对高中数学解题思路的探索

邓秋芬

【摘要】本文通过具体实例分析，体验数学综合题解法的探索、发现的一般途径，进而领悟并熟练地掌握整个思维结构与各个具体的思维方法，从而改善并优化自身的思维结构，达到极大提高自身数学发现能力的目的.

【关键词】探索；变换；简化

很多学生解决单一数学问题比较拿手，遇到数学综合问题往往就不知所措，如果能掌握正确的探索方法就可顺利突破.本文着重从问题分细、问题变更、试探和猜想三个方面并结合实例进行分析展现如何探索数学综合题的解题思路.

一、问题的细化——分解和迭加

在多年的数学教学中，我们发现其实学生对于单一知识点的问题一般很容易解决，主要难在如何解决综合性问题上.而综合性问题大多由分属不同数学模块或同一模块中不同部分的知识通过科学加工而有机地拼凑堆砌而成的，所以若能将综合性问题细化，拆分成只涉及单一知识点的几个小问题，便于联想应用相关概念、公式等的话，再难的问题都可以得到解决了.

那么如何将问题分解呢？按知识的纵横组合划分为纵向分解和横向分解.纵向分解是把一个较难的复杂问题分解成几个前后互相关联的系列题，通常前一个小问题的结果是后一个小问题的条件，它的解决会影响到后面问题的解决，所以纵向分解的关键是正确寻找到将问题解决的中途点.

例如 对于所有大于正数a的 x，不等式a+1a

分析 本题未给出确定的终极目标，是探索性的结论，必须进行探索，联想涉及的函数模型：f（x）=x+1x（x>0），条件变为：当x>a>0时有f（x）>f（a），从而本题转化为当f（x）=x+1x（x>0）是增函数时，求a的最小值.所以可以将本题分解为3个小问题来解决：1.求出函数f（x）=x+1x（x>0）的单调增区间；2.当a满足什么条件时，有f（x）>f（a）？3.求a的最小值.

横向分解与分歧点：在数学问题的解决中，由于对问题看法的不同而产生某些概念、性质、定理的分类分歧，或产生对位置关系的分类研究，即常说的分類讨论法，所以横向分解的关键是如何做到不遗不漏.

二、问题的变更——变换与映射

一个数学问题，在不同的数学分支内往往具有种种不同的表达形式，相应地也就有种种不同的处理方法，加之每个人掌握与运用数学方法处理问题的熟练程度也不尽相同，所以我们要学习将一个问题转换变更成我们自己所熟悉的等价形式，或映射到另一个领域去，无疑增大了解决问题的可能性.

1.问题的等价变换：可通过6种方式实现：等价件的替代，变量代换，不同的构图，不同的表述，恒等变换，逆否命题的等价关系.

例如 2010年高考江苏卷：定义在区间0，π2上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2 ，则线段P1P2的长为.

分析 设点P1的横坐标为x0，则线段P1P2的长即为sinx0的值，“函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P”即6cosx0=5tanx0，问题就等价转换为已知6cosx0=5tanx0，求sinx0.

2011年高考上海卷：在正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB=3，BD=1，则AB·AD=.

分析 把AD用已知的AB和BC等价代换表示为AD=AB+13BC，再计算AB·AD的值就很容易了.

2.问题的映射：将在原来的数学领域中直接解决较为困难的问题设法映射到其他领域中去解决，最后将其结果反演回去.

例如 2014年永安市质检卷：若函数f（x）满足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），则f（1）+f（2）+…+f（10）=1023.

分析 将函数f（x）映射到数列{an}，则{an}为等比数列，问题转化为求{an}的前10项和.

3.问题的不等价变换：对于不存在等价变换的问题可以采用“消弱条件，再检验”的方法进行解决.

例如 已知函数f（x）=ax2+（2a-1）x-3，在-32，2上的最大值为1，求实数a的值.

分析 本题开口可向上、向下，且对称轴与区间的相对位置有三种情况，讨论很麻烦！其实不妨消弱条件，可得最大值只可能在x=-32或x=2或x=1-2a2a处取得，假设f（2）=1或f-32=1或f1-2a2a=1，从中分别求出a值后再检验即可.

三、合理试探与猜想

1.简化的引路作用：对于某个复杂的问题先从其某个简单的方面进行探讨，促发解题的灵感，从而找到解决这类问题的方法.

2.特殊的试探作用：从问题的极端情况入手去试探分析.

3.类比的引导作用.

4.大胆猜想——科学发现的基本形式之一.惊世骇俗的猜想常导致某个科学理论的重大突破，所以我们要敢于大胆地进行合理猜想.

总之，我们如果在数学解题遇阻时能够灵活运用上面三种途径进行分析那么很多疑难问题都可顺利解决，不妨一试.

三角函数易错题剖析三角函数易错题剖析

◎周山林 （四川绵阳普明中学 四川绵阳 621000）

一、 三角函数是高考必考内容之一，同学们在解三角函数题时，虽然三角公式已经掌握，基本解题方法已经熟悉，但是还会时常出错，下面就常见易错题进行剖析.

例1 已知A，B，C为△ABC的内角，且cosA=35，sinB=513，求cosC的值.

错解 由cosA=35>0 得0

正解 由cosA=35>12得π3

由得由sinB=513<12，B∈（0，π）得0

由①②知0

错因：忽视隐含条件三角形内角和定理，B不能为钝角.事实上，由 sinB=513

例2 已知α，β ∈（0，π2）且cosα=55，cosβ=-1010，求α+β的值.

错解 由已知得sinα=252，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=22，α+β∈（0，π），

∴α+β=π4或α+β=3π4.

正解 由α，β ∈0，π2，sinα=252，sinβ=31010，

得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-22，α+β∈（0，π），∴α+β=3π4.

错因 增解产生原因是对三角函数性质不熟悉：在区间（0，π）上正弦函数不单调，而余弦函数单调递减，是单值对应，所以选择余弦函数不会产生增根.

二、同学们在做三角函数图像变换题目时，由于概念模糊，对一些问题没有深入分析，加上粗心大意，时常会出错.

例3 要得到y=cos2x-π4 的图像，只需将y=sin2x的图像（ ）.

A.向左平移π4个单位

B.向右平移π4个单位

C.向左平移π8个单位

D. 向右平移π8个单位

错解 把y=sin2x向右平移π4个单位得y=sin2x-π4，故选B.

正解 ∵y=cos2x-π4=sinπ2+2x-π4=sin2（x+π8），∴选（C）

错因 不会使用公式cosα=sinπ2+α以改变函数名称.

例4 要得到y=sin-12x的图像，只需将y=sin-12x-π6的图像 （ ）.

A.向左平移π3个单位 B.向右平移π3个单位

C. 向左平移π6个单位

D. 向右平移π6个单位

错解 ∵sin-12x-π6+π6=sin-12x，∴选C.

正解 ∵sin-12x-π6+π6=sin-12x-π3+π3= sin-12x，∴选B.

错因 平移口诀：“左加右减”是对x而言，不是对-12x 而言，因此一定要把x的系数提到括号外面去.其次，此题是已知y=sin-12x-π6的图像求作y=sin（-12x）的图像，这是一个逆向問题.