有限维空间中扰动变分不等式解的存在性

王昱岚，何诣然

有限维空间中扰动变分不等式解的存在性

王昱岚，何诣然*

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

主要讨论在有限维空间中变分不等式问题的扰动分析，假设一个强制性条件成立，对变分不等式涉及的映射F及相应的集合K都做了扰动后，证明扰动后的变分不等式解集非空．与已有文献相比，该扰动分析没有假设映射F的单调性．

变分不等式;上半连续;集值映射;扰动

变分不等式问题GVI(F，K)指的是求x∈K使得存在ξ∈F(x)满足

其中，KRn是非空闭凸集，F:K→Rn是有非空紧凸值的集值映射．在本文中用GVI(F，K)和Sol(F，K)分别表示变分不等式问题(1)和它的解集．

变分不等式是非线性分析领域研究的主要内容之一．近年来，许多专家学者深入研究了变分不等式问题(1)［1－17］．特别地，许多文献介绍了变分不等式问题的扰动分析［2，13－15］，其中，文献［2］介绍了自反Banach空间中具有伪单调映射的变分不等式的扰动分析，分别从仅仅扰动变分不等式所涉及的映射和只扰动相应的集合2个方面做了研究．文献［13］在自反Banach空间中研究了具有极大单调映射的变分不等式的扰动分析．文献［14］在文献［2］的基础上研究了同时扰动变分不等式问题中的映射和集合时，对偶变分不等式解集的变化情况，其中定理3．2假设映射是真拟单调的，证明了扰动后的对偶变分不等式解集非空且有界，定理3．3假设映射是伪单调的，研究了扰动后的广义变分不等式解的存在性及有界性．文献［15］引入了 －伪单调的定义，在自反Banach空间研究了具有 －伪单调映射的混合对偶变分不等式的扰动分析．

然而，以上文献在研究变分不等式问题的扰动分析时，都假设了映射具有一定的单调性．最近，文献［4］在有限维空间中研究了当映射不具有任何单调性时，集值变分不等式的扰动分析，其中，定理3．1在扰动相应映射的情况下，说明了扰动后的变分不等式有解并且解有界，定理3．3研究了只扰动其中映射时，扰动后的变分不等式的解集非空．

但是，文献［4］的研究仅限于只扰动相应映射时，扰动变分不等式解的存在性结论．本文在假设映射F不具有任何单调性的情况下，研究了当一个强制性条件成立，同时扰动变分不等式所涉及的映射F及相应集合K时，扰动后的变分不等式解集非空．本文的定理1介绍了同时扰动映射F和集合K时，扰动后的变分不等式具有非空有界的解，定理3研究了同时扰动映射F和集合K时，扰动后的变分不等式的解集非空．

1 预备知识

设r＞0，Kr={x∈K:‖x‖≤r}，(0，r)={x∈Rn:‖x‖≤r}，B(0，r)={x∈Rn:‖x‖＜r}，barr(K):={ξ∈Rn:〈ξ，x〉＜∞}表示K的闸锥．K∞:={d∈Rn:tn↓0和xn∈K，使得tnxn→d}表示K的收缩锥．

定义1 称集值映射F:K→Rn在K上是上半连续的，如果对任意Rn中的开集M，集合{x∈K: F(x) M}是K中的开集．

定义2 称映射F在K上具有变分不等式性质，如果对每一K中的非空有界闭凸子集D，变分不等式VI(F，D)的解存在．

定义3 设{An}是Rn中的集合列，有如下的定义:

命题 1［16］以下几类映射具有变分不等式性质:

1)每一个上半连续具有非空紧凸值的集值映射;

2)如果F:K→Rn是上半连续具有非空紧凸值的集值映射，q:K→Rn是连续映射，那么F+q有变分不等式性质．

本文考虑以下强制性条件:

(A) r＞0使得对 x∈KKr，y∈K，且‖y‖＜‖x‖满足

(B) r＞0使得对 x∈KKr，y∈K，且‖y‖＜‖x‖满足

(C1) r＞0使得对 x∈(K－r珔B)Kr，y∈ Kr，满足

(C) r＞0使得对 x∈KKr，y∈Kr，满足

(D) r＞0使得对 x∈KKr，y∈Kr，满足

(E) y0∈K，使得集合x〉＞0}在非空时是有界集;

(F) y0∈K，使得集合x〉≥0}是有界集．

2 解的存在性结果

在本章中介绍了本文的主要结果，分别从2方面讨论了同时扰动变分不等式问题中的映射F和集合K时，扰动后的变分不等式解的存在性结果．

KRn是非空闭凸集，DRn是有界闭凸集并且D包含原点，F:K→Rn是一个有非空紧凸值的集值映射．B(0;ε，Km)表示所有满足对任意的x∈Km有‖q(x)‖＜ε成立的连续函数q:Km→Rn，记

定理1 假设存在μ＞0，使得F:K(μ)→Rn是上半连续有非空紧凸值的集值映射，如果条件(B)成立，那么对每一个m＞r，都存在ε＞0使得

证明 设m＞r，假设结论不成立，那么对任意的ε＞0，存在qε∈B(0;ε，K(ε)m)，且θε∈(0，ε)，使得易知K(θε)m:={x∈K(θε):‖x‖≤m}是有界闭凸集．因为F是上半连续有非空紧凸值的集值映射，qε是连续映射，那么存在xε∈K(θε)m，使得

