一维更键反铁磁链的孤子激发*

汪 森，陈 浩，王瑞强

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

一维更键反铁磁链的孤子激发*

汪 森，陈 浩，王瑞强

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

反铁磁链；孤子；多重尺度法

磁性物质在现代科学技术中占有重要地位，对于它的理论研究一直是凝聚态物理学[1-3]、材料物理学等的热点[4-7]。由于磁性物质的许多物理现象都与其磁性链中的非线性元激发(孤子)有关，准一维磁体的孤子激发问题逐渐得到重视，并在理论研究上取得了一系列进展[8-15],人们求出了一维磁性链中存在单离子各向异性、交换作用各向异性等非线性项时的孤子解。 由于很多磁性物质具有更键的特点，文献[10]已经对一维更键铁磁链的孤子激发进行了研究。 一维更键反铁磁物质同样重要，而且得到广泛研究[16-19]，尤其是二聚化而导致更键的反铁磁链[14,18-19]，成为近年研究的热点，但一维更键反铁磁的孤子激发问题还没得到很好的解决。

对于一维反铁磁链，很多模型中都考虑了Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用[11,13,15]，DM相互作用存在于很多反铁磁体中，根源于粒子自旋和轨道耦合的反对称性，是由Dzyaloshinskii[20]和Moriya[21]分别提出，是一种各向异性超交换相互作用。因为可用超交换作用模型解释反铁磁自发磁化的起因[22]，所以在反铁磁模型中考虑超交换作用是很有必要的。Moriya在1960年给出了DM相互作用的表达式，常见的所研究的反铁磁链模型中[11,13,15]，DM相互作用都是交错的，其所对应的哈密顿量为

(1)

上式中DZ=(0，0，D)，代表DM相互作用矢量，已取该矢量方向为Z方向，D为其大小；Si和Si+1分别代表格点i和i+1上的自旋矢量。

DM相互作用是依赖于媒介而实现的，其大小一般情况下远小于最近邻直接交换作用，如文献[23-24]所述的苯甲酸铜和CsCuCl3这两种物质，因此在一维反铁磁链中，考虑DM相互作用的同时，有必要考虑与其大小大致处于同一量级的次近邻直接交换作用。

本文求出了一维更键反铁磁链的亮孤子解，在链中考虑了DM相互作用、外磁场作用、最近邻和次近邻相互作用。 在此基础上，讨论了波数k、更键强弱对孤子峰值、宽度、能量等的影响。

1 模型的哈密顿量和运动方程

对于在外磁场作用下、具有DM相互作用的一维更键Heisenberg反铁磁链，考虑到次近邻相互作用时，其哈密顿量H可表示为:

(2)

(3)

可采用双子格模型，设每个子格中自旋数为N,总的磁离子数为2N,并设2j、 2j+1两子格中自旋分别沿+Z、-Z方向，利用Holstain-Primakoff变换[25]

(4a)

(4b)

(5)

在低温情形下，对式(4a)、(4b)做展开，并略去算符的三阶以上项，代入到式(3)中，结合式(5)以及各物理量的大小特点，得到

(6)

(7)

哈密顿量(6)式所描述的系统的量子态可表示为|ψ〉,满足

(8)

利用海森伯运动方程，可得到算符a2j、b2j-1的运动方程，令Vj=α2j、φj=β2j-1，得

(J1S+J1′S-μB)Vj+J2S(Vj+1+Vj-1-2Vj)+

(9)

(J1S+J1′S+μB)φj+J2′S(φj+1+φj-1-2φj)+

(10)

2 多重尺度方法求解

利用准分立近似和多重尺度相结合的方法[27-28]，将Vj(t)和φj(t)按下述方式展开：

(11)

(12)

(13)

其中

(14)

(15)

上式中,yj(t)代表Vj(t)或φj(t)；ε是展开小量；τ、ξj、θj都是多重尺度变量，其中θj为快变量，τ、ξj为慢变量；b则为最邻近元胞的间距；t为时间，vg、ω为待求量。

把式(11)、(12)、(13)、(14)、(15)代入式(9)、(10)，并比较ε的不同幂次项。为了方便表达，定义如下：

(16)

