线性代数的一些代数式的改写技巧

方又超

摘 要：线性代数里有大量的代数式，其中一些代数式的表现形式是多样的，可对它们作不同形式的改写。选用不同形式的代数式，相当于选择不同的解决数学问题的方法，体现了代数技巧与代数方法的统一性。

关键词：代数式；改写技巧；转置；对称变换

一、引言

在讲授线性代数的过程中，经常要处理一些代数式，对于同一个代数式，它的形式有可能是多样的。教师选择不同的形式，有可能影响学生的学习效率。实际情况表明，多数学生对长串的代数式心生畏惧，写出这样的代数式，还没有往下处理，他们就放弃了。这给线性代数的课堂教学提出了要求，面对一些难处理的代数式，不能照搬教材，但又不能脱离教材，要把握住其中的“度”，通常就是要理解、认识这些代数式的多张面孔，即是掌握改写它们的技巧。下面总结了线性代数的一些常见的代数式的改写方法。

二、矩阵乘法的改写技巧

矩阵乘法满足行乘列规则，通常用行向量乘列向量的方法计算两个矩阵的乘积。设是一个数域，，，且是的个列向量，

是的个行向量。则与的乘积可以改写成

（1）式联合下面的引理可得到矩阵转置运算律（AB）T=BTAT的一个新证明。

三、线性方程组的表示式的改写技巧

线性方程组的理论和方法是学习线性代数的切入点，学习线性方程组的理论和方法相当于训练线性代数的基本功，这一基本功过关了，才能为后继学习提供保障。线性方程组的表现形式有三种，学习了矩阵乘法之后，一般的线性方程组表示式：

学习了初等矩阵和矩阵的初等变换的关系后，可以更深刻地认识线性方程组的初等变换是同解变换。对线性方程组（2）施行一次线性方程組的初等变换后所得的线性方程组是（PA）X=PB，其中，P是相应的初等变换对应的初等矩阵，因为初等矩阵可逆，所以AX=b和（PA）X=PB同解，也即线性方程组的初等变换是同解变换，这是高斯消元法的理论基础。

其中，是A矩阵的N个列向量，用（3）式可以简洁证明线性方程组解的结构相关定理，快捷地从线性方程组的一般解得到线性方程组的通解。具体操作是在一般解表示式的左边按未知量的先后顺序添加自由未知量，令自由未知量等于它自己，等式右边的常数项和带自由未知量的项分别对齐书写，最后依照（3）式将一般解改写成列向量的线性组合表达式即得通解[1]。

例1设A是一个已知的阶矩阵，I是阶单位矩阵，Y为一个未知的阶矩阵。若矩阵方程AY=I有解，则A满秩。

证明：设的个列向量分别为，的个列向量分别为。因为有解，不妨设其解为，则有

由线性表示。所以得与等价，又向量组的秩为，所以向量组的秩也为，即满秩。

四、两向量组的线性表示式的改写技巧

可用这一改写技巧简明证明定理“对称矩阵在规范正交基下对应的线性变换是对称变换”[2]，证明过程避免了处理两个求和符号。下面给出证明。

证明：设为一个维欧氏空间，，是的一个规范正交基，由题设可知关于这个规范正交基的矩阵为对称矩阵，即。下证是一个对称变换。

参考文献：

[1]彭玉芳，尹福源.线性代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，1999.

（作者单位：德宏师范高等专科学校）