无外力矩气垫转盘自转的定量研究

李思达,田文壮,翟卉馨,吴　昊，吴明和，滕保华

(电子科技大学 a.英才实验学院；b.通信与信息工程学院；c.物理电子学院，四川 成都 610054)



无外力矩气垫转盘自转的定量研究

李思达a,田文壮a,翟卉馨b,吴昊c，吴明和c，滕保华c

(电子科技大学 a.英才实验学院；b.通信与信息工程学院；c.物理电子学院，四川 成都 610054)

摘要：从科里奥利力出发，对无外力矩气垫转盘自转现象进行了定量讨论，通过解析计算科里奥利力对不同形状转盘的影响，并结合数值仿真，形象说明了可以通过改变转盘形状来减少科里奥利力的影响.

关键词：科里奥利力;气垫转盘;角加速度

科里奥利力是描述相对惯性系旋转的参照系中运动质点偏移原来运动方向的作用，它不是真实存在的力，而是惯性作用在非惯性系中的体现. 科里奥利力F与运动质点质量m和速度v及地球自转角速度ω(方向指向北极)的关系为[1-2]

F=2m(v×ω),

(1)

北半球上科里奥利力的水平分量总是指向运动的右侧(在南半球上则总是指向运动的左侧)，因而导致北半球上的气流右偏、河流右岸冲刷严重等.

实际上，科里奥利力在许多领域有着广泛的应用. 例如傅科摆，当摆面方向与地球自转的角速度方向存在一定的夹角，由于科里奥利力的影响，使得摆面发生转动. 再如质量流量计，它让被测量的流体通过转动或者振动中的测量管，由于流体在管道中受到的科里奥利力仅与其质量和运动速度有关，从而可以测量其质量流量. 广泛应用于航天航空航海以及手机当中的陀螺仪，其工作原理也离不开科里奥利力.

本文讨论的气垫转盘问题是科里奥利力的另外一个重要应用. 气垫转盘一般用于测定转盘的转动惯量，由于其机械摩擦小、现象直观、数据准确、测量精度高等特点，已逐渐在物理实验中替代刚体转动实验仪[3-4]. 但是在实验数据处理时，发现转盘分别做顺时针和逆时针转动时的角加速度相差可达0.13 rad/s2. 文献[5]认为这是气垫上的气孔出气不均匀导致转盘受到外力矩而转动的结果，文献[6]指出可能是科里奥利力导致转盘无外力矩时自由转动的原因. 然而，这些文献都是通过实验数据展现出的现象进行定性分析，理论支撑较少，说服力略显单薄. 本文将从科里奥利力出发，分析不同形状的转盘所受到的影响，并定量给出合理的气垫转盘形状的尺寸.

1实验装置及原理

气垫转盘的示意图如图1所示，气泵(气源)从装置下方提供气体，由进气孔输入后，从气室的上表面和定盘的内侧的气孔喷出，转盘由气室上表面喷出的气体托起悬浮，而定盘内侧的气体使动盘作定轴转动[1].

图1　气势转盘示意图

定盘凹槽和转盘之间气体流向如图2所示，定盘喷气小孔均匀分布，凹槽大小均匀，喷出的气体撞上转盘后，分成2股气流，分别以顺时针和逆时针方向沿转盘边缘流动. 顺时针流向的气流受到科里奥利力的作用而向右偏，气流向内侧摩擦转盘，使得气流与转盘边缘之间的摩擦加剧；同理，逆时针流向的气流受科里奥利力作用也向右偏，气流向外侧偏转，气流与左方转盘边缘间的摩擦减小，两力合成，使转盘在摩擦合力矩作用下沿顺时针方向转动.

图2　气室内部俯视图

2科里奥利力对各种转盘的影响

设转盘为圆盘，半径为R，定盘边缘到转盘距离即气体厚度为A，气体密度为ρa，摩擦系数为μ，v为气流速度，ω为地球自转角速度. 由于科里奥利力的作用，转盘周围顺时针流动气体使得圆盘顺时针转动的力矩增加，而逆时针流动气体导致圆盘逆时针转动的力矩减少.

以圆盘形转盘为例，具体推导在仅有气体且无外力矩情况下,科里奥利力造成的角加速度. 参考图2和图3，取定盘周长上一微段气体dl，其质量为dm=Adxdlρa，则它所受的科里奥利力为

dFC=2dm(v×ω) ,

(2)

图3　气垫转盘示意图

由于气体沿转盘的切向流动，而气体所受的科里奥利力沿径向形成对转盘的挤压趋势，从而对转盘产生的摩擦力为

df=2μdmvω.

(3)

式中μ相当于摩擦系数，但一般远大于1. 于是由科里奥利力而导致转盘边缘受到的摩擦力矩为

(4)

而圆盘形转盘的转动惯量为

(5)

根据刚体的转动定律，转盘在仅有气体且无外力矩情况下由科里奥利力造成的角加速度为

(6)

其中ρ为圆盘密度.

