基于O-U模型的天气衍生品定价研究

◎陈雪娟

基于O-U模型的天气衍生品定价研究

◎陈雪娟

本文通过对郑州市1951-2013年日均气温数据进行分析，建立均值回复O-U模型，对参数进行估计，并检验模型预测的准确度，研究表明：基于均值回复O-U模型的时间序列能够很好的对气温进行预测。最后通过蒙特卡洛模拟方法进行多条路径模拟得到收敛的期权价格。

天气衍生品是针对一般天气风险设计的金融衍生工具，它以气温、降雨量、降雪量、霜冻等天气因子计算出的天气指数作为标的物的金融衍生品。

早期的研究者是通过对天气指数HDDs(heating degree days)和CDDs(cooling degree days)来直接进行建模的。Geman和Leonardi[i]分析了HDD和AccHDD的统计特性和数学意义，认为直接对HDD建模是不合适的。

最近，更多的研究是直接对温度的动态变化进行模拟，估计模型可以推导出相应的指数和天气衍生品价格。Jewson、Brix和Ziehmann[ii]认为直接对气温指数进行计算，如HDDs，可能会造成常见天气与极端天气信息的丢失。Dischel[iii]是第一个提出天气预测的连续随机模型。Dornier和Queruel[iv]在对挪威的日平均气温数据进行拟合时用的是均值回复的O-U过程。Swishchuk和Cui[v]对加拿大两天日平均气温进行建模并得出关于衍生品定价的应用。Göncü[vi]提出了季节波动模型，并通过均值回复O-U过程对北京、上海、深圳的日平均气温进行估计，而且对合约的敏感性进行近似的分析。他们的结果证实了蒙特卡洛模拟的收敛性及近似结果。

温度建模

天气衍生品在国外作为对冲天气风险的金融产品，在中国金融市场的发展也将迅速发展，所以我们关注气温衍生品的建模及定价问题。在本文中，采用对气温数据进行建模，以免因为直接对天气指数建模而丢失信息。基本的建模框架如下：历史日均气温收集；对数据进行必要的修正；建立气温模型；气温模型的检验。

数据收集

通过中国气象数据网，收集了1951~2013年郑州气象站的郑州的日均气温数据。为了消除闰年对数据的影响，我们将闰年的2月29号数据剔除，这样每一年都有365天的日均气温数据，相应的，我们获得一个63年共计22995的数据集。

图1显示了郑州从1951年-2013年的日均气温。这个图也展示了日均气温有强烈的季节性与周期性。日均气温往复的来回运动，并且定期通过高温（夏天）和低温（冬天）。

通过日均气温的概率分布，如图2所示，它的统计特性如表1所示。可以很清晰的看出郑州的基本温度条件。在这里，为了使数据更加容易观察，将气温数据扩大至十倍。

表1 郑州气温数据的统计特性

气温模型建立

用1951~2012年数据进行建模，2013年数据作为检测数据，检测模型。

考虑到气温的季节性变动和长期趋势，用均值回复的O-U模型来描述气温的变化方式。从长远来看，日均气温是围绕着平均温度往复运动的。用Q-Q图来检验温差的正态性。图3显示的图近似为一条直线，所以近似的认为气温的随机波动为布朗运动。

为了模拟这个轨迹，需要将这个过程离散化。方程可以被改写为

通过对上式进行运算，并对参数进行改写简化可以得到

其中

假设波动率是周期函数，将1951年-2012年62年数据分为365组，每组62个数据计算出波动率序列，也即σt=σt+365*k其中t=1,2,…,365，k=1,2,3,…。在计算郑州天气时，用4级的傅里叶级数展开，即I=J=4。

对波动率用非线性回归来计算参数，得到的结果是：

估计均值回复率:在建立的气温预测模型中α是常数，根据Bhowan给出的相关定理得到均值回复率

α的无偏估计为

将数据带入，通过运算得出结果如下：α=0.3198。

模型检验

对模型的有效性进行检验，可以从模型中预测得到的2013年数据与实际数据进行比较，得到不同误差，对模型进行评价。在本文中所用到的误差有均值偏差(mean bias error)、均方根误差（root mean squared error）、百分比平均误差（mean proportionate error）以及绝对无偏百分比误差（unbiased absolute percentage error）。

其中，X是观测值，Y是预测值。得到的具体值是MBE=0.4301，RMSE=5.1763，UAPE=1.8839，MPE=0.2808，尽管这些值不大，但是没有全部接近0，仍然可以认为这个模型可以基本上对气温进行预测。

用蒙特卡洛模拟出期权价格

对于一个HDD的欧式看涨期权来说，假设r是贴现率，T2是合约的到期日，K是成交水平，Np是名义价格时，T1时刻看涨期权的价格为

用蒙特卡洛方法生成一组路径，并在每一条路径上都计算一个价格，然后计算平均价格即为衍生品的预期价格。得到了期权的定价公式为

其中N是模拟的数目。

在本文研究中，关于天气衍生品市场有一个统一的定价方法，我们主要是用一个随机模型来描述气温的变化，并以这个气温是作为天气衍生品看涨期权的标的物。以郑州为例，基于62年的气温数据建立了一个随机模型，并用蒙特卡洛方法对HDD看涨期权进行定价。通过2013年的预测值与观测值的比较验证了，这个随机模型可以很好地描述郑州的天气变化。相对误差证实了均值回复O-U模型能够很好地描述郑州气温的均值、波动及均值回复率。因此均值回复O-U模型能够帮助拟合天气衍生品合约的价格。

（作者单位：华北水利水电大学数学与信息科学学院）