一道高考解析几何题的探究

黄俊峰

题目 （2012年高考江苏卷第19题）：如图1

图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和（e，32）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

（ⅰ）若|AF1|-|BF2|=62，求直线AF1的斜率； （ⅱ）求证：|PF1|+|PF2|是定值.

1.解法探究

本题第（1）问比较基础，容易求得椭圆方程为x22+y2=1，离心率e=22.

下面给出第（2）问的几种简单解法：

解析

法一 （设线求解）F1（-1，0），F2（1，0），可设直线AF1方程为x=my―1，直线BF2方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0，将x=my―1代入椭圆方程得（m2+2）y2―2my―1=0解得y=m±2m2+2m2+2，即y1=m+2m2+2m2+2，则|AF1|=（x1+1）2+（y1-0）2=（my1）2+y21= =2（m2+1）+mm2+1m2+2

①

同理可得

|BF2|=2（m2+1）-mm2+1m2+2

②

（ⅰ）由①②可得

|AF1|-|BF2|=2mm2+1m2+2，

解2mm2+1m2+2=62得m2=2.

注意到m>0，所以m=2，所以直线AF1的斜率为1m=22.

（ⅱ）由于AF1∥BF2，所以|PB||PF1|=|BF2||AF1|，从而|PB|+|PF1||PF1|=|BF2|+|AF1||AF1|得到|PF1|=|AF1||AF1|+|BF2|·|BF1|，由点B在椭圆上知，|BF1|+|BF2|=22，得|PF1|=|AF1||AF1|+|BF2|（22-|BF2|），同理可得|PF2|=|BF2||AF1|+|BF2|（22-|AF1|），所以|PF1|+|PF2|=|AF1||AF1|+|BF2|（22-|BF2|）+|BF2||AF1|+|BF2|（22-|AF1|）=22-2|AF1||BF2||AF1|+|BF2|，

由①②得|AF1|+|BF2|=22（m2+1）m2+2，|AF1|·|BF2|=m2+1m2+2，

所以|PF1|+|PF2|=22-22=322.

法二 （设点求解）

（ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x212+y21=1， x222+y22=1.

由焦半径公式可知|AF1|-|BF2|=（a+ex1）―（a―ex2）=62，得到x2=3-x1，因为AF1∥BF2，所以kAF1=y1x1+1=y2x2-1，即1-x212（x1+1）2=1-x222（x2-1）2，

化简得2x1x2+3（x2-x1）―4=0，将x2=3-x1代入上式得2x21+（6-23）x1+4-33=0，解得x1=3-12或x1=3-52（舍），所以k2AF1=1-x212（x1+1）2=12，所以kAF1=22.

（ⅱ）设△APF1与△F2PB的相似比为λ，则|PF1|=λλ+1|BF1|=（1-1λ+1）（a+ex2），|PF2|=1λ+1|AF2|=1λ+1（a-ex1），所以|PF1|+|PF2|=2+22（x2-x1+x2λ+1）

当x1=-1时，x2=1，λ=1，结论成立；当x1≠-1时，λ=|AF1||BF2|=1+k2AF1|x1+1|1+k2AF1|x2-1|，当x1>-1时，x2>1；当x1<-1时，x2<1，所以λ=x1+1x2-1，即|PF1|+|PF2|=2+22（x2-x1+x2x1+1x2-1+1）=322.

法三 （设线求轨迹）（ⅰ）延长AF1交椭圆于B′点，根据对称性知 |BF2|=|B′F1|，设A（x1，y1），B′（x2，y2），x2<-1 ∴|AF1|-|BF2|=（x1+x2+2）1+k2=21+k21+2k2=62，解得k2=12，故直线AF1的斜率为22.

（ⅱ）由于AF1∥BF2，设F1B=λF1P，P（x，y），则F2A=λλ-1F2P

即（xB+1，yB）=λ（x+1，y）

（xA-1，yA）=λλ-1（x-1，y），得A（λλ-1（x-1）+1，λλ-1y），B（λ（x+1）-1，λy）代入椭圆方程得：

[λ（x-1）+（λ-1）]22+（λy）2=（λ-1）2

[λ（x+1）-1]22+（λy）2=1

两式相减得（2λx+λ-2）（-λ）2=λ（λ-2），解得λ=62x+3代入[λ（x+1）-1]22+（λy）2=1得到[62x+3（x+1）-1]22+（6y2x+3）2=1

化简得x298+y218=1，即点P的轨迹为椭圆，焦点正好是F1与F2，则|PF1|+|PF2|=322.

法四 （利用极坐标求解）

（ⅰ）以F1为极点，F1F2所在直线为极轴建立极坐标系，∠F2F1A=θ，|AF1|=ρ1，|B′F1|=ρ2，则ρ1=ep1-ecosθ，ρ2=ep1+ecosθ，由ρ1-ρ2=62得ρ1-ρ2=ep1-ecosθ-ep1+ecosθ=2e2pcosθ1-e2cos2θ=2cosθ2-cos2θ=62，解得cos2θ=23，从而tanθ=±22，由|AF1|-|F1B′|=62>0，知θ∈（0，π2），故k=22.

（ⅱ）由（ⅰ）知1ρ1+1ρ2=2ep，设|PA|=r1，|PB|=r2，ρ2ρ1=|PB||PF1|ρ2+ρ1ρ1=|BF1||PF1|=2a-ρ2|PF1|，|PF1|=2aρ1-ρ1ρ2ρ1+ρ2，同理|PF2|=2aρ2-ρ1ρ2ρ1+ρ2，|PF1|+|PF2|=2a-2ρ1ρ2ρ1+ρ2=2a-ep=22-22=322.

法五 （利用直线参数方程求解）

（ⅰ）设直线AB′的参数方程为x=-c+tcosθ

y=tsinθ（t为参数），代入x22+y2=1

化简并整理得（2-cos2θ）t2-2tcosθ-1=0，

由|AF1|-|F1B′|=62>0及t的几何意义知2cosθ2-cos2θ=62，解得cosθ=63或 cosθ=-6（舍），则tanθ=22，即直线AF1的斜率为22.

（ⅱ）由（1），设（2-cos2θ）t2-2tcosθ-1=0的两根为t1，t2，则由t的几何意义知

|PF1|+|PF2|=2a-|2t1t2t1-t2|，而t1+t2=2cosθ2-cos2θ，t1t2=-12-cos2θ.

（t1-t2）2=（t1+t2）2-4t1t2=4cos2θ（2-cos2θ）2+42-cos2θ=8（2-cos2θ）2

则|t1-t2|=222-cos2θ，故|PF1|+|PF2|=2a-|2t1t2t1-t2|=22-222=322.

2.拓展探究

通过求解过程， 可以发现有心圆锥曲线中的几个结论：

结论1 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）（双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0））过其中一焦点F的弦记为|AB|，则1|AF|+1|BF|=2ab2.

结论2 过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的弦记为|AB|，则1|AF|+1|BF|=2p.

结论3 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦半径AF1与BF2所在直线（点A，B在椭圆长轴所在直线同侧）平行，线段AF2与BF1交于点P，则|PF1|+|PF2|=a2+c2a.

结论4 双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两焦半径AF1与BF2所在直线（点A，B在双曲线实轴所在直线同侧）平行，线段AF2与BF1交于点P，则|PF1|+|PF2|=a2+c2a.

（收稿日期：2015-11-22）