因为xε∈K(θε)m，所以‖xε‖≤m．

(i)如果对某一ε＞0，有‖xε‖＜m，那么对任意的y∈K+θεD，存在t∈(0，1)，使得

这是因为K(θε)的凸性．因此，由(2)式可得

因为y∈K+θεD是任意的，所以xε是GVI(F+qε，K+θεD)的解，故

(ii)如果对每一个ε＞0有‖xε‖=m．不失一般性，可以假设，那么‖d‖ =m．因为xε∈K+θεD，所以存在x'ε∈K使得0，因此d∈K．强制性条件(B)成立，故存在y0∈K，且‖y0‖＜‖d‖=m使得

因为xε∈K(θε) K(ε)，且‖xε‖=m，所以xε∈K(ε)m．

由qε∈B(0;ε，K(ε)m)可知＜ε，故有

因为F是上半连续有非空紧凸值的集值映射，因此

由上极限的定义可知，存在ε1＞0使得

因为‖y0‖＜m，对任意的y∈K+θεD，存在t∈(0，1)，使得z't=y0+t(y－y0)∈K(θε)m，故对任意的ε∈(0，ε1)，可以得到

由(4)式当ε充分小时，xε∈Sol(F+qε，K+θεD)，得到

综上在任何一种情况下，都得到了矛盾，所以假设不成立．

定理2 假设存在μ＞0，使得F:K(μ)→Rn是上半连续有非空紧凸值的集值映射．如果强制性条件(B)成立，那么对任意的ε＞0和所有的m＞r，存在qε∈B(0;ε，K(ε)m)以及θε∈(0，ε)使得

因为 xn∈ K+θεnD，故 存在使得．由于xn→x0且 K为闭集，因此x0∈K．因为F是上半连续映射并且有非空紧凸值，所以{ξn}是紧的，不失一般性，假设对某些ξ∈F(x0)成立．对任意给定的y0∈K，存在yn∈K +θεnD使得

由(5)式可以得到

因为xn∈K(θεn)且‖xn‖≤m，所以xn∈K(θεn)mK(ε)m，又因为，故

在(6)式中取极限n→∞，则有

对某些ξ∈F(x0)有

因为y0∈K是任意的，所以x0∈Sol(F，K)．

因此

引理1 如果K是Rn中的非空闭凸集，珔B是Rn中的单位闭球，用K(δ)来表示集合K－δ珔B(δ＞0)那么barr(K)=barr(K(δ))．

证明 由闸锥的定义容易得到 barr(K) barr(K(δ))．下证barr(K(δ)) barr(K)．任取ξ∈ barr(K(δ))，那么ξ∈Rn且．因为x∈K(δ)，注意到K(δ)=K－δ珔B，故存在x'∈K和b∈珔B使得x=x'－δb．由于

因此

那么ξ∈barr(K)，由ξ的任意性，则有barr(K(δ)) barr(K)．

所以

在下面的定理中记K(δ)=K－δ珔B(δ＞0)，其中珔B表示Rn中的单位闭球．

定理3 假设int(barr(K))≠ ，存在ρ＞0，使得F:K(ρ)→Rn是一个上半连续具有非空紧凸值的集值映射．如果强制性条件(C1)成立，那么对任意的q∈int(barr(K))，存在ε1∈(0，1/r)且δ1＞0使得

证明 假设结论不成立，那么对任意的m∈N且m＞r，存在εm＞0和δm∈(0，δ1)，εm＜1/m，使得

定义Em:={x∈K(δm):‖x‖≤1/εm}，易知Em是有界闭凸集．因为F是上半连续具有非空紧凸值的集值映射，因此对每一个m∈N，存在xm∈Em使得

(i)如果对某一m，‖xm‖＜1/εm，那么对任意的y∈K－δm珔B，存在t∈(0，1)使得zt=xm+t(yxm)．因为‖zt‖≤1/εm，而且是凸集，所以zt∈Em，那么由(9)式可知

因此，

(ii)如果对每一个m有‖xm‖=1/εm．因为1/εm＞m＞r，故xmKr，再者，因为．强制性条件(C1)成立，故存在ym∈Kr满足

由于‖ym‖＜r＜1/εm，那么对任意的y∈K－存在t∈(0，1)使得z't=ym+t(y－ym)且‖z't‖≤1/εm，因为是凸的，所以，那么有

由(9)和(10)式可得

由于{ym} Kr，故{ym}是有界的，因此εm〈q，ym〉→0．当m充分大时有

因为y∈K－δm珔B是任意的，所以xm是GVI(F－εmq，K－δm珔B)的解．

因此

综上，在任何一种情况下都推出了矛盾，故假设不成立．

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Solvability of Perturbed Variational Inequality in Finite Dimensional Spaces

WANG Yulan，HE Yiran

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

This paper discusses the perturbed variational inequalities in finite dimensional spaces．It is shown that if a coercivity condition holds and both the mapping F and the constraint set K of the variational inequality are perturbed，the perturbed variational inequality has a solution．Compared with the existing literature，the perturbation analysis does not assume any monotonicity of the mapping F．

variational inequalities;upper semi-continuous;set-valued mapping;perturbation

O221．2

A

1001－8395(2016)05－0625－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．001

(编辑 郑月蓉)

2015－06－30

国家自然科学基金(11271274)

*通信作者简介:何诣然(1973—)，男，教授，主要从事非线性规划的研究，E－mail:yrhe@sicnu．edu．cn

2010 MSC:47J20;49J40