利用“旋转”解决“线段数量关系”的问题

李秀芳

“旋转”是属于“图形与变换”中的一种变换，是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”领域的一个重要内容，在教材中占有重要的地位。“图形的旋转”是课改后新增的内容，也是近几年中考的热点题型。运用“旋转”的全等变换，可以证明线段与角相等或和、差、倍、分的数量关系。在具体问题中，学生往往想不到用“旋转”，缺乏利用“旋转”解决问题的意识，也不知道什么时候该用“旋转”，怎么“旋转”。所以，我设计了这节利用“旋转”解决线段数量关系问题的专题课。在本节教学中，以学生为主体，教师为主导，以小组合作学习为载体先自学讨论，再师友展示讲解，最后探究出解题方法，激发学生解决问题的欲望，也增加了学生学习的信心和勇气。

教学片段分析：

问题（1）方法引领

如图1所示，在等边三角形ABC內有一点P，连接AP、BP、CP，∠APB=150°，求证：PC2=AP2+PB2。

小明思考后发现，可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到 △ACP′，连接PP′，可以利用“旋转”和全等的知识得到两个特殊的三角形，从而将问题解决。

【自学指导】

小组合作学习讨论下面的思考问题，完成证明过程。

1.小明为什么会想到“旋转”三角形？根据哪些已知条件可以用旋转？旋转角是多少？

因为有公共端点的相等线段AB=AC，旋转后AB会与AC重合。旋转角为60°。

2.为什么要旋转？（旋转的作用是什么）

因为旋转前后图形全等，所以通过旋转可以转移相等的线段、相等的角，可以将分散的线段转移在同一个三角形中。

3.为什么旋转60°？旋转60°后得到什么三角形？

因为旋转60°后，AB和AC重合，同时∠PAP′=60°，会出现等边三角形，从而转移相等线段。

【解题思路点拨】

由结论入手

【方法点拨】

1.构造旋转图形的前提条件是什么？

有共端点的等线段。

2.遇到有60°的等线段，如何旋转？

若遇60°，可旋60°，构造新等边三角形。

3.旋转的作用是什么？

转移线段、转移角。可以将分散的线段转移在同一个三角形中。

4.通过旋转图形，可以解决什么问题？

解决有关“线段之间数量关系”的问题。

问题（2）实践探索

如图2所示，A、B、C、D、分别是圆O上的点，AB是圆O的直径，点C是弧AB中点，求证：（AD+BD）2=2CD2

【自学指导】

小组合作学习讨论下面的思考问题：

1.看到结论（AD+BD）2=2CD2，你想到了什么知识？

勾股定理中直角三角形三边关系。

2.你认为利用什么方法可以将AD、BD、CD转移到同一个三角形当中？

利用旋转三角形，转移线段转移角，将分散的线段转移到同一个三角形当中。

3.请画出图形，分析解题思路。

【师友展示要求】

学友：讲解解题思路。学师：解答思考问题。

思考：此题BD、CD、AD还有怎样的等量关系？为什么？

【方法点拨】

遇到有90°的等线段，如何旋转？

若遇90°，可旋90°，构造新直角等腰三角形。

问题（3）拓展提升

已知：如图3所示，A、B、C、D分别是圆O上的点，AD是∠CDB 的平分线，且∠CAB=α（α为钝角），请问BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明。

自学指导：参考前两问的学习，思考解题思路并画出图形。小组合作讨论解题方法。

【方法点拨】

遇到一般的等腰三角形，如何旋转？

若遇等腰，可旋顶角，构造新的等腰三角形。

通过本节课的学习，目的是使学生能在具体问题中发现图形“旋转”的条件，学会“旋转”的方法，理解“旋转”的作用以及“旋转”可以解决的问题，培养学生利用“旋转”解决问题的意识。

编辑 韩 晓