可以看出，转盘无外力矩自转的直接原因是由于科里奥利力对气垫转盘中气流的作用，使得转盘边缘受到摩擦力矩，在顺时针转动情况下使转盘沿顺时针方向转动，最终导致转盘转动愈来愈快，这与实验观察得到的现象完全相符.

同时可观察，科里奥利力导致的转动角加速度与气流速度和密度成正比，与圆盘密度和圆盘半径负相关，这样不仅可以通过减小装置的气泵气压来减小角加速度，也可通过使用更大半径的圆盘来降低科里奥利力的影响.

用上述同样的方法可以推导出一系列不同形状转盘的理论结果. 为了突出转盘形状对科里奥利力的影响，将角加速度归一化，并控制各形状转盘的底面半径均为R，则有：

3数值分析与仿真

为了清晰直观看出4种转盘所受科里奥利力的影响，使用Matlab对解析式进行数值仿真，得到一系列的三维表示图(为清晰起见，给出不同视角的图4和图5). 在仿真计算中相关参量分别取为：A=0.05 m，v=30 m/s,ω=7.27×10-5rad/s,μ=100,ρa=2.34 kg/m3,ρ=103kg/m3.

从图4中可以看出当转体的高度固定时，圆盘、球、圆锥均呈现底面半径越大，在无其他外力下的角加速度越小的趋势. 同时，不同形状的转盘的角加速度对底面半径的敏感度有所不同，若在高度h为4 cm以下且半径尺寸相同，角加速度从小到大依次是圆锥、球冠、圆盘和圆球.

从图5中可发现圆锥与球冠的图形与圆球、圆盘均有交叉，将三维图旋转后发现当高度h与半径均为4 cm以上时，角加速度从小到大依次是圆盘、圆球，球冠以及圆锥.

图4　半径与高对不同形状转盘的角加速度影响1

图5　半径与高对不同形状转盘的角加速度影响2

因此若要减小科里奥利力对气垫转盘的影响，则可以在高度与底面周长均小于4 cm的情况下，通过改变旋转体形状(比如将形状做成圆锥)来实现；而当转盘高度在5 cm以上且半径较大时，圆盘受到的科里奥利力最小.

若考虑实际情况，高度小于4 cm、半径小于10 cm的转盘比较贴近实际装置，则圆锥的角加速度最小，其次是球冠与圆盘.

4结束语

本文从科里奥利力对气垫转盘的影响为切入点，定量分析了科里奥利力导致气垫与转盘之间的摩擦力矩，从而使得转盘具有一定角加速度. 结果表明，在底面半径R或高度h变化时，科里奥利力对圆盘、球、圆锥等形状转盘的角加速度的影响是不同的. 另外运用Matlab进行了数值仿真，形象地表示了不同形状转盘的底面半径、高度、角加速度三者的关系，进而阐述了可以通过改变转盘形状来减少科里奥利力的影响.

参考文献：

[1]李训谱. 用气垫转盘验证角动量守恒[J]. 教学仪器与实验,1986,2(1):7-9.

[2]张三慧. 大学物理学[M]. 北京：清华大学出版社,2009:60-62.

[3]谢亮，张进治，安艳伟，等. 转动惯量测试仪的设计[J]. 物理实验,2015,35(7):27-30.

[4]贾昱，程敏熙，安盟，等. 基于视频分析软件Tracker测量刚体转动惯量[J]. 物理实验,2014,34(5):33-35.

[5]陈淑清. 用气垫转盘测转动惯量的数据处理及误差分析[J]. 物理实验,2003,23(3):13-15.

[6]许成科. 科里奥利力对气垫转盘的影响[J]. 物理通报,2012(11):24-26.

[责任编辑：郭伟]

Rotation of air-cushion turnplate without influence of external moment

LI Si-daa, TIAN Wen-zhuanga, ZHAI Hui-xinb， WU Haoc， WU Ming-hec， TENG Bao-huac

(a.Yingcai Experimental School; b.School of Communications; c.School of Physical Electronics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

Abstract:Without the influence of external moment, the rotation of air-cushion turnplate with different shapes was quantitatively researched based on the effect of Coriolis force. Furthermore, numerical simulation was utilized to illustrate visually that the change of the shape of the turnplate could reduce different effects.

Key words:Coriolis force; air-cushion turntable; angular acceleration

中图分类号：O313.3

文献标识码：A

文章编号：1005-4642(2016)05-0039-03

作者简介：李思达(1994-)，男，河北石家庄人，电子科技大学英才实验学院2012级本科生．指导教师：滕保华(1959-)，男，重庆人，电子科技大学物理电子学院教授，博士，从事凝聚态物理教学及研究工作.

收稿日期：2015-12-29；修改日期：2016-03-19