广义AKNS系统及其Darboux阵

李宏恩

(郑州工业应用技术学院 数学教研室，河南 郑州 451150)



广义AKNS系统及其Darboux阵

李宏恩

(郑州工业应用技术学院 数学教研室，河南 郑州 451150)

摘要：超越AKNS系统的孤子方程难以用Darboux变换进行求解.针对此类情形，提出了广义AKNS系统的概念,通过Lax对的可积条件, 证明了广义AKNS系统与AKNS系统有相同形式的Darboux阵λI-S.

关键词：孤立子；Lax对；AKNS系统；广义AKNS系统；Darboux阵

孤立子理论是非线性自然科学的一个重要方向，这一理论为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，但常用的求解非线性偏微分方程的反散射方法[1]和Backlund变换方法[2-3]出现困难时，人们发展了Darboux曾采用过的一种方法，成为Darboux变换法，并在孤立子和可积系统理论中，越来越为人们所注意[4-5].

用Darboux变换对1+1可积系统中的KdV方程、MKdV方程进行求解的方法已经非常成熟，而对MKdV方程的Lax对推广到更一般的情形后得到的AKNS系统如何用Darboux变换求解的问题，谷超豪先生进行了深入、系统的研究，得出了λI-S是AKNS系统的Darboux阵的重要结论[6].下面的研究将采用谷超豪先生的方法对这一结论进行推广，针对科学实验中得到的Lax对超越AKNS系统的情形，建立更为一般的广义AKNS系统，并且得出广义AKNS系统也有λI-S形式Darboux阵的结论.

1广义AKNS系统

为了将MKdV方程的Lax对推广到一般的情形，V.E.zakharov和A.B.Shabat等人引入了一种比较一般的Lax对

(1)

目前，许多领域的科学研究，需要对AKNS系统做进一步的推广，例如俄罗斯科学院的A.M.Kamchatnov 和M.V.Pavlov研究自感应现象时得到如下一个方程对：

(2)

其中

α+β=1.

显然，式(2)不属于AKNS系统，A.M.Kamchatnov和M.V.Pavlov把它称为AKNS系统的衍生函数[8].

在此，对AKNS系统进行推广，建立如下的方程对：

(3)

其中

(4)

(5)

Uj，Vj为N×N矩阵，U，V的表达式中允许λ的负次幂出现，式(4)和式(5)中出现的最低次幂分别为Un+pλ-p和Vm+qλ-q.本文把式(3)称为广义AKNS系统.

2广义AKNS系统的Darboux阵

现在来研究式(3)的一次Darboux阵.这里讨论的是没有约化的Darboux阵，即认为Uj，Vj的各个元素之间除下面的可积条件外，没有任何其他的约束.

式(3)的可积条件为

(6)

T=λI-S为式(3)的Darboux阵等价于存在

(7)

(8)

其中，U*，V*是λ的可出现负次幂的多项式.易见，U*，V*有表达式

U*=TUT-1+TxT-1，

(9)

V*=TVT-1+TtT-1，

(10)

而且，U*，V*满足

(11)

接下来的问题在于求出S使式(8)成立.

引理λI-S是式(3)的一次Darboux阵的充分必要条件：S满足

(12)

证如果λI-S是式(3)的一次Darboux阵，由式(8)的第一个方程得：

(13)

此式对应式(3)的任意解都成立，所以式(13)两边的λj的系数都相等，比较λn+1的系数，得

(14)

比较λ0的系数，得

(15)

比较λ-p的系数，得

(16)

比较其余项λn，λn-1，…,λ，λ-1，λ-2，…，λ-P+1的系数，得

(17)

由式(17)解得

(18)

结合式(14)，由式(17)还可解得

(19)

结合式(16)、(18)及(19)，则式(15)成为

(20)

式(20)还可写为

(21)

类似地，由式(8)的第二个方程得

(22)

比较式(22)中λ的系数可得

(23)

(24)

(25)

(26)

结合式(23)、(25)及(26)，则式(24)成为

(27)

由式(21)和(27)，必要性得证.

定理λI-S是式(3)的Darboux阵.

证hi是式(3)当λ=λi时的解，即它满足

(28)

从而

Sx=HxΛH-1-HΛH-1HxH-1=

(29)

St=HtΛH-1-HΛH-1HtH-1=

(30)

式(29)和(30)说明定理中的阵S是式(12)的解，由引理知λI-S是式(3)的Darboux阵，证毕.

3结论与讨论

本文从AKNS系统出发，建立了广义AKNS系统(3)，证明了λI-S为其Darboux阵.此结论解决了超越AKNS系统的符合(3)形式的孤子方程如何用Darboux变换求解的问题，由此，就可以对一系列超越AKNS系统的孤子方程用Darboux变换的方法进行求解.

参考文献：

[1]李翊神.孤子与可积系统[M].上海：上海科技教育出版社,1999.

[2] 陈登远.孤子引论[M].北京：科学出版社,2006.

[3] 陈登远,张大军,毕金钵.AKNS方程的新双wronski解[J].中国科学A辑：数学，2007，37(11)：1335-1348.

[4] 毕小山,李伟.AKNS系统Darboux变换形式[J].焦作工学院学报,1996,15(4)：110-112.

[5] 贺劲松,张玲,程艺.AKNS系统Darboux变换的行列式表示[J]. 中国科学A辑：数学,2006, 36(9)：971-983.

[6] 谷超豪.孤立子理论中的达布变换及其几何应用[M].上海:上海科学技术出版社,2005.

[7]ZakharovVE,ShabatAB.Aschemeforintegratingthenonlinearequationsofmathematicalphysicsbythemethodoftheinversescatteringproblem[J].Func.Anal.anditsAppl.,1974,8:226.

[8]AMKamchatnov,MVPavlov.OngeneratingfunctionsintheAKNShierarchy[J].PhysicsLettersA，2002，301：269-274.

Generalized AKNS system and its Darboux matrix

LI Hongen

(Zhengzhou University of Industrial Technology, Zhengzhou 451150,China)

Abstract:It is difficult to solve soliton equations beyond the AKNS system using Darboux transformation.For such situation, the concept of generalized AKNS system is proposed in this paper. By means of the integrable conditions of Lax pairs, we have proved that generalized AKNS system and AKNS system has the same form of Darboux matrix λI-S.

Key words:soltion;Lax pair;AKNS system; generalized AKNS system; Darboux matrix

收稿日期：2015-10-16;修回日期：2015-10-26

作者简介：李宏恩 (1966-)，男，河南郑州人，讲师，主要从事孤立子与可积系统研究.

中图分类号：O175

文献标志码：A

文章编号：1671-9476(2016)02-0048-03

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.010