FP-projective if and only if R is a Von Neumann regular ring and R is a left self-injective ring．Finally，in order to discuss the properties of submodules of FP-projective modules，the definition of left FP-hereditary rings is described and it is shown that R is FP-hereditary if and only if the injective dimensions of finitely presented modules are less than 1．

FP-projective module;left G-semi-simple ring;left FP-hereditary ring

O154

A

1001－8395(2016)05－0634－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．003

(编辑 陶志宁)

2015－12－07

国家自然科学基金(11171240)

*通信作者简介:王芳贵(1955—)，男，教授，主要从事交换代数、同调代数与代数K－理论的研究，E－mail:wangfg2004@163．com

2010 MSC:13B30;13D30;16D40