(17)

(18)

1)比较ε的一次项，得到

(19)

(20)

由式(19)、(20)，得

(21)

由式(19)、(20)、(21)可得

(22)

(23)

上式中θj=kjb-ωt,其中的ω、A1为

(24)

(25)

(26)

(27)

C3=(J1S-iDS)exp(ikb)+

(28)

由以上计算过程可知，式(24)中ω即系统在不考虑非线性项时的自旋波频率，分为光学支ω+和声学支ω-。

2)比较ε的二次项，得到

(29)

(30)

由式(29)、(30)以及式(22)、(23)可得

(31)

上式中，右端含有诱发久期项的exp(iθj)，为了消除久期项，要求右端方括号内的值为零,得到

(32)

(33)

[ivgA1-b(J1S-iDS)exp(ikb)-i2J2′SbA1sinkb]

(34)

3)比较ε的三次项，得到

(35)

(36)

由式(35)、(36)，结合式(22)、(23)、(32)、(33)、(34)可得

(37)

上式中，右端含有诱发久期项的exp(iθj)，为了消除久期项，得到

(38)

其中

(39)

(40)

(41)

很显然，上式即是标准的非线性薛定谔方程。

3 孤子解

当式(39)、(40)中P>0、Q>0时，根据文献[27],式(41)有着亮孤子解,即

exp{i[qxj-(q2P-γ)t]}

(42)

将上式代入F1(τ,ξj)=f(xj,t)/ε，再结合式(11)、(15)、(22)、(23)，可知，在Vj(t)、φj(t)取一级近似下，有

(43)

(44)

其中Ω=qvg+q2P-γ+ω，γ>0，γ、k、q是待定常数，x0是积分常数,b则为最邻近元胞的间距，A1、vg、P、Q分别由式(25)、(32)、(39)、(40)表达。

若将所讨论的反铁磁链闭合成一个环，则Vj(t)满足周期边界条件Vj(t)=Vj+N(t)，式中N为元胞的个数,代入式(43)，可得

(45)

将式(43)、(44)代入式(8)，得

(46)

将上式归一化，得

(47)

4 讨论(取q=0)

图1 m取不同值时ω的图像Fig.1 The images of ω with different m

图2 m取不同值时Q的图像Fig.2 The images of Q with different m

由两孤波中Ω=qvg+q2P-γ+ω，γ>0，当q=0时，有Ω=-γ+ω，可知Ω<ω，即两孤波能量量子相同，且小于不考虑非线性项时自旋波相应能量量子，这表明由于非线性相互作用而导致的孤波解是稳定解。

很明显，A1为复数，A1的大小和相位都随m的变化而变，也就是说，更键的强弱不仅影响两孤子的相对峰值大小，还影响相对相位。

图3 m取不同值时Vj孤子峰值的图像Fig.3 The images of the soliton peak of Vj with different m

图4 m取不同值时φj孤子峰值的图像Fig.4 The images of the soliton peak of φj with different m

图6显示了k=3时，Vj(t)(令x=jb)孤子的包络振幅随x、t变化的规律，可明显看出，一维更键反铁磁链中确实有孤子存在。

当2qP+vg=0时，式(43)、(44)表示的孤子包络振幅不随时间而变化，代表局域模。

图5 m取不同值时Vj孤子宽度的图像Fig.5 The images of the soliton width of Vj with different m

图6 k=3时Vj孤子振幅的图像Fig.6 The image of the soliton amplitude of Vj with k=3

5 结 论

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Soliton excitation in a one-dimentional antiferromagnetic chain with bond alternation

WANGSen，CHENHao，WANGRuiqiang

(School of Physics and Telecommunication Engineering,South China Normal University,Guangzhou 510006,China)

antiferromagnetic chain； soliton； multi-scale method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.015

2015-10-22

国家自然科学基金资助项目(11174088)

汪森( 1980年生) ，男;研究方向:低维非线性物理;通讯作者: 陈浩;E-mail:chenhao@ scnu.edu.cn

O482.51；O

A

0529-6579(2016)03-0089-08