顺从群作用的测度中心与极小吸引中心*

王丽娟，周云华

(重庆大学数学与统计学院，重庆 401331)

顺从群作用的测度中心与极小吸引中心*

王丽娟，周云华

(重庆大学数学与统计学院，重庆 401331)

研究顺从群作用的动力系统的测度中心和极小吸引中心。具体地，首先给出了顺从群作用的动力系统的测度中心和极小吸引中心的定义，然后证明了主要结论：一个非空集合的测度中心与极小吸引中心相同。此结果是周作领所得结论在顺从群作用系统中的推广。

测度中心；极小吸引中心；顺从群作用

(i)Γ(eG,x)=x,∀x∈X；这里eG是G的单位元；

(ii)Γ(g1,Γ(g2,x))=Γ(g1g2,x),∀g1,g2∈G,∀x∈X。

本文以下总假定X是带有距离d的紧度量空间，G是可数离散顺从群并作用在X上形成一个动力系统。关于顺从群作用动力系统的更多内容，可以参考文[2-4]等。

1 预备知识及主要结果

首先回顾一下F (G)上实函数的一个极限定义。

给定F∈F (G)，δ>0，如果E∈F (G)满足|{s∈E:Fs⊂E}|>1-δ|E|，则称E是(F,δ)-不变的[1,5]。给定函数φ：F (G)→R，若存在L∈R满足∀ε>0，∃F0∈F (G)，δ>0使得对任意(F0,δ)-不变的F，有|φ(F)-L|<ε，则记

下面我们再回顾F (G)上实函数上下极限的定义。

对F1,F2∈F (G)及δ1,δ2>0，若F1⊇F2且δ1≤δ2，则记(F1,δ1)≻(F2,δ2)。令Λ={(F,δ):F∈F (G),δ>0}，则(Λ,)是一个方向集。

令

J(F,δ)={E∈F (G)：E是(F,δ)-不变的}

易知当(F1,δ1)≻(F2,δ2)时有J(F1,δ1)⊆J(F2,δ2)。

给定函数φ：F (G)→R，定义

及

容易看出，

B(X)表示X上的Borelσ-代数。

M(X)表示X上所有概率测度的集合。

M(X,G)表示X上所有G-不变概率测度的集合。即M(X,G)={μ∈M(X) :μ(g-1B)=μ(B),∀B∈B(X),∀g∈G}。

众所周知，M(X)在弱*拓扑下是可度量紧凸空间，M(X,G)是M(X)的紧致凸子集。

定义2 设X0⊂X非空，子集合A⊂X称为X0的吸引中心，如果

(ii)gA=A，∀g∈G；

(iii)Px(v(A,ε))=1，∀ε>0，∀x∈X0，这里V(A,ε)={x∈X:d(x,A)<ε}。

A称为X0的极小吸引中心，如果A是X0的吸引中心，但无A的真子集也是X0的吸引中心。X0的极小吸引中心记为CX0。当X0={x}(x∈X)时，记CX0=Cx，称作x的极小吸引中心；当X0=X时，记CX0=C(G)，称作G的极小吸引中心。

定义3X0⊂X非空，子集合A⊂X称为X0相对于MX0的测度中心，如果

(v)gA=A，∀g∈G；

(vi)μ(A)=1，∀μ∈MX0；

(vii) 无A的真子集满足以上三个条件。

X0相对于MX0的测度中心记为MX0。当X0=X时，记MX0=M(G)，称作G的测度中心。

周作领在文献[8]中给出了紧可度量空间上连续自映射的极小吸引中心的定义，并证明了极小吸引中心与测度中心相等。本文将这一结果推广到顺从群作用的动力系统中。

定理1 设(X,G)为可数无限顺从群G作用在紧度量空间X上的一G-系统，X0为X的一个非空子集，则MX0=CX0。特别地，C(G)=M(G)。

2 主要结果的证明

下面的引理可见文[6]推论6.1.2或[9]定理6.4后面的注记。

由于

故

引理2证毕。

给定μ∈M(X)，μ的支撑Sμ定义为

引理3的证明可由文[8]引理3的证明直接修改得到，故略去其过程。

因此，存在{Fn}⊆F (G)满足

与μ(MX0)=1矛盾。

下证CX0⊃MX0。

这与CX0的定义矛盾。定理证毕。

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[6] 孙文祥.遍历论[M]. 北京:北京大学出版社, 2012.

[7] 周作领, 尹建东, 许绍元.拓扑动力系统——从拓扑方法到遍历理论方法[M]. 北京:科学出版社, 2011.

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[9]WALTERSP.Anintroductiontoergodictheory[M].Berlin-Heidelberg-NewYork:SpringerVerlag, 1981.

Measure center and minimal contracting center for amenable group actions

WANGLijuan,ZHOUYunhua

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University, Chongqing 401331, China)

The measure center and minimal contracting center for amenable group actions are investigated. More precisely, the definitions of the measure center and the minimal contracting center for amenable group actions are given firstly. Then the main result that the measure center of a nonempty set equals to its minimal contracting center is proven. It generalizes the conclusion of Zhou to amenable group actions.

measure center; minimal contracting center; amenable group action

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.008

2015-07-07

国家自然科学基金资助项目(11471056)

王丽娟(1990年生)，女；研究方向：拓扑动力系统;E-mail:dujuan645421351@163.com

O

A

0529-6579(2016)03-0052-03