《4.2证明（一》教学案例

张利芬

摘要：本节是探索证明（文字组成）的基本格式，课本通过观察、操作，说明学习证明的必要性，探索文字组成的命题的证明格式和由几何图形组成命题的证明的联系，并突出研究了由纯粹文字组成的命题的证明。

关键词：证明；格式；联系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）05-0106

一、教学课程

九年制义务教育八年级数学（浙教版）下册第四章第二节“证明”第一课时。

1. 学习方式

本节是探索证明（文字组成）的基本格式，课本通过观察、操作，说明学习证明的必要性，探索文字组成的命题的证明格式和由几何图形组成命题的证明的联系，并突出研究了由纯粹文字组成的命题的证明。在本节的设计中，充分体现了学生观察、猜测、归纳的作用，用转化的观点研究由纯粹文字组成命题的证明的格式，使学生明确证明的格式。

2. 学生任务分析

充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理证明等活动，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验。教学中应鼓励学生动手、动口、动脑和交流，充分展示“观察、操作——猜想、探索——说理（有条理地表达）”的过程，使学生能在直观的基础上学习说理，体现合情推理和演绎推理的融合，促进学生形成科学地、能动地认识世界的良好品质。

3. 学生的认识起点分析

学生已具备观察问题和分析问题的能力，学生通过前面的学习，如公理、定理、定义等认识了推理的依据，积累了一定的数学活动经验。特别是说明几何命题成立的理由，为这节课打下了坚实基础。

4. 教学目标

知识与能力目标：通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力；通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力。

过程与方法目标：经历观察、猜想的偏差，体验证明的必要性；通过实例，说明推理过程中要步步有据。

情感、态度与价值观：体验证明的必要性，理解证明的作用。

5. 教学重点

证明的含义及证明的基本格式——画、写、证。

6. 教学难点

探索纯粹由文字组成的命题的证明的基本格式。

教学过程：创设情景，引入新课

导入：我们通常用眼睛观察世界，人们常说“耳听为虚，眼见为实”，是真的吗？

“考一考眼力”：如图，线条a、b是直线还是曲线？

师：直观判断结论如何？操作验证结论又如何？有什么体会？

观察得到的结论不一定正确。

【教法说明】通过本环节，让学生观察图形，得出结论，发现眼见不一定为实，这就需要我们对此进行验证，从几何方面说明推理的必要性。

“考一考耐力”：当n=0，1，2，3时，代数式-n2+2n+11的值分别是11，12，11，8，它们都是正数，那么，命题“当n=4时，代数式-n2+2n+11的值是正数”及“当n≥4时，代数式-n2+2n+11的值都是正数”和“当n≥5时，代数式-n2+2n+11的值都是负数”真命题，对此你是怎么想的？

简单归纳所得结论也不一定正确。

【教法说明】本环节设置，是為了让学生尝试检验得出一些值，并进行猜想，得出猜想不一定正确，此时就有必要验证说明，但是由于数的概念，不能一一进行验证，这时就需要引出证明。这是从代数方面说明推理的必要性。

可见，对观察和猜想归纳得到的结论要进行进一步的证实，怎样证实呢？这就是我们今天要学习的内容——4.2证明（一）（板书）

二、新课

在数学学习中，你用过证明吗？请举例说明。

比如：已知：如图，∠1+∠2=180°，说明a∥b成立的理由。

解：∵∠1+∠2=180°（已知）

∠2+∠3=180°（平角的定义）

∴ ∠1=∠3（同角的补角相等）

∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）

可见，要判断一个命题是真命题，往往要从命题的条件出发，根据已有的定义、定理、公理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。

【教法说明】通过上面这个环节的设置，主要是为了让学生回顾以前所学的知识，让他们了解本节课与前面所学知识的联系，以便更好的理解证明的含义和书写证明过程的格式。同时让学生明白说理时要以定义，定理和公理为依据，进行一步一步得出结论成立，从而提出了证明的含义。

认识了证明之后，在以后的解题中就把“说明什么成立的理由”，写成“求证什么”，把“解”写成“证明”。

想一想：从直观上看，命题“两直线平行，同位角相等”与上述命题的不同点？你能把这个命题转化为上述命题的形式吗？

【教法说明】让学生在比较中，了解说明文字命题的真假，让学生对证明的基本书写格式有一个感性的认识，为下面例题的学习做好铺垫。

分析命题的条件和结论，画出图形，用数学语言写出已知和求证。

“两直线平行，同位角相等”

练习：画出和写出命题“在同一个三角形中，等角对等边”的图形、已知和求证。

纯粹由文字语言组成的命题应如何证明呢？

例1. 证明“一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等”是真命题。

学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步。

在总结步骤时，学生所说的层次逻辑性不强，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次。

根据学生讨论，回答结果。教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：

第一步，画出命题的图形。

先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出，还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达。

第二步，结合图形写出已知、求证。

把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中。

第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程。

例2. 已知：如图，AC与BD交于点O，AO=CO，BO=DO，说明AB∥CD的理由

【教法说明】通过这个环节，让学生明白当一个几何命题已经包含相应的图形，已知和求证，则只需在表述中写出推理过程。同时，要注意证明时要做到步步有据。

三、练习

练习1：证明命题“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么同位角也相等”是真命题。

学生活動；独立作业，同桌交流，作业展示，评价修正，证明应注意什么？

练习2：已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE∥CD独立作业，你是怎样思考的？作业展评修正。

练习3：证明：“当n≥5时，代数式-n2+2n+11的值都是负数”是真命题。

四、课堂小结

今天我们学习了证明，请你谈谈你的体会与收获？

补充练习：完成下列证明，并在括号内填写理由：

已知：如图，AB∥DE，∠1=∠2

求证：AE ∥DC

证明：∵ AB ∥DE （ ）

∴∠1=∠AED （ ）

∵∠1=∠2 （ ）

∴∠___=∠___ （ ）

∴ AE∥DC（ ）

1. 分析下列命题的条件和结论，画出图形，写出已知和求证全等三角形对应边上的中线相等。

2. 如图，AC与BD相交于点O，若AC=BD，AO=BO，求证：AB∥CD

五、作业布置：必做题：作业本（1）书上A组2，3题

选做题：书上B组4题，5题

六、板书设计：4.2证明（1）

1. 证明的格式：

（1）画出符合题意的图形

（2）分析命题的条件和结论，

在“已知”中写出条件，在“求证“中写出结论。

（3）在“证明”中写出推理过程注意点：证明时要做到步步有据。

2. 思想：转化思想。

（作者单位：浙江省瑞安市场桥中学 325200）