常微分方程在数学建模中的应用

谷成玲

【摘要】微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理、化学、控制理论等客观规律为基础建立起来，而在经济学、生物学中的应用越来越广泛.本文阐述常微分方程在数学建模中的应用，对以后更好地研究常微分的性质奠定了基础.

【关键词】常微分方程；数学建模

1.引 言

常微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，常微分方程与微分方程是同时产生的，是数学的一个重要分支，在物理、天文、医学、经济学、生物学、通信工程及航空航天技术等诸多领域都有重要的作用.

数学如果想在实际中解决实际问题，就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.

因此本文先介绍了数学模型和常微分方程，然后介绍如何建立微分方程模型，最后通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用.

2.数学模型简介

通常我们把现实问题的一个模拟称为模型.如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等.利用字母、数学及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等来模拟现实的模型称为数学模型.数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等.学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助.

3.常微分方程的简介

微分方程的发展有着渊远的历史.微分方程和微积分产生于同一时代，如苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时就对简单的微分方程用级数来求解.后来，瑞士数学家雅各布·贝努、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程理论.

纵观微分方程的发展史，我们发现微分方程与物理、天文学以及日异月新的科学技术有着密切的联系.如牛顿研究天体力学和机械力学的时候，就利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动的规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.而这些都证明微分方程在改造自然和认识自然方面有着巨大的力量.微分方程是自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式.在解决实际问题的过程中，我们又得出了常微分方程的概念：如果在一个微分方程中出现的未知函数中只含有一个自变量，那么这个方程则称为常微分方程.

4.常微分方程在数学建模中的应用

由于资源的有限性，当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长，为了得到人口预测模型，必须首先搞清影响人口增长的因素，而影响人口增长的因素很多，如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素，如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此，先把问题简化，建立比较粗糙的模型，再逐步修改，得到较完善的模型.

英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口出生统计资料，发现人口出生率是一个常数，于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型，他的基本假设是：在人口自然增长过程中，净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，比例系数设为r，在此假设下，推导并求解人口随时间变化的数学模型.

设时刻t的人口为N（t），把N（t）当作连续、可微函数处理（因人口总数很大，可近似地这样处理，此乃离散变量连续化处理），据马尔萨斯的假设，在t到t+Δt时间段内，人口的增长量为

并设t=t0时刻的人口为Ν0，于是

dNdtN（t0）=N0=rN

这就是马尔萨斯人口模型，用分离变量法易求出其解为

N（t）=N0er（t-t0）

此式表明人口以指数规律随时间无限增长.

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为N0=3.06×109，而在以后7年中，人口总数以每年2%的速度增长，这样，r=0.02t0=1961N0=3.06×109.

于是，N（t）=3.06×109e0.02（t-1961）.

这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为，这期间地球上的人口大约每35年翻一番，而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）.

5.结束语

通过例子可以看出，把常微分方程和数学建模有机地结合起来，能把理论由知识型向能力型转化，利用微分方程建立数学模型解决实际问题，虽然推导过程有些繁琐，但是结果却相当简单，而且能给出合理的解释.因此，我认为把常微分方程和数学建模有机地结合起来能更好地发挥微分方程的作用，解決更多的实际问题.

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