培养学生敢于尝试的探究精神

赵秀琴

2015年上海高考数学题试图克服遇到题目就模式化的弊病，试题中既要求数学的双基运用能力又增强了一定的思维量.试图鼓励学生要有想法，要敢于尝试，可以说较之以往的考题有所创新和突破.

本文例举几道题，对考题进行一定的分析与理解.

一、关注分析与联想

题1 （理科卷第13题）已知函数f（x）=sinx.若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1

.

分析 题目中求m的最小值，对应着图像上的点Ai最少，作出函数y=sinx，x∈[0，6π]的图像，图像从左到右的最高点和最低点依次为A1，A2，…，A6.如此可以设想使|f（xi-1）-f（xi）|（i∈N*）越大越好，它的极值是|f（xi-1）-f（xi）|=2.

有了这一想法，看似要讨论判断的复杂问题就转化为简单的问题.

继续探究，|yA1-yA2|=2，|yA2-yA3|=2，…，|yA5-yA6|=2，

此时m=6，|yA1-yA2|+|yA2-yA3|+…+|yA5-yA6|=10，

观察图形，结合点O和点（6π，0）的位置，容易得出m的最小值为8.

其实，事物的发展变化是相辅相成的，如果善于观察和分析，那么就会从求m的最小值联想到|sinx|的最大值为1，进一步达成问题的解决.

二、较强的双基运用能力

题2 （理科卷第14题）在锐角三角形ABC中，tanA=12，D为边BC上的点，△ABD与△ACD的面积分别为2和4.过D做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE·DF=

④

要想让S2恒为定值，只需要1+2m=0，即m=-12时，S为定值24.

这里我们看到，当结果化成④的形式的时候，尽管除了m仍然含有两个字母x1，x2，但是却不会影响到最后结果的得出，所以这样的大胆探究就达成了将“不知”化为“可知”的目的，问题也就迎刃而解了.

五、有想法，再探究

题5 （文科卷第23题）已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2（bn+1-bn），n∈N*.

（Ⅰ）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设{an}的第n0项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n0项是最大项；

（Ⅲ）设a1=3λ<0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，an≠0，且aman∈（16，6）.

解析 （Ⅰ）、（Ⅱ）略.对于（Ⅲ）：

（1）很容易求出an=2λn+λ

（2）下面的想法是：对任意m，n∈N*，如何解决？

如果{an}中有最大值ai，或有最小值aj，或有limn→∞an=a，那么就有可能an∈[aj，ai]或an∈[aj，a]或an∈[a，ai]，如此就可以变无限为有限来探究问题.

（3）y=λn属于指数范畴，由a1=3λ<0

aman∈（16，6）可得a2=2λ2+λ<0，则-12<λ<0.{an}分奇数列和偶数列讨论探究：

a2k=2λ2k+λ=2|λ|2k+λ，a2k-1=2λ2k-1+λ=-2|λ|2k-1+λ，

通过图像作进一步观察：

由y=|λ|2k（k=1，2，3…），|λ|<12，函数递减，ymax=λ2.

在y=-|λ|2k-1（k=1，2，3，…）中，|λ|<12，函数递增，ymin=-|λ|，

所以{an}中最大值为a2=2λ2+λ<0，最小值a1=3λ<0.

（4）进一步探究，am，an必须满足下式：0（5）建立关系a2a1>16

a1a2<6

-12<λ<0，

即2λ2+λ3λ>16

3λ2λ2+λ<6

-12<λ<0，

可得：-14<λ<0.

通过这样的探究尝试，能够熟练准确运用双基，求得了当-14<λ<0时对于任意m，n∈N* ，an≠0，都有aman∈（16，6）.

通过如上几道题目的解析，深深感觉到，这样的问题设置，促使我们在今后的高中数学教学中进一步要克服“模式化”，积极培养学生敢于尝试的探究精神，提高学生的数学思维品质.

（收稿日期：2015-10-22）=1|OA|2+1|OB|2=a2+22a2+8+1a2+